Вимоги до звіту
Звіт повинен містити наступні обов'язкові пункти:
титульний лист установленого зразка;
формулювання завдання;
короткі теоретичні відомості про застосовувані методи;
графіки функцій;
результати розрахунків: ручного й за допомогою програми;
текст програми;
висновки.
Варіанти до завдання
Лекція 6. .Наближене обчислення визначених інтегралів
У якій формулюються основні ідеї, реалізовані при наближеному обчисленні визначених інтегралів, розглянуті найпростіші квадратурні формули для рівновіддалених вузлів, обговорюються питання погрішності. Дано поняття про методи Монте-Карло.
6.1. Вступні зауваження
Нижче розглядаються методи наближеного інтегрування власних інтегралів Римана
. (1)
Традиційний підхід полягає в наступному.
На
відрізку [a,
b]
вибирається ряд вузлових точок
і
значення інтеграла представляється у
вигляді лінійної комбінації значень
функції ,що знаходиться під iнтегралом,
у вузлових точках
,
яка
називається квадратурною
формулою.
При заданому числі n розташування вузлів
і значення коефіцієнтів
підбирається так, щоб забезпечувалася
найвища точність результату. Найбільш
прості й уживані методи, у яких вузлові
точки вибираються рівновіддаленими.
На їхньому розгляді далі ми й зупинимося.
6.2. Формули Ньютона-Котеса
Припустимо,
що відрізок [a,
b]
розділений
на n
рівних частин величиною
й позначимо точки ділення через
.
Представимо функціюf(x)
за допомогою багаточлена Лагранжа
де t =
.
Тоді
(2)
або
,
де
(3)
Співвідношення
(2),
(
)і
називаються квадратурними
формулами Ньютона-Котеса.
У випадку,
коли ділення відрізка [a,b]
не виконується й на ньому вибирається
єдина вузлова точка, позначимо її через
,
інтерполяційний багаточлен приймає
вид
,
а квадратурна формула, –
.
(4)
Розглянемо інші найпростіші випадки, попередньо обґрунтувавши важливе, для обчислення коефіцієнтів Hi, властивість:
При
фіксованому n значення Hi
і Hn-i,
де
,рівні.
Доказ.
Нехай n=2m.
Не применшуючи спільності можна вважати,
що
.
Розглянемо чисельник функції що
знаходиться підiнтегралом
зі співвідношення (2)
(t)=t(
t-1)…(t-i)…(t-m)…(t-(2m-i))…(t-2m)...
Видалимо
з
(t)
множники (
t-i) і ( t-t-(2 m-i)) і
позначимо добуток що залишилися , –
через
.
Т.е.
(t)=(
t-i) ( t-t-(2 m-i))
(t).
Тоді
та
Зробимо в останніх інтегралах заміну t-m=z або t=z+m. Тоді
і є
непарною функцією змінної z. Вираження
для визначення
,
після очевидних перетворень приймуть
вид
,
.
Другі
доданки у фігурних дужках, у силу
непарності
(z),
рівні 0, а числа2
m-i і
i
мають
однакову парність. Тому
,
що й було потрібно.
Випадок n=2m + 1 розглядається аналогічно.
Повернемося
до обчислення коефіцієнтів
.
Розглянемо n=1. Тоді з (3) треба
.
Звідси
й квадратурна формула (2) приймає вид
(5)
Нехай тепер n=2 З (3) маємо
,
.
Тоді
=
=
и
(6)
Розглянемо n=3. Згідно (3)
,
отже, і
,
,
отже, і
.
Тоді квадратурна формула (2) приймає вид
(7)