Задача 9. Назвать противоположные для следующих событий:

A – монеты упали одинаковыми сторонами при бросании двух монет;

B– выпадение двух гербов при бросании двух монет;

С– выпадает не более 2 очков при подбрасывании игральной кости;

D– появление белого шара при вынимании одного шара из корзины, в которой 2 белых, 3 черных и 4 красных шара;

E– три попадания при трех выстрелах;

F– хотя бы одно попадание при пяти выстрелах;

G – не менее трех попаданий при пяти выстрелах;

H– выигрыш первого игрока при игре в шахматы;

I– безотказная работа всех элементов технической системы;

K – обнаружение не менее двух бракованных изделий в контрольной партии.

Тема 4. Понятие вероятности

Рассмотрим одно из основных понятий теории вероятностей – вероятность события. Для того чтобы определить вероятности событий, надо учесть, как часто они появляются: вероятность того из двух событий, которое происходит чаще, должна быть больше.

Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию элементарных событий к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных событий, образующих полную группу. Вероятность события А определяется формулой:

где N − общее число элементарных событий,

N A − число элементарных событий, благоприятствующих событию A. Формула (1.1) подходит и для элементарных невозможного и достоверного

Таким образом, для вычисления вероятностей событий необходимо правильно найти общее число элементарных событий и число элементарных событий, благоприятствующих событию А.

14

Необходимо отметить следующее утверждение. Если событие B влечет событие A , то событие A происходит не реже, чем событие B . Поэтому число элементарных событий, которые влекут событие A , не меньше, чем для события B . Таким образом, вероятность события A будет не меньше, чем вероятность события B .

Вероятность каждого равновозможного элементарного события равна единице, деленной на общее число элементарных событий.

Пример 19. При подбрасывании монеты для вероятностей выпадения герба (Г) и цифры (Ц) получаем: P(Г) = Р(Ц) = 12 .

Пример 20. Подбрасывается игральная кость. Для каждого элементарного события ω =1, 2,...,6 вероятность равна P(ω) = 16 .

Пример 21. В корзине 5 белых и 8 черных шаров. Из корзины случайным образом вынимают один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар окажется: а) белым; б) черным.

Решение. Общее число элементарных событий равно сумме белых и черных шаров, т.е. N = 5 +8 =13 .

А) Число элементарных событий, благоприятствующих тому, что вынутый шар окажется белым равно числу белых шаров NБ = 5. Следовательно:

Р(Б) = NNБ = 135 .

Б) Аналогично NЧ =8 .

Р(Ч) = NNЧ = 138 .

Задачи для самостоятельного решения

Задача 10. На улице Дождливой нуждаются в ремонте 7 домов. На ремонт одного дома требуется 12 ден.ед. Всего на ремонт домов по улице Дождливой выделено 36 ден.ед. Найдите вероятность того, что дом, требующий ремонта, будет отремонтирован.

Задача 11. Брошены две игральные кости; найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 3.

Задача 12. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал ее наугад. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра.

Задача 13. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наугад. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

Задача 14. Монета брошена два раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз выпадет герб.

15

Задача 15. Подбрасываются две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях – четная, причем на грани хотя бы одной из костей появится шестерка.

Задача 16. Задумано двузначное число. Найти вероятность того, что задуманным числом окажется случайно названное двузначное число, цифры которого различны.

Задача 17. В корзине 3 белых и 4 черных шара. Из корзины вынимают один шар и откладывают в сторону. Этот шар оказался белым. После этого из корзины берут еще один шар. Найти вероятность того, что этот шар тоже будет белым.

Задача 18. В коробке пять одинаковых занумерованных кубиков. Наугад по одному извлекают все кубики. Найти вероятность того, что номера извлеченных кубиков появятся в возрастающем порядке. Как изменится результат, если в коробке лежат пять игральных костей?

