9.12. Аналитическое выравнивание по параболе второго порядка

Если изучаемый динамический ряд характеризуется положительными абсолютными приростами, с ускорением развития уровней, то выравнивание ряда может быть проведено по параболе второго порядка.

По ней рассчитывают теоретические траектории движения артиллерийских снарядов, баллистических ракет, искусственных спутников и др.

Уравнение параболы второго порядка имеет следующий вид:

(9.31)

где: – выровненное значение уровней динамического ряда;t – периоды или моменты времени, к которым относятся уровни; а, в, с – параметры уравнения (искомой параболы), которые следует определить.

Положив в основу вычисления параметров а, в, с способ наименьших квадратов, получим следующую систему нормальных уравнений:

Приняв срединный уровень ряда условно за начальный, будем иметь Σt=0; Σt³=0, а систему уравнений можно привести к упрощенному виду:

Из этих уравнений можно найти параметры а, в, с, которые в общем виде выразятся следующим образом:

Отсюда видно, что для определения параметров а, в, с необходимо рассчитать следующие значения:

Выравнивание динамического ряда по параболе второго порядка покажем на примере изменения объема травяной муки (табл. 9.11).

Т а б л и ц а 9.11. Аналитическое выравнивание поставки травяной

Муки на комбикормовый завод «Неман»

Годы	Поставка, т (У)	Расчет величины					Выравненный ряд, т (У)
		t	t2	t4	tУ	t2У
2006	352	-2	4	16	-704	1408	340,4
2007	369	-1	1	1	-369	369	375,6
2008	406	0	0	0	0	0	455,5
2009	653	1	1	1	653	653	530,5
2010	722	2	4	16	1444	2888	750,0
Итого	2502	0	10	34	1024	5318	2502

Установив значения расчетных величин (табл. 9.11), переходят к определению параметров а, в, с уравнения параболы второго порядка (9.31):

Теперь по полученному уравнению параболы второго порядка, имеющему вид , определим значения выравненных уровней динамического ряда для каждого года; например,

т;

т;

т.

Полученные результаты заносим в последний столбец табл. 9.11.

Выравненные уровни более четко отражают основную тенденцию изменения объема травяной муки, поставляемой комбикормовому заводу.

9.13. Аналитическое выравнивание по уравнению гиперболы

Если для динамического ряда характерны затухающие абсолютные снижения уровней (например, динамика трудоемкости продукции, трудообеспеченности производства в сельском хозяйстве и др.), то выравнивание в таких случаях наиболее целесообразно проводить по уравнению гиперболы, т.е.

(9.38)

При этом порядок нахождения параметров а, в, и расчет уровней динамического ряда аналогичен применению приема выравнивания показателей по уравнению прямой линии. При условии система нормальных уравнений принимает следующий вид:

В качестве примера аналитического выравнивания по уравнению гиперболы возьмем динамический ряд трудоемкости молока в фермерском хозяйстве «Нива» за 2006 – 2010 гг. (табл.9.12).

Т а б л и ц а 9.12. Выравнивание трудоемкости молока по уравнению