РАЗДЕЛ III. ПОВТОРЕНИЕ ИСПЫТАНИЙ
Тема 13. Схема Бернулли
Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие A может наступить либо не наступить. Условимся считать, что вероятность события A в каждом испытании равна p , а вероятность ненаступления события
A равна q =1 − p .
Найдем вероятность того, что при n испытаниях событие A произойдет ровно k раз, не произойдет ровно n − k раз. Поскольку испытания независимы, по теореме умножения вероятностей, вероятность каждого элементарного события с
k успехами и n − k неудачами равна pk qn−k . Число таких элементарных событий определяется тем, сколько можно составить сочетаний из n элементов по k элементов, т.е. Cnk . Поэтому, по теореме сложения вероятностей, получаем:
P (k) = C k pk qn−k , k = 0,1,2,...,n . |
(3.1) |
|
n |
n |
|
Полученную формулу называют формулой Бернулли, а данный способ ис- |
||
пытаний – схемой Бернулли. |
|
|
Пример 1. Вероятность попадания стрелка в мишень равна |
0.7 . Стрелок |
|
стреляет по трем мишеням. Найти вероятность того, что стрелок попадет в две мишени.
Решение. Обозначим событие A – стрелок попал в мишень при одном выстреле, и P( A) = p = 0.7 . Тогда A – стрелок промахнулся при одном выстреле, P(A) = q =1 − p = 0.3 . Искомая вероятность равна:
P3 (2) = P(AAA + AAA + AAA) =
= P(A)P(A)P(A) + P(A)P( A)P( A) + P( A)P( A)P( A) =
= ppq + pqp + qpp =3 p2q =C32 p2q =3 0.72 0.3 = 0.441
Пример 2. Игральную кость подбросили 10 раз. Найти вероятность того, что двойка выпадет ровно 8 раз.
Решение. Вероятность выпадения двойки при одном бросании игральной
кости равна p =1/ 6 . Следовательно, |
q =1− p =5/ 6. По условию задачи имеем |
|||
n =10, k =8 . По формуле Бернулли находим искомую вероятность: |
||||
P |
(8) = C8 p8q2 = |
|
125 |
= 0.000019 . |
|
||||
10 |
10 |
6718464 |
|
|
|
|
|
||
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Монетка подбрасывается 7 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет ровно 4 раза.
Задача 2. В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0.8. Найти вероятность того, что в данный момент: а) включено 4 мотора; б) включены все моторы.
36
Задача 3. Студент Петров выполняет домашнее задание по математике с вероятностью 0.9. В семестре по математике Петрову было задано 17 домашних заданий. Найти вероятность того, что Петров выполнит более 15 домашних заданий.
Задача 4. В группе 10 студентов. Вероятность посещения занятия по математике каждым студентом одинакова и равна 0.7. Найти вероятность того, что на занятии по математике будут присутствовать более семи студентов.
Задача 5. Произведено 8 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события A равна 0.1. Найти вероятность того, что событие A наступит хотя бы 2 раза.
Задача 6. Прибор состоит из 10 узлов. Вероятность безотказной работы в течение времени T для каждого узла равна 0.2. Узлы выходят из строя независимо один от другого. Найти вероятность того, что за время T : а) откажет хотя бы один узел; б) откажет один узел; в) откажут два узла; г) откажет не менее двух узлов.
Тема 14. Локальная теорема Лапласа
Теорема. Если производится достаточно много n независимых опытов, в каждом из которых событие A появляется с вероятностью p и не появляется с
вероятностью q =1 − p , |
отличными от нуля и единицы, то вероятность того, что |
|||||||
событие A появится ровно k раз, приближенно равна: |
|
|
||||||
|
|
P (k) ≈ ϕ(x) , |
|
(3.2) |
||||
|
|
n |
σ |
|
|
|||
где |
|
|
|
|
||||
1 |
|
|
k − np |
|
|
|
||
ϕ(x) = |
e−x2 / 2 , |
x = |
|
σ = npq . |
(3.3) |
|||
2π |
σ |
|||||||
|
|
|
|
|
||||
Функция ϕ(x) называется функцией Гаусса, реже – малой функцией Ла-
пласа. Заметим, что функция ϕ(x) – четная, т.е. ϕ(−x) =ϕ(x) . Таблица значений функции ϕ(x) для положительных значений x приведена в приложении 1.