Задача 19. Гр. Иванов может доехать до места работы на одном из трех автобусов №2, №7, №21. Известно, что автобус №21 ходит в три раза, а №7 – в два раза чаще, чем №2. Найти вероятность того, что гр. Иванов доедет до места работы на автобусе №2.

Тема 5. Связь понятия вероятности с функциями

Согласно введенному понятию вероятности, каждому событию, которое может произойти при испытании, соответствует единственное число − вероятность этого события. Это значит, что вероятность есть такая же числовая функция, как площадь геометрической фигуры. Важное общее свойство этих функций заключается в том, что вероятность каждого события равна сумме вероятностей благоприятствующих ему элементарных событий так же, как площадь фигуры равна сумме площадей любых непересекающихся фигур, на которые можно разбить исходную фигуру. Конечно, имеется существенная особенность: вероятности всегда принимают значения между нулем и единицей. Это сразу следует из свойства 3 (тема 4).

В теории вероятностей изучаются и другие числовые функции, определенные на элементарных событиях. Они возникают и используются в различных приложениях. Например, в экономических системах – при изучении производительности и потребности, спроса и предложения, в связи с оценками доходов. Аналогично в информационных системах – при обработке результатов измерений, в предсказаниях погоды, состояния процесса обучения. Такие функции называются случайными величинами. В отличие от вероятностей значения случайных величин могут быть любыми числами. Существенное отличие случайных величин, которые не являются вероятностями событий, заключается в том, что их значения определяются не частотой появления, а содержательным смыслом. Например, величиной выигрыша (положительной или отрицательной суммой денег), объемом произведенной продукции. Поэтому случайные величины часто определяют только средними значениями и отклонениями от средних значений. О случайных величинах подробнее речь пойдет далее, в разделе IV.

16

РАЗДЕЛ II. ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СОБЫТИЙ

Тема 6. Элементы комбинаторики

Вбольшинстве задач достаточно трудно описать все элементарные события

иуказать те из них, которые благоприятствуют рассматриваемому событию. Однако для вычисления вероятностей требуется найти только числа элементарных

событий N и NA . Для этого полезны правила и формулы комбинаторики. Наи-

более часто используются следующие обозначения и понятия комбинаторики. Правило произведения. Если объект A может быть выбран из некоторой

совокупности m способами, и после каждого такого выбора объект B можно выбрать n способами, то пара объектов (A, В) в указанном порядке может быть выбрана mn способами.

Для доказательства справедливости этого утверждения надо выписать или представить себе все упорядоченные пары, которые можно составить из элементов двух совокупностей по строкам и столбцам так, как это было сделано раньше при определении числа элементарных событий в испытании с двумя подбрасываниями игральной кости. В общем случае будет m строк и n столбцов и, следовательно, всего mn различных упорядоченных пар.

Сформулированное утверждение иногда называют основной леммой комбинаторики и используют, выбирая подходящим образом совокупности элементов, из которых состоят пары. В тех случаях, когда элементарные события определяются не парами, а большим числом множеств, применяют обобщение приведенного утверждения для упорядоченных наборов троек и большего числа совокупностей: общее число таких упорядоченных наборов равно произведению числа элементов в соответствующих трех совокупностях.

Пример 1. В магазине «Все для чая» есть 5 разных видов чашек и 3 разных вида блюдец. Сколькими способами можно купить чашку с блюдцем?

Решение. Поскольку в магазине есть 5 разных чашек, то чашку можно выбрать пятью способами. После выбора чашки блюдце можно выбрать тремя способами. Следовательно, чашку с блюдцем можно выбрать 5 3 =15 способами.

Пример 2. В магазине «Все для чая» есть еще 4 чайные ложки. Сколькими способами можно купить комплект из чашки, блюдца и ложки?

Решение. Чашку с блюдцем можно выбрать 5 3 =15 способами. После их выбора чайную ложку можно выбрать четырьмя способами. Следовательно, купить комплект из чашки, блюдца и ложки можно 5 3 4 = 60 способами.

