4.1. Попередні зауваження

Звичайно процес рішення рівняння

, (4.1)

де - деяка безперервна функція, розпадається на два етапи.

Перший з них полягає у встановленні проміжку [a, b], на якому перебуває, принаймні, один корінь рівняння (4.1). Цей етап називається відділенням корінь і може здійснюватися різними способами. Один з них базується на фундаментальній властивості безперервних функцій, описаній теоремою Больцано-Коші :

Нехай функція безперервна на відрізку [a, b] і на його кінцях приймає значення різних знаків. Тоді існує внутрішня точка , у якій.

Геометрично це означає, що при виконанні зазначених умов графік функції на відрізку [a, b], хоча б один раз, перетне вісь ox (Малюнок 4.1).

y

f(a)f(b) < 0

y=f(x)

a

b

x

c

Рисунок 4.1. Ілюстрація до теореми Больцано-Коші

Звідси треба, що для відділення корінь рівняння (4.1) на спочатку заданому відрізку [А; В] необхідно з деяким кроком h провести обчислення функції в точках і виділити той або той відрізки, для яких. Якщо з обраним значеннямh такий проміжок вибрати не вдалося, то необхідно повторити обчислення, зменшуючи до розумних меж значення h.

Інший спосіб відділення корінь, - графічний. При сучасному рівні розвитку обчислювальної техніки він, очевидно, є й більше кращим. Полягає в побудові графіка функції на проміжку [A; B] і у встановленні, виходячи із графіка, відрізка [a, b], на якому він перетинає вісь ох.

Зауваження. На теоремі Больцано-Коші заснований один з методів рішення нелінійних рівнянь, - метод половинного ділення. Він полягає в наступному. Нехай установлений відрізок [a, b], на якому . Далі, розглядається середина цього відрізка точка, визначаєтьсяй з відрізків [a; c], [c; b] вибирається той, на якому функція міняє знак.

На обраному відрізку, позначимо його через [a₁, b₁], величина якого дорівнює , знову розглядається середина відрізка, визначаєтьсяй з відрізків [a₁; c₁], [c₁; b₁] вибирається той, на якому змінює знак. Він позначається через [a₂, b₂] і процедура повторюється. На n-n- ом кроці величина відрізка [a_n, b_n] дорівнює . Якщо вона менше, де- необхідна точність рішення рівняння, то процес послідовного ділення завершується і як наближене рішення вибирається.

4.2. Методи, засновані на алгебраїчній інтерполяції

Розглянемо рівняння (4.1). Нехай - деяке наближення до його рішення. Розкладемо ліву частину рівняння по формулі Тейлора в точці

. (4.2)

Метод Ньютона. Обмежимося в розкладанні (4.2) першими двома доданками

і розв'яжимо отримане вираження відносно х

.

Останнє співвідношення приймається в якості базового для формування обчислювального процесу. Він описується формулою

(4.3)

і називається методом Ньютона. Помітимо, що правило (4.3) має цілком певний геометричний зміст.

Дійсно, розглянемо рівняння дотичної до графіка функції в точцi

і визначимо її точку перетинання з віссю ох. Маємо , звідки

.

З порівняння отриманого вираження з (4.2) слiдує висновок, що

абсциса точцi перетинання дотичній, проведеної до графіка функції в точці і являє собою наступне наближення до рішення рівняння (4.1) (Малюнок 4.2).

Рисунок 4.2. Метод Ньютона

Із цієї причини метод Ньютона називають ще методом дотичних.

Метод хорд. Розглянемо (4.3). Замінимо в ньому

на .

У результаті цього одержимо нове обчислювальне правило

(4.4)

називане методом хорд.

З'ясуємо його геометричний зміст.

Розглянемо точки кривої ,і проведемо через них пряму

.

Знайдемо, далі, її точку перетинання з віссю абсцис. Маємо

, .

Порівнюючи отримані вираження зі співвідношенням (4.4), доходимо висновку, що

абсциса точки перетинання прямій, що проходить через точки кривій, обумовлені двома останніми наближеннями, являє собою наступне наближення до рішення рівняння (4.1) (Малюнок 4.3).

Рисунок 4.3. Метод хорд

Збіжність, оцінка погрішності. Розглянемо ці питання на прикладі методу Ньютона.

Розглянемо відображення

,

де , - ліва частина рівняння (4.1),.

Помітимо, що нерухома точка відображення , якщо вона є, є й рішенням рівняння (4.1). Дійсно, нехай існує значеннях таке, що . Звідси

,

звідки , що й було потрібно.

Далі, нехай , - довільні значеннях, оцінимо величину . Маємо

Тоді по теоремі Лагранжа

де , або

де .

Звідси слiдує твердження.

Якщо або, що то ж, то відображенняє стискаючим, послідовність (4.3), їм формована,є збіжною й, отже, метод дотичних у цьому випадку сходиться.

Гранична точка х послідовності (4.3) є нерухомою точкою відображення і є шуканим рішенням. Погрішність, - n-го наближення до рішення, як і раніше, описується співвідношенням (3.10).