Формула (3.2) тем точнее, чем больше n , рекомендуется также применять ее при σ > 4 .
Приведенная выше теорема называется локальной теоремой Лапласа, ино-
гда ее называют теоремой Муавра-Лапласа.
Пример 3. Игральную кость подбросили 600 раз. Найти вероятность того, что тройка выпадет 80 раз.
Решение. По условию задачи имеем n = 600 , k =80 , |
p = |
1 |
, q = |
5 |
. Тогда: |
||||
6 |
6 |
||||||||
σ = npq = 600 |
1 |
|
5 |
= 9.13, |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
37
|
k − np |
|
80 −600 |
1 |
|
x = |
= |
6 |
= −2.19 . |
||
σ |
9.13 |
|
|||
|
|
|
|
||
По таблице |
значений |
ϕ(x) находим ϕ(−2.19) =ϕ(2.19) = 0.0363. Следова- |
|||
тельно: |
|
|
|
|
|
P |
(k) ≈ |
ϕ(x) |
= |
1 |
|
|
|
0.0363 = 0.004 . |
|
|
|
|
|||||
n |
|
σ |
|
600 |
1 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
6 |
6 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Пример 4. Найти вероятность того, что при 600 выстрелах мишень будет поражена 250 раз, если вероятность поражения мишени при каждом выстреле равна 0.4.
Решение. Здесь по условию имеем: n = 600, k = 250, p = 0.4, q = 0.6 .
Поэтому: |
|
|
|
|
|
|
σ = npq = |
600 0.4 0.6 = 144 =12, |
|
|
|
|
|
x = k − np = |
250 −600 0.4 ≈ 0.833 |
|
|
|
|
|
σ |
12 |
|
|
|
|
|
По таблице значений функции ϕ(x) находим ϕ(0.833) ≈ 0.282 . Следова- |
||||||
тельно, вероятность искомого события равна |
ϕ(0,833) |
≈ |
0.28 |
= 0.023 . |
||
σ |
12 |
|||||
|
|
|
|
|||
Задачи для самостоятельного решения
Задача 7. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле р = 0.75. Найти вероятность того, что при 10 выстрелах стрелок поразит мишень
8 раз, используя: а) локальную теорему Лапласа; б) формулу Бернулли.
Задача 8. Найти вероятность того, что событие A наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0.2.
Задача 9. В городе N родилось 1200 младенцев. Найти вероятность того, что родилось 700 мальчиков, если вероятность рождения мальчика равна 0.51.
Тема 15. Интегральная теорема Лапласа
Теорема. Если производится достаточно много n независимых опытов, в каждом из которых событие A наступает с вероятностью p и не совершается с
вероятностью q =1 − p , отличными от нуля и единицы, то вероятность того, что
событие A появится не менее k1 раз и не более k2 |
раз, приближенно равна: |
|
′′ |
′ |
(3.4) |
Pn (k1,k2 ) Φ(x ) − Φ(x ) , |
||
38
где |
|
|
Φ(x) = 21π ∫x e−t 2 / 2dt |
|
||
|
|
|
(3.5) |
|||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
x′ = |
k1 − np |
x′′ = |
k2 − np |
σ = npq |
(3.6) |
|
|
|||||
|
σ |
σ |
||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
′′ |
′ |
|
|
|
Pn (k1,k2 ) Φ(x ) − Φ(x ) |
|
|||
Здесь Φ(x) |
– функция Лапласа. Таблица значений функции Лапласа для |
|||||
положительных |
x ( 0 ≤ x ≤5 ) приведена в приложении 2; для значений |
x >5 |
||||
полагают Φ(x) = 0.5. Для отрицательных значений x используют эту же таблицу, учитывая свойство нечетности функции Лапласа, т.е. Φ(−x) = −Φ(x) . Как и
локальную теорему Лапласа, формулу (3.4) рекомендуется также применять при σ > 4 .