Правило суммы. Если некоторый объект A может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект B может быть выбран n способами, то выбрать либо A, либо В можно m + n способами.

Пример 3. В магазине «Все для чая» продается 5 чашек, 3 блюдца и 4 чайные ложки. Сколькими способами можно купить два предмета с разными названиями?

Решение. Для того чтобы купить два предмета с разными названиями, можно выбрать чашку с блюдцем, блюдце с ложкой и чашку с ложкой. В примере показано, что чашку с блюдцем можно выбрать 5 3 =15 способами. Анало-

17

гично можно купить блюдце с ложкой 3 4 =12 способами и чашку с ложкой 5 4 = 20 способами. Следовательно, два предмета с разными названиями можно выбрать 15 +12 + 20 = 47 способами.

Пример 4. Алфавит некоего племени состоит из трех букв А, Б, В. Словом является любая последовательность, состоящая из одной, двух, трех или четырех букв. Сколько слов в языке племени?

Решение. По условию задачи, слова в языке некоего племени могут состоять из одной, двух, трех или четырех букв. Из одной буквы есть всего три слова: А, Б, В. Из двух букв – девять слов: АА, АБ, АВ, БА, ББ, БВ, ВА, ВБ, ВВ. Последний результат можно получить следующим образом. Слова из двух букв

обозначим 1 2 . Тогда для 1 можно выбрать любую из трех букв, аналогично для 2 также можно выбрать любую из трех букв. Следовательно, по правилу произведения из двух букв полячится 3 3 = 9 слов, аналогично, из трех букв –

3 3 3 = 33 слов, а из четырех – 3 3 3 3 = 34 слов. Всего в языке племени будет

3 +32 +33 +34 =120 слов.

Произведение всех целых чисел от 1 до n , т.е. 1 2 3 n , обозначается n !. Читается: «эн-факториал». При этом считается, что 0!=1. Значок факториала необычен, но, по сути, это просто новая функция целочисленного аргумента, которая очень быстро растет: 2!=2, 3!=6, 4!=24, 5!=120,... Раньше эта функция уже встречалась в математическом анализе, в формуле Тейлора. При n > 5 значения факториалов вычисляют редко. Чаще они используются как удобное обозначение, так как, в соответствии с основной леммой комбинаторики, различные произведения при вычислении числа элементарных событий появляются постоянно.

Перестановками называют комбинации, состоящие из n числа одних и тех же различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения.

брать любую из цифр 1, 2, 3 (3 варианта), для 2 можно выбрать любую из двух

оставшихся цифр (2 варианта), поскольку одна из цифр уже стоит на первом месте и по условию задачи цифры в записи числа не повторяются. На третье место однозначно определится последняя оставшаяся цифра (1 вариант). Искомое число трехзначных чисел равно 3 2 1=3!

Пример 6. Сколько слов можно составить из букв «т», «о», «к», «а» при условии, что буквы в слове не повторяются?

Решение. Искомые слова будут состоять из четырех букв 1 2 3 4 . Здесь

1 может быть равен «т», «о», «к», «а» (4 варианта). 2 может равняться любой из трех оставшихся букв (3 варианта), поскольку по условию задачи буквы в слове не повторяются. Аналогично, 3 может равняться любой из двух оставшихся букв

18

(2 варианта). На последнее место ( 4 ) однозначно встанет единственная остав-

шаяся четвертая буква (1 вариант). Искомое число слов равно 4 3 2 1 = 4! Размещениями называют комбинации, составленные из n различных эле-

ментов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком.

Число всех размещений из n по m элементов равно:

Пример 7. В фирме, состоящей из 11, человек нужно выбрать главного менеджера и его заместителя. На данные должности может претендовать любой из сотрудников, но обе должности не может занимать один и тот же человек. Сколькими способами можно это сделать?

