Задача 27. В ходе рекламной кампании за покупку рекламируемого товара выдается беспроигрышный лотерейный билет, в котором в качестве выигрыша указаны кошелек или рюкзак. На столике у продавца лежит 15 билетов, причем в пяти из них указан рюкзак, а в остальных – кошелек. Гр. Иванов купил 4 единицы рекламируемого товара. Найдите вероятность того, что покупатель выиграет: а) более двух рюкзаков; б) хотя бы один рюкзак.

Тема 10. Теорема умножения вероятностей

Событие A называется независимым от события B , если вероятность события A не зависит от того, произошло событие B или нет. В противном случае событие A называется зависимым от события B .

Вероятность события A, вычисленная при условии, что произошло событие

Пример 15. Подбрасываются две монеты. События: появление герба на первой монете; появление герба на второй монете – независимы.

Пример 16. В корзине три белых и два черных шара. Вынимают последовательно два шара. События: A – первый вынутый шар – белый, B – второй вынутый шар – белый – зависимы, поскольку если произойдет A, то вероятность

PA (B) =1/ 2 , а если произойдет A , то вероятность PA (B) = 3 / 4 . Т.е. вероятность события B зависит от того, произошло первое событие или нет.

Теорема. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место:

Теорема умножения вероятностей может быть обобщена в случае произвольного числа событий. В общем виде она записывается так:

P(A1A2...An ) = P(A1)PA1 (A2 )PA1A2 (A3)...PA1A2 ...An−1 (An ). (2.12)

Пример 17. В корзине 3 красных и 4 зеленых яблока. Из корзины вынимают подряд два яблока. Найти вероятность того, что оба яблока окажутся красными.

Решение. Обозначим события:

A – первое вынутое яблоко – красное;

B– второе вынутое яблоко – красное;

C– оба вынутых яблока – красные.

27

Событие С представляет собой произведение зависимых событий A и B . По теореме умножения вероятностей:

Пример 18. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0.7, а для второго – 0.8. Найти вероятность того, что при одном выстреле в мишень:

1)попадут оба стрелка;

2)попадет только первый стрелок;

3)попадет только второй стрелок;

4)попадет только один стрелок;

5)промахнутся оба стрелка;

6)попадет хотя бы один из стрелков.

Решение. Обозначим события:

A – первый стрелок попадет в мишень;

B– второй стрелок попадет в мишень;

C– попадут оба стрелка;

D – попадет только первый стрелок;

F – попадет только второй стрелок;

G – попадет только один стрелок;

H – промахнутся оба стрелка;

K – попадет хотя бы один из стрелков. Тогда:

A – первый стрелок промахнется, B – второй стрелок промахнется. По условию задачи имеем P( A) = 0.7, P(B) = 0.8.

Событие C произойдет тогда, когда произойдет и событие A , и событие B , поэтому C = AB . Поскольку успех в стрельбе одного из стрелков не зависит от стрельбы другого, то события A и B независимы. Следовательно:

P(C) = P( AB) = P( A)P(B) = 0.8 0.7 = 0.56 .

28

Событие D произойдет тогда, когда произойдет событие A и событие B , поэтому D = AB . Аналогично:

P(D) = P( AB ) = P( A)P(B ) = 0.8 0.3 = 0.24 .

Событие F произойдет тогда, когда произойдет событие A и событие B , поэтому F = AB . Аналогично:

P(F) = P( AB) = P( A)P(B) = 0.2 0.7 = 0.14 .

Событие «попадет только один стрелок» эквивалентно утверждению «первый стрелок попадет, а второй промахнется или первый стрелок промахнется, а второй попадет». Поэтому G = D + F . Заметим, что события D иF несовместны, следовательно:

P(G) = P(D +F) = P(AB + AB) = P(AB) +P(AB) =0.24 +0.14 =0.38.

Событие H произойдет тогда, когда произойдет событие A и событие B , поэтому H = AB . Аналогично:

P(H ) = P(AB) = P( A)P(B) = 0.2 0.3 = 0.06 .

Приведем еще один способ вычисления вероятности события G :

P(G) =1−P(G) =1−P(C +H) =1−P(C) −P(H) =1−0.56 −0.06 =0.38.

Заметим, что противоположным для события K является событие H . Поэтому:

P(K) =1−P(K) =1−P(H) =1−0.06 =0.94.

Пример 19. Монета подбрасывается четыре раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз выпадет герб.

Решение. Обозначим событие A – при одном подбрасывании монеты вы-

падет «герб». Тогда A – при одном подбрасывании монеты выпадет цифра. Рассмотрим события:

B – при четырех подбрасываниях выпадут только цифры;

B – при четырех подбрасываниях хотя бы один раз выпадет герб. Событие B равно A A A A. Следовательно:

Задачи для самостоятельного решения

Задача 28. В корзине лежат 5 белых и 4 черных шара. Наугад вынимают подряд два шара. Найти вероятность того, что оба шара черные. Как изменится результат, если после первого вынимания шар возвращается в корзину?

Задача 29. На полке лежат 10 CD-дисков, на 4 из них записана музыка, а на остальных – фильмы. Случайным образом берутся два диска. Найти вероятность того, что на выбранных дисках окажется музыка. Как изменится результат, если берется три диска?

