10. Критерий λ Смирнова-Колмогорова

Непараметрический критерий, часто использующийся для проверки выборки на нормальность распределения. Может также применяться для анализа действия фактора по схеме: контрольная группа - экспериментальная группа, а также для анализа различий в проявлении переменной в несвязанных выборках. Его целесообразно использовать в тех случаях, когда результаты измерений по обоим выборкам представлены в виде двух вариационных рядов с указанием частот среднеклассовых значений.

Для каждого из вариационных рядов подсчитывается сумма накопленных частот так, как это делается при построении кумуляты. Далее для каждого из классов вычисляется разница d накопленных частот. Максимальное значение разницы подставляется в формулу:

Эта формула может использоваться только в том случае, если обе выборки имеют одинаковый объем. Для отклонения нулевой гипотезы необходимо, чтобы вычисленное значение показателя λ было больше определенного критического уровня. Примечательно, что данное критическое значение не зависит от объема выборок и определяется только выбранным уровнем значимости. Для р < 0,1% оно составляет 1,95, для р < 1% уменьшается до 1,63, а для р < 5 % имеет значение 1,36.

Например, в таблице представлены результаты измерения массы тела двух видов грызунов А и В.

Масса тела ( в г.)	f A	f B	Σ f А	Σ f В	d
30-39	2	0	2	-	2
40-49	4	1	6	1	5
50-59	10	6	16	7	9
60-69	12	10	28	17	11
70-79	8	13	36	30	6
80-89	4	7	40	37	3
90-100	0	3	-	40	-
	n = 40	n = 40

λ _ф = d _max / √ n = 11 / √ 40 = 1,74

λ _ф (1,74) > λ _т (1,36) ВЫВОД: различия доказаны при р < 5 % .

Если же количество объектов в выборках неодинаково, то для каждого класса следует вычислить отношение накопленной частоты к объему данной выборки. Затем определяется максимальная разница между названными отношениями. Дальнейшие вычисления производятся по формуле:

. Для иллюстрации изменим количество объектов в выборке «В».

Масса тела ( в г.)	f A	f B	Σ f А	Σ f В	Σ f А/ n1	Σ f В/ n2	d
30-39	2	0	2	-	0,05	-
40-49	4	1	6	1	0,15	0,05	0,1
50-59	10	3	16	4	0,4	0,2	0,2
60-69	12	5	28	9	0,7	0,45	0,25
70-79	8	6	36	15	0,9	0,75	0,15
80-89	4	3	40	18	1,0	0,9	0,1
90-100	0	2	-	20			-
	n1 = 40	n2 = 20

=

λ _ф (0,91)  λ _т (1,36) ВЫВОД: при р < 5 % различия не доказаны.

11. Критерий х Ван-дер-Вардена

Применяется для анализа результатов, полученных в исследованиях на несвязанных выборках. Отличается значительной статистической мощностью, но требует более сложных вычислений в сравнении с другими непараметрическими методами. Выборки могут быть неодинакового объема, но различия в количестве объектов не должны превышать 5 единиц.

Сначала, как и при использования критерия Вайта, строится общий ранжированный ряд вариант с присвоением им порядковых номеров - рангов. Далее берутся ранги только одной из выборок (какой именно - не имеет значения, так как конечный результат при правильности подсчетов будет одинаков в любом случае).

Ранговые показатели преобразуются в ряд чисел в диапазоне от 0 до 1, посредством деления значения ранга на общий объем выборки минус единица: R / N + 1. Для каждой из полученных величин по таблице (19)находится производная функция ψ. Значения ψ суммируют с учетом знака. Конечный результат обозначают как Х_ф. Для отклонения нулевой гипотезы необходимо, чтобы результат вычислений по модулю был больше табличного значения (таблица 20).

В качестве примера вернемся к задаче с определением уровня оперативной памяти. Ниже приводится общий ранжированный ряд Хi с соответствующими рангами R.

Хi: 8 10 10 10 10 10 10 11 11 11 12 12 12

R: 1 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 9 9 9 12 12 12

Хi: 13 13 13 14 14 14 15 15 15 16 17 18 18

R: 15 15 15 18 18 18 21 21 21 23 24 25,5 25,5

Используем ранги меньшей по объему выборки (12 испытуемых):

R: 4,5 4,5 4,5 4,5 9 9 9 15 15 18 18 23

0,166 0,166 0,166 0,166 0,333 0,333 0,,333 0,556 0,556 0,667 0,667 0,852

ψ: -0,97 -0,97 -0,97 -0,97 -0,43 -0,43 -0,43 0,14 0,14 0,43 0,43 1,05

Σ ψ = -2,98 Общий объем обоих выборок N = 12 + 14 = 26

Хф (2,98) Хт (4,48)

При р < 5 % и N = 26 гендерные различия не доказаны.