Дисперсия соответственно равна:
D(X )= M (X 2 )− M 2 (X )= [(− 0.04)2 0.25 + 0.12 0.5 + 0.22 0.25]−0.092 = 0.0073
Полученный результат выражается в процентах в квадрате, поэтому вычисляется среднее квадратичное отклонение, равное:
σ(X )= 
0.0073 = 0.085 = 8.5% ,
ихарактеризует риск, измеряемый вариацией ожидаемых результатов.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 10. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение случайной величины X, заданной законом распределения:
|
X |
-4 |
0 |
2 |
3 |
4 |
|
p(x) |
0.1 |
0.1 |
0.2 |
0.3 |
0.3 |
Задача 11. По таблице распределения случайной величины X: |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
p(x) |
0.1 |
0.3 |
0.3 |
0.2 |
0.1 |
найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.
Задача 12. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины по условию задачи №2 (раздел IV).
Задача 13. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины по условию задачи №3 (раздел IV).
Задача 14. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины по условию задачи №4 (раздел IV).
Задача 15. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины по условию задачи №5 (раздел IV).
Задача 16. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины по условию задачи №6 (раздел IV).
Задача 17. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины по условию задачи №7 (раздел IV).
Тема 20. Биномиальное распределение
Вернемся к схеме независимых испытаний (тема 13). Число появлений события А в серии из п испытаний есть случайся величина Х, она может принимать следующие значения: 0, 1, …, п. Соответствующие им вероятности можно вычислить по формуле Бернулли:
p( Х = k) = P |
(k )= C k pk qn −k , |
(4.9) |
n |
n |
|
где p – вероятность появления А в каждом испытании.
Закон распределения числа успехов в схеме n независимых испытаний называется биномиальным распределением. Поэтому говорят, что число успехов в
55
схеме n независимых испытаний − это случайная величина, подчиняющаяся биномиальному закону распределения. Таким образом, биноминальный закон распределения имеет два параметра: n и p.
Название биноминального закона распределения вытекает из связи распределения числа успехов с формулой бинома Ньютона:
n
(a +b)n = ∑Cnk ak bn−k k =0
Для биномиального распределения а = р, b = q и p + q = 1.
Пример 21. Записать в виде таблицы закон распределения случайной величины Х – числа попаданий при 5 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0.8.
Решение. Вероятность попадания при одном выстреле известна – p = 0.8. Тогда вероятность промаха при одном выстреле – q =1 − p =1 −0.8 = 0.2. Стре-
ляя 5 раз, можно не попасть ни разу, можно попасть 1 раз, можно попасть 2 раза, 3 раза, 4 раза, либо попасть все 5 раз. Таким образом, возможные значения X та-
ковы: x1 = 0, x2 =1, x3 = 2, x4 =3, x5 = 4 , x6 =5. Найдем вероятности возможных значений по формуле Бернулли:
p1 = P(X = 0)= P5 (0)= C50 0.80 0.25 = 0.00032 ; p2 = P(X =1)= P5 (1)= C51 0.81 0.24 = 0.0064; p3 = P(X = 2)= P5 (2)= C52 0.82 0.23 = 0.0512; p4 = P(X = 3)= P5 (3)= C53 0.83 0.22 = 0.2048; p5 = P(X = 4)= P5 (4)= C54 0.84 0.21 = 0.4096; p6 = P(X = 5)= P5 (5)= C55 0.85 0.20 = 0.32768.
Таким образом, закон распределения имеет следующий вид (табл. 2.16):
Таблица 2.16
Закон распределения (на основе данных примера 21)
X |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
p(x) |
0.00032 |
0.0064 |
0.0512 |
0.2048 |
0.4096 |
0.32728 |
Пример 22. При производстве некоторого изделия вероятность брака составляет 0.2. В этом случае предприятие терпит убыток от производства этого изделия в 10000 ден.ед. При изготовлении одного не бракованного изделия прибыль предприятия составляет 20000 д.ед. За день изготовлено 2 изделия. Составить закон распределения случайной величины – дневной прибыли предприятия.
Решение. Рассмотрим все возможные случаи соблюдения условий качества двух изделий, изготовленных за день, а затем установим значения случайной величины X – дневной прибыли предприятия.
56
Число стандартных изделий из произведенных за день может быть 0, 1, 2, тогда случайная величина X примет значения:
x1 = –20000 ден.ед. (ноль стандартных изделий означает, что два изделия –
бракованные);
x2 = 10000 ден.ед. (из двух изделий одно стандартное и одно бракованное, а
доход составляет 20000 – 10000 = 10000 ден.ед.); x3 = 40000 д.ед. (два изделия – стандартные).