29

Задача 30. В коробке лежат 3 ручки и 6 карандашей. Найти вероятность того, что среди двух наугад взятых из коробки предметов окажутся только карандаши. Как изменится результат, если берется три предмета?

Задача 31. Студент знает 20 из 25 экзаменационных вопросов. Найти вероятность того, что студент знает ответы на предложенные ему экзаменатором три вопроса.

Задача 32. В урне 5 белых и 3 черных шара. Из урны вынимаются сразу два шара. Найти вероятность того, что эти шары будут разных цветов.

Задача 33. В урне 5 белых и 3 черных шара. Из урны в случайном порядке, один за другим, вынимают все находящиеся в ней шары. Найти вероятность того, что вторым по порядку будет вынут белый шар.

Задача 34. Имеется три корзины, в каждой из которых лежит по 10 яблок. В первой корзине – 5, во второй – 7, в третьей – 9 зеленых яблок, остальные яблоки – красные. Из каждой корзины наугад достается по одному яблоку. Найти вероятность того, что все вынутые яблоки окажутся: а) зелеными; б) красными.

Задача 35. Брошены три игральные кости. Найти вероятности следующих событий: а) на каждой из выпавших граней появится пять очков; б) на всех выпавших гранях появится одинаковое число очков.

Задача 36. Две фирмы проводят рекламные кампании. Внутри упаковки рекламируемого товара может оказаться выигрыш с вероятностью 0.2 и 0.15 для товаров, выпускаемых первой и второй фирмой соответственно. Покупатель приобрел по одному из рекламируемых товаров. Найти вероятность того, что покупатель: а) получит оба выигрыша; б) получит только один выигрыш; в) не получит ни одного выигрыша.

Задача 37. При контроле готовой продукции последовательно проверяется 4 изделия. При обнаружении бракованного изделия бракуется вся партия. Найти вероятность того, что партия будет забракована, если в ней 15% брака.

Задача 38. Станок последовательно обслуживается тремя рабочими. Независимо от остальных 1-ый может допустить брак с вероятностью 0,1, 2-ой и 3-ий – с вероятностью 0,12. Готовый станок относится к 1 сорту, если ни один из рабочих не допустил брака, ко 2 сорту, если брак допущен только 2-ым или только 3-им рабочим и к 3-му сорту − в остальных случаях. Найти вероятность того, что изготовленный станок будет отнесен к 1-му, 2-му или 3-му сорту.

Задача 39. Сколько раз надо бросить монетку, чтобы с вероятностью более 0.95 можно было ожидать, что хотя бы один раз выпадет герб?

Задача 40. Вероятность попадания в мишень стрелком при одном выстреле равна 0.8. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью, меньшей 0.3 можно было ожидать, что не будет ни одного промаха?

Задача 41. Вероятность выигрыша в лотерею равна 0.2. Сколько лотерейных билетов нужно приобрести, чтобы с вероятностью более 0.9 можно было ожидать, что хотя бы один билет окажется выигрышным?

30

Задача 42. При производстве гайки возможны три вида дефекта: невыдержанная толщина, невыдержанная форма, невыделенная резьба. Известно, что вероятности появления данных дефектов равны соответственно 0.05, 0.04, 0.03. Найдите вероятность того, что у случайно выбранной гайки: а) дефекты отсутствуют; б) имеется два дефекта.

Задача 43. Некоторый механизм состоит из 100 элементов. Вероятность того, что любой из элементов дефектный равна 0.01. Найти вероятность того, что взятый случайным образом механизм исправен.

Задача 44. В биатлоне стрелок стреляет подряд по пяти мишеням. Известно, что стрелок Сидоров поражает каждую мишень с вероятностью 0.95. Найти вероятность того, что Сидоров отстреляется без промахов. С какой вероятностью биатлонист должен попадать в одну мишень, чтобы с вероятностью 0.99 отстреляться без промахов?

Задача 45. Таня, Оля и Наташа опаздывают на занятия по математике с вероятностью 0.8, 0.9 и 0.9 соответственно. Найти вероятность того, что на занятие по математике; а) придут вовремя все трое; б) опоздают все трое; в) опоздает только одна из них.

Тема 11. Теорема сложения вероятностей совместных событий

Теорема. Вероятность суммы событий A и B равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения, т.е.:

Формула (2.15) является обобщением случая (2.4). Она содержит вычитание P( AB) , потому что сумма первых двух слагаемых содержит по два раза вероят-

ности тех элементарных событий, при которых одновременно происходят и A , и B , т.е. их произведение AB .

Используя данную теорему, легко получить и формулу для вероятности суммы трех событий. Для этого надо представить сумму трех событий A , B , C как ( A + B) +C , дважды воспользоваться теоремой сложения и определить со-

бытия, вероятности которых придется складывать. Данная формула будет выглядеть следующим образом:

P(A + B +С) = P(A) + P(B) + P(C) −

(2.16)

−P( AB) − P(AC) − P(BC) + P(ABC)

Отметим, что в теоремах о вероятности суммы и произведения событий не требуется равновозможности элементарных событий, а вероятность любого события понимается как сумма вероятностей благоприятствующих ему элементарных событий.

Пример 20. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0.7, а для второго – 0.8. Найти вероятность того, что при одном выстреле в мишень попадет хотя бы один стрелок.

31