2. КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

РАЗДЕЛ I. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ И ИХ ВЕРОЯТНОСТИ

Тема 1. Вводные замечания

В этом разделе речь пойдет о приложении основных представлений и понятий математического анализа и прежде всего – понятия функции для изучения задач, часто встречающихся на практике. К ним относятся затраты времени, денег и материалов, израсходованных на изготовление партии изделий, объем и качество выполненной поставки оборудования и сырья, полученная прибыль. В каждом случае их невозможно точно определить заранее так же, как при жизни человека нельзя вычислить продолжительность его жизни.

Подобные ситуации возникают и в более простых игровых ситуациях. Так, при стрельбе по спортивной мишени можно выбить только от нуля до десяти очков. При подбрасывании игральной кости на выпавшей грани может оказаться только одно из шести чисел 1,2, ..., 6. Подброшенная монета может выпасть гербом (Г) или цифрой (Ц). В последнем случае возможны только два различных результата, да и реализация подбрасываний значительно проще, чем во всех остальных случаях. В тоже время для всех описанных примеров характерна возможность разных результатов при каждом наблюдении или измерении, когда необходимо найти численные оценки доходов, расходов, цен, числа выпавших гербов, независимо от того, как производится наблюдение. Приведем типичный пример.

Пример 1. В столовой обед состоит из трех блюд. В меню в перечне первых блюд борщ, суп и щи, в перечне вторых блюд – гуляш, котлеты, оладьи и рыба и на третье – морс или чай. Подсчитайте число всех возможных вариантов выбора обеда.

Все представленные нам возможности удобно изобразить следующей схемой (рис. 2.1). На ней представлены все варианты выбора обеда. Три строчки схемы соответствуют тому, что выбор обеда осуществляется в три шага. На первом шаге мы выбираем первое блюдо (три имеющихся у нас возможности обозначены буквами Б, С, Щ). Независимо от принятого нами на первом шаге решения у нас есть четыре возможности выбора второго блюда (Г, К О, Р). Эта независимость выражается в том, что из букв первой строчки выходит по четыре стрелки во вторую строчку. Независимо от того, какие блюда мы выбрали на первых двух шагах, у нас есть две возможности выбора третьего блюда.

Рис. 2.1. Схема выбора обеда в примере 1

9

Поэтому на схеме из каждой буквы второй строчки выходят две стрелки в третью строчку. Каждому варианту обеда соответствует на схеме путь, идущий по стрелкам из верхней строчки в нижнюю. Например, путь С-К-М соответствует обеду «суп – котлеты – морс». Аналогично, путь Щ-К-Ч соответствует набору «щи – котлеты – чай».

С помощью схемы легко подсчитать число всех возможных вариантов выбора обеда – оно равно числу различных путей из верхней строчки в нижнюю строчку. Каждый такой путь начинается с одной из 3 букв в первой строчке и заканчивается одной из 24 букв в последней строчке. Следовательно, число различных путей равно числу букв в нижней строчке и всего возможно 24 варианта обеда.

Нетрудно представить другие задачи (ситуации), в которых возможно сосчитать число всех возможных вариантов. В связи с анализом подобных ситуаций введем несколько новых понятий.

Общая схема очень проста: вводят упрощения изучаемого объекта, используют их для построения модели объекта и исследуют ее математическими методами. Получающиеся выводы и экспериментальные результаты используют для проверки их согласованности. Если различие между результатами оказывается незначительным, построенную модель считают правильной и применяют для получения новых предсказаний. В противном случае вводят новые упрощения и математические модели.

Тема 2. Испытания и события

Будем называть испытанием любой опыт, который можно выполнить над исследуемым объектом сколько угодно много раз при одинаковых условиях.

Примерами испытаний являются: 1) определение температуры воздуха;

2)выяснение цены покупаемого товара; 3) определение произведенных затрат;

4)определение полученных доходов и т.д.

Будем называть событиями все возможные результаты мысленного эксперимента и ччитать, что в результате любого испытания происходят, появляются, наступают, возникают, выполняются, совершаются события. В тех случаях, когда необходимо подчеркнуть, что эксперимент может иметь несколько разных исходов, события называют случайными.

Пример 2. Наблюдение того, что вошло в состав обеда в примере 1 – испытание. Выбор обеда – событие.

Пример 3. Подбрасывается монета. Подбрасывание – это испытание. Появление герба или цифры – события.

Пример 4. Абонент набирает номер телефона. Процесс набора – испытание. Ответят абоненту по телефону или нет – событие.

Во всех случаях условия, при которых производятся наблюдения, то есть мысленные эксперименты, считаются одинаковыми. В тех случаях, когда условия отличаются, говорят о различных мысленных экспериментах. Важно, что после выполнения каждого испытания получается только один (единственный) из всех возможных результатов.

10

Тема 3. Виды случайных событий

В теории вероятностей различают элементарные (неразложимые) и составные (разложимые) события.

Событие называется элементарным, если оно однозначно определяет исход испытания. Все остальные события составные.

Составные события неоднозначно определяют результат испытания, так как составное событие происходит, если выполняется одно из нескольких элементарных событий.

Пример 5. При подбрасывании одной игральной кости выпадение того или иного числа очков – элементарное событие. Поскольку у игральной кости шесть граней, то возможны только шесть элементарных событий: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Пример 6. Игральная кость подбрасывается один раз. Событие – выпадение четного числа очков – составное, поскольку включает в себя три элементарных события: выпало 2, 4, 6 очков.