Решение. На должность главного менеджера можно выбрать любого из 11 сотрудников, при этом на пост его заместителя будут претендовать 10 оставшихся сотрудников. Поэтому главного менеджера и его заместителя можно назначить 11 10 =110 способами:

A112 =11 10 =110.

Пример 8. Коротышки, проживающие в Цветочном городе, решили провести выборы городского начальства: избрать мэра, казначея и полицмейстера. Сколькими способами можно избрать городское начальство в Цветочном городе, если каждый из 100 проживающих там граждан может претендовать на любой пост, но при этом он может быть избран лишь на какой-либо один пост.

Решение. На должность мэра может претендовать любой из 100 жителей (100 вариантов). После выбора мэра казначеем может стать любой из 99 оставшихся граждан (99 вариантов). После выбора мэра и казначея, полицмейстером может стать любой из 98 жителей (98 вариантов). Поэтому городское начальство можно выбрать 100 99 98 = 970200 способами.

A1003 =100 99 98 .

Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом.

Число сочетаний из n по m элементов:

Пример 9. В фирме командированным может быть любой из 11 сотрудников. Нужно командировать двух сотрудников. Сколькими способами это можно сделать? Как изменится результат, если командировать нужно троих сотрудников?

Решение. В отличие от примера 7 в данном случае требуется выбрать двух человек из одиннадцати без учета занимаемого места, нам не важно, кто из них первый, а кто второй (кто главный, а кто заместитель). Но на первом этапе ре-

шения занумеруем места претендентов: 1 2 . По результатам решения примера 7 следует, что пару 1 2 можно выбрать 11 10 =110 способами. На втором эта-

пе решения рассмотрим пару Иванов – Петров. В число занумерованных пар также будет входить пара Петров – Иванов. Но такая пара командированных со-

19

трудников может встретиться только один раз! Следовательно, число занумерованных пар 11 10 нужно разделить на 2. Итак, командировать двух сотрудников

Осталось понять, что будет, если командировать надо не двух, а трех сотрудников. Насколько надо будет делить. Почему пришлось поделить на 2? Ведь 2= 2!. А 2! – это число перестановок из двух элементов. Поэтому понятно, что из трех занумерованных можно составить 3! перестановки. Значит, общее число занумерованных троек командированных надо поделить на 3!. Вот смысл деления в общем случае.

Пример 10. Коротышки, проживающие в Цветочном городе, решили создать комиссию из трех представителей. Сколькими способами можно избрать такую комиссию, если каждый из 100 проживающих там граждан может войти в нее?

Решение. В отличие от примера 8 в данном случае нужно избрать трех коротышек из ста без учета занимаемых должностей. Из результатов решения примера 8 следует, что тройку коротышек с учетом занимаемых ими мест можно выбрать 100 99 98 способами. Поскольку трех коротышек внутри комиссии можно переставить 3! способами, то число способов выбора комиссии будет в 3! раза меньше, чем число способов выбора городского начальства. Поэтому ко-

Вычисление количества сочетаний по формуле (2.3) производится только при сравнительно небольших значениях n или m . Для упрощения вычислений в остальных случаях составлены таблицы. Для того чтобы пользоваться такими таблицами, надо помнить, что в этих таблицах два входа − они указываются в строчках и в столбцах, а на пересечении их дается значение числа сочетаний. Другие способы: обращение к компьютеру или асимптотическим формулам, которые с большой точностью дают результат при больших значениях n и m .

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Сколькими способами можно сделать трехцветный флаг с горизонтальными полосами одинаковой ширины, если имеется материя шести различных цветов?

Задача 2. Чтобы прибыть в указанное место нужно сначала добраться до побережья (на автомобиле, на самолете или на поезде), а затем добраться до острова (на катере или вертолете). Сколькими способами можно добраться до указанного места?

Задача 3. Сколько различных четных двухзначных чисел можно составить из цифр 3, 4, 5 и 6, если в каждом числе не может быть одинаковых цифр?

20