Приведенная выше теорема называется интегральной теоремой Лапласа.
Пример 5. При проверке ОТК 80% деталей оказываются непроверенными. Найти вероятность того, что в партии из 500 деталей окажется не менее 350 и не более 420 непроверенных деталей.
Решение. Обозначим событие A – деталь не проверена ОТК. По условию задачи имеем P( A) = 0.8, n = 500 , k1 =350 , k2 = 420. По формулам (3.6) находим:
x′= k1 − np = 350 −500 0.8 = −5.59 , npq 
500 0.8 0.2
x′′ = k2 − np = 420 −500 0.8 = 2.24. npq 
500 0.8 0.2
По таблице значений функции Лапласа находим:
′ |
= −Φ(5.59) |
= −0.5 , |
′′ |
= 0.4875 . |
Φ(x ) = Φ(−5.59) |
Φ(x ) = Φ(2.24) |
Следовательно:
Pn (k1,k2 ) = P500 (350,420) Φ(x′′) − Φ(x′) = 0.4875 − (−0.5) = 0.9875 .
Задачи для самостоятельного решения
Задача 10. Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна 0.8. Найти вероятность того, что событие появится: а) не менее 75 раз и не более 90 раз; б) не менее 75 раз; в) не более 74 раз.
Задача 11. Вероятность посещения студентом лекции по математике равна 0.9. Найти вероятность того, что из 200 студентов на курсе на лекции окажутся: а) не менее 175 и не более 190 студентов; б) не менее 175 студентов.
Задача 12. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0.75. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена: а) не менее 70 и не более 80 раз; б) не более 70 раз.
39
Задача 13. Вероятность появления события в каждом из 2100 независимых испытаний равна 0.7. Найти вероятность того, что событие появится: а) не менее 1470 и не более 1500 раз; б) не менее 1470 раз; в) не более 1469 раз.
Задача 14. Найти вероятность того, что из 150 студентов во время экзамена по математике получат хорошие оценки не менее 50 и не более 70 человек, если известно, что в среднем на каждые сто студентов приходится 40 студентов, сдающих экзамен на «хорошо».
Задача 15. Фирма выполняет в срок в среднем 60 процентов заказов. Найти вероятность того, что из 150 заказов будет выполнено в срок: а) 84 заказов; б) не менее 84 и не более 90 заказов; в) не менее 72 и не более 96 заказов.
Задача 16. Известно, что в среднем 70% студентов-заочников выполняют в срок контрольные работы. Какова вероятность того, что из 100 студентов заочников в срок выполнят контрольные работы: а) 75 студентов; б) не менее 60 и не более 70 студентов; в) не менее 65 и не более 80 студентов; г) не менее 80 студентов.
Задача 17. Установлено, что в магазине треть покупателей желает купить модную одежду. Найти вероятность того, что из 1000 посетителей магазина модную одежду приобретут: а) 330 покупателей; б) не менее 320 и не более 340 покупателей; в) не менее 360 покупателей; г) не более 400 покупателей.
Задача 18. Контроль качества продукции одной из фирм показал, что только 10 процентов изделий требует устранения дефектов. Найти вероятность того, что из 40 изделий потребует устранения дефектов: а) не более 50 изделий; б) не менее 30 и не более 50 изделий; в) не менее 40 изделий.
Задача 19. Фирма выполняет в срок в среднем 90 процентов заказов. Найти вероятность того, что из 150 заказчиков в срок не будет выполнено: а) 15 заказов; б) не менее 10 и не более 20 заказов; в) не менее 12 заказов.
Задача 20. Успеха на экзамене по математике добиваются 60% студентов. Найти вероятность того, что из 100 студентов экзамен закончится неудачно: а) более, чем для 50 студентов; б) не менее, чем для 30 и не более, чем для 40 студентов; в) менее, чем для 35 студентов.
40