Пример 7. Игральная кость подбрасывается два раза. Каждое элементарное событие определяется результатом первого и второго подбрасывания и каждое элементарное событие задается упорядоченной парой чисел:

Следовательно, при двух подбрасываниях кости имеется ровно тридцать шесть элементарных событий.

Многие различные элементарные события могут привести к одинаковым результатам: ценам, доходам, температурам, поэтому в практических задачах выписать элементарные события, как правило, достаточно трудно или даже невозможно.

События называются несовместными, если они не могут произойти одновременно.

Так как каждое элементарное событие однозначно определяет исход испытания, любые два элементарных события всегда несовместны.

События, которые могут произойти одновременно, называют совместными. Совместными могут быть два и большее число событий.

Различные составные события могут происходить одновременно, если они появляются при наступлении одного и того же элементарного события.

Пример 8. Подбрасывается монета. События появления герба либо цифры – несовместные, поскольку монета может упасть лишь одной стороной.

Пример 9. Подбрасывается игральная кость. События выпадения четного числа очков либо нечетного – несовместные, поскольку может выпасть или четное, или нечетное число очков.

11

Пример 10. Подбрасывается игральная кость. События выпадения четного числа очков и числа очков больше трех – совместные, поскольку при выпадении 4 или 6 очков происходят оба названных события.

Элементарные события называют равновозможными, если в результате испытания все они происходят одинаково часто.

Пример 11. Подбрасывается монета. События появления герба либо цифры – равновозможные.

Пример 12. Подбрасывается погнутая монета. События появления герба либо цифры не являются равновозможными событиями.

Пример 13. Подбрасывается игральная кость. События выпадения 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков – равновозможные.

Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них.

Пример 14. Подбрасывается монета. События появление герба либо цифры образуют полную группу.

Пример 15. Подбрасывается игральная кость. События: выпало четное число очков, выпало число очков, делящееся на три, выпало одно или пять очков – образуют полную группу.

Событие, которое не может произойти, когда происходит событие A , и происходит каждый раз, когда A не произошло, называется событием противо-

положным A . Оно обозначается A . Поэтому каждое элементарное событие влечет либо событие A , либо ему противоположное событие – A .

Пример 16. Подбрасывается монета. События: появление герба и появление цифры – противоположные.

Пример 17. Подбрасывается игральная кость. События: выпало четное число очков и выпало нечетное число очков – противоположные.

Пример 18. Подбрасывается игральная кость. События: выпало более 4 очков и выпало менее 5 число очков – противоположные.

Все события в теории вероятностей обозначают заглавными буквами латинского алфавита A, B,C,... Специально для элементарных событий часто исполь-

зуют обозначение ω1 , ω2 ,...,ωN с индексами или без них.

Говорят, что событие A влечет событие B , если событие B происходит при каждом появлении события A. Это обозначается A B . Среди всех событий выделяют два специальных события. Событие называется достоверным, если оно обязательно происходит в данном испытании. Событие называется невозможным событием, если оно никогда не может произойти в данном испытании. Достоверное событие обычно обозначают E , а невозможное − O .

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Сколько имеется элементарных событий при выборе обеда из трех блюд в примере 1 (тема 1)?

Задача 2. Является ли событие - все выбирают котлеты на второе – составным при выборе обеда из трех блюд в примере 1 (тема 1)?

12

Задача 3. Перечислите все элементарные события испытания: а) подбрасываются две монеты; б) подбрасываются три монеты.

Задача 4. Подбрасываются две монеты. Является ли событие выпадения герба хотя бы на одной монете составным?

Задача 5. Являются ли несовместными следующие события:

а) подбрасываются две монеты; события: появление герба на первой монете, появление цифры на второй монете;

б) производятся два выстрела по мишени; события: ни одного попадания, одно попадание; два попадания;

в) производятся два выстрела по мишени; события: хотя бы одно попадание, хотя бы один промах;

г) изымаются две карты из колоды; события: появление двух черных карт, появление туза, появление дамы;

д) загадывается произвольное целое двузначное число; события: загаданное число делится на 15, загаданное число содержит одинаковые цифры?

Задача 6. Являются ли равновозможными следующие события: а) производится выстрел по мишени; события: попадание, промах;

б) подбрасываются две монеты; события: появление двух гербов, появление двух цифр, появление одного герба и одной цифры;

в) изымается карта из колоды; события: появление карты червонной масти, появление карты бубновой масти, появление карты трефовой масти;

г) подбрасывается игральная кость; события: появление не менее трех очков, появление не более четырех очков?

Задача 7. Образуют ли полную группу следующие группы событий: а) подбрасывается монета; события: появление герба, появление цифры;

б) подбрасываются две монеты; события: появление двух гербов, появление двух цифр;

в) производятся два выстрела по мишени; события: ни одного попадания, одно попадание, два попадания;

г) производятся два выстрела по мишени; события: хотя бы одно попадание, хотя бы один промах;

д) изымается карта из колоды; события: появление карты червонной масти, появление карты бубновой масти, появление карты трефовой масти?

Задача 8. Приведите примеры:

а) трех событий, образующих полную группу; б) трех событий, несовместных, равновозможных, не образующих полной

группы; в) двух событий, несовместных, не равновозможных, образующих полную

группу; г) двух событий, совместных, равновозможных, образующих полную группу.

13