Событие A – изделие стандартное, событие A – изделие бракованное. По условию задачи P(A)= 0.2 – const.
Вероятности pi = P(X = xi ) находятся по формуле Бернулли с исходными данными:
n = 2, P(A)= p =1 − P(A)=1 −0.2 = 0.8; q =1 − p = 0.2 ; m = 0, 1, 2 ;
p1 = P(X = −20000)= P2 (0)= C20 p0q2−0 = q2 = 0.22 = 0.04 ; p2 = P(X =10000)= P2 (1)= C21 p1q2−1 = 2 0.8 0.2 = 0.32 ; p3 = P(X = 40000)= P2 (2)= C22 p2q2−2 = 0.82 = 0.64.
Законраспределения, представленныйвтабличномвиде, приметвид(табл. 2.17):
Таблица 2.17
Закон распределения X (на основе данных примера 22)
X |
–20000 |
10000 |
40000 |
p(x) |
0.04 |
0.32 |
0.64 |
Рассмотрим поведение вероятностей Pn (k) как функции целочисленного аргумента k . Обозначим:
|
r (k) = |
Pn (k +1) |
, k =0,1,2..., n-1 |
(4.10) |
|||
|
|
||||||
|
n |
|
Pn (k) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
После подстановки (4.9) в (4.10) получаем: |
|
|
|
||||
r (k) = |
n!( pk +1qn−k −1)k!(n − k)! |
= |
p(n − k) |
(4.11) |
|||
|
|
||||||
n |
|
(k +1)!(n − k −1)!n!( pk qn−k ) |
|
q(k +1) |
|
||
|
|
|
|
||||
Поскольку при увеличении k числитель выражения в правой части (4.11) уменьшается, а знаменатель увеличивается, отношение rn (k) монотонно убыва-
ет. Кроме того, в силу (4.10) из rn (k) <1 следует Pn (k +1) < Pn (k) . Поэтому из
(4.11) следует, что при всех достаточно больших значениях k |
вероятность полу- |
чить k +1 успех меньше, чем вероятность получить k успехов. |
|
Согласно (4.11), rn (k) >1 только тогда, когда p(n − k) > q(k +1) , откуда по- |
|
сле несложных преобразований получаем: |
|
pn − q > qk + pk = (q + p)k = k . |
(4.12) |
57
Таким образом, вероятность Pn (k) увеличивается тогда, когда k увеличивается от нуля до k < np − q . Как толькоk > np − q , вероятности Pn (k) будут
уменьшаться. Такой одногорбый характер биноминального закона распределения представляет собой общую закономерность, верную для многих случайных величин, встречающихся на практике.
Одногорбое поведение закона распределения вероятностей типично для цен, производительности и любых результатов измерений, так как они концентрируются вокруг некоторого наиболее часто встречающегося числа. В теории вероятности наиболее вероятное значение случайной величины называется модой или наивероятнейшим значением. Поэтому мода биномиального распределения равна целой части pn - q и близка к pn.
Для математического ожидания и дисперсии биномиального распределения получаем:
n |
n |
|
M ( X ) = ∑kPn (k) = |
∑kCnk pk qn−k = pn , |
(4.13) |
k =0 |
k =0 |
|
n |
|
|
D( X ) = ∑(k − pn)2 Pn (k) = npq , σ = npq . |
(4.14) |
|
k =0
Таким образом, математическое ожидание и дисперсии биномиального распределения всегда увеличиваются при увеличении n. При увеличении p математическое ожидание также всегда увеличивается, а дисперсия возрастает только тогда, когда p < 0.5 , так как q =1 − p.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 18. Вероятность того, что партия товара будет продана на оптовом рынке, равна 0.8. Составить закон распределения числа проданных из четырех партий товара. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины.
Задача 19. В населенном пункте имеется 5 рынков. Вероятность того, что на рынке предлагается необходимый товар, равна 0.9. Составить закон распределения числа рынков, на которых имеется необходимый товар. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины.
Тема 21. Предельные случаи биномиального распределения
Если n и k – достаточно большие числа, вероятности Pn (k) биномиального
распределения становятся неудобными для вычислений. Это происходит потому, что они требуют вычисления факториалов от больших целых чисел и высоких степеней вероятностей p и q . Вычисления оказываются трудными еще и потому,
что значения факториалов становятся очень большими, а степени, наоборот, очень маленькими и при их перемножении в вероятностях Pn (k) теряется точность.
Что будет с вероятностями Pn (k) при n >>1? При увеличении n число возможных значений биномиально распределенной случайной величины увели-
58