Решение. Обозначим события:

A – первый стрелок попадет в мишень;

B – второй стрелок попадет в мишень;

K – попадет хотя бы один стрелок.

Событие K равно сумме несовместных событий A и B . По теореме сложения вероятностей имеем:

P(K) = P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB) =

P(A) + P(B) − P(A)(B) = 0.7 +0.8 −0.7 0.8 = 0.94

Задачи для самостоятельного решения

Задача 46. Менеджер поручил Иванову и Петрову выполнить свои задания к определенному сроку. Известно, что Иванов выполнит задание к сроку с вероятностью 0.9, а Петров – с вероятностью 0.75. Найти вероятность того, что хотя бы один из сотрудников справится с поставленной задачей вовремя.

Задача 47. Александр ходит на занятия по математике с вероятностью 0.3, а Сергей с вероятностью 0.8. Найти вероятность того, что хотя бы один из них посетит занятие по математике.

Задача 48. Мамы Пети, Саши и Маши попросили сходить их в магазин за хлебом. Известно, что Петя выполнит просьбу мамы с вероятностью 0.5, Саша – 0.9, Маша – 1. Найти вероятность того, что хотя бы один из их трех детей не пойдет за хлебом.

Задача 49. Студент Иванов купил новый компьютер. Вероятность того, что в течение гарантийного срока системный блок выйдет из строя, равна 0.03, монитор – 0.02, остальные составляющие – 0.05. Найдите вероятность того, что компьютер выйдет из строя в течение гарантийного срока.

Задача 50. Устройство состоит из трех элементов, работающих независимо. Вероятности безотказной работы (за время t) первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0.6, 0.7, 0.8. Найти вероятности того, что за время t безотказно будет работать хотя бы один элемент.

Тема 12. Формула полной вероятности и формула Бейеса

Теорема. Пусть событие A может произойти при выполнении одного из несовместных событий H1 , H2 , ..., Hk , которые образуют полную группу. То-

Напомним, что из условия несовместности событий H1 , H2 ,..., Hk , образующих полную группу, следует, что:

Равенство (2.17) называется формулой полной вероятности. Этой теоремой пользуются, например, в тех случаях, когда надо найти вероятность получения

32

некачественного товара при известных вероятностях брака у отдельных поставщиков и долях поставок товара каждым поставщиком.

Пример 21. В институте обучение проводится по трем направлениям: «Менеджмент и маркетинг», «Экономика и финансы», «Психология». Численность студентов, обучающихся по данным направлениям, находится в отношении 5:4:1 соответственно. Известно, что сессию сдали успешно 70% студентов − менеджеров и маркетологов, 80% экономистов и финансистов и 60% психологов. Найти вероятность того, что случайно выбранный студент сессию сдал.

Решение. Обозначим события:

Н1 – студент обучается по направлению «Менеджмент и маркетинг»;

Н2 – студент обучается по направлению «Экономика и финансы»;

Н3 – студент обучается по направлению «Психология»;

A – студент сессию сдал.

Нам известно, что на одну часть студентов-психологов приходится 5 частей курса менеджеров и маркетологов и 4 части – экономистов и финансистов. Следовательно, всего имеем 5+4+1=10 частей. Поэтому вероятность того, что сту-

H3 несовместны и образуют полную группу, поэтому выполняется условие

(2.18).

P(H1) + P(H2 ) + P(H3 ) = 0.5 +0.4 +0.1 =1.

Также по условию задачи нам известны условные вероятности:

PH1 (A) = 0.7, PH2 (A) =0.8, PH3 (A) =0.6

Остается воспользоваться формулой (2.17) и найти вероятность события A.

P( A) = P(H1)PH1 ( A) + P(H2 )PH 2 ( A) + P(H3 )PH3 ( A) =

0.5 0.7 + 0.4 0.8 + 0.1 0.6 = 0.35 + 0.32 + 0.06 = 0.73

Теорема. Пусть выполняются все условия предыдущей теоремы, и произошло событие A. Тогда:

P(A)

где P(A) определено согласно (2.17).

Равенство (2.19) называется формулой Бейеса.

Пример 22. Воспользуемся условиями примера 1. Найти вероятность того, что случайно взятый студент, который сдал сессию, обучается по направлению: а) «Менеджмент и маркетинг»; б) «Экономика и финансы»; в) «Психология».

Решение. Воспользуемся обозначениями предыдущего примера. Итак, мы знаем, что:

33

и то, что событие A произошло (студент сессию сдал), а оно происходит с вероятностьюP(A) = 0.73.

Нужно найти

а) PA (H1); б) PA (H2 ) ; в) PA (H3 ) .

Для отыскания данных вероятностей воспользуемся формулой (2.19).

Все сформулированные теоремы предназначены для вычисления вероятностей событий, когда известны вероятности некоторых других событий и, если необходимо, условные вероятности. Таким образом, для вычисления вероятностей событий можно использовать два различных приема. Первый заключается в определении общего числа элементарных событий и элементарных событий, благоприятствующих интересующему событию. Второй прием сводится к применению теорем, которые связывают между собой вероятности разных событий. При этом совершенно не важно, как получены известные вероятности событий. В частности, вероятности элементарных событий могут быть и неодинаковыми. Это общий математический прием: решение задачи выполняется с помощью теорем, формул и правил, полученных из определений. В математическом анализе точно таким же образом вычислялись производные функций, которые представляют собой суммы, произведения и сложные функции других функций.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 51. Известно, что 70% студентов регулярно выполняют домашнее задание по математике, 30% – редко или никогда его не делают. Вероятность того, что студент, регулярно выполняющий домашнее задание, успешно напишет контрольную работу, равна 0.9, для остальных студентов эта вероятность равна 0.3. Найти вероятность того, что случайно взятый студент успешно напишет контрольную работу.

Задача 52. На рынке имеется товар, который выпускается только двумя

производителями – M и N , причем M производит данного товара в три раза больше, чем N . Вероятность того, что товар производителя M окажется бракованным, равна 0.05, а N – 0.01. Покупатель приобрел данный товар. Найти вероятность того, что он окажется качественным.

34

Задача 53. Имеются три одинаковых на вид ящика; в первом ящике два белых и один черный шар; во втором – три белых и один черный; в третьем –два белых и два черных шара. Некто выбирает наугад один из ящиков и вынимает из него шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

Задача 54. По самолету производится три одиночных выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0.4, при втором – 0.5, при третьем – 0.7. Для вывода самолета из строя заведомо достаточно трех попаданий; при одном попадании самолет выходит из строя с вероятностью 0.2, при двух попаданиях – с вероятностью 0.6. Найти вероятность того, что в результате трех выстрелов самолет будет выведен из строя.

Задача 55. На участие в соревновании по биатлону претендуют три спортсмена: Иванов, Петров и Сидоров. Вероятности отстреляться без промахов для них равны соответственно 0.9, 0.94 и 0.98. Вероятности того, что каждый из этих трех спортсменов участвует в некотором соревновании, равны. Известно, что спортсмен, попавший на соревнование, отстрелялся на «отлично». Найти вероятность того, что им оказался: а) Петров; б) Сидоров.

Задача 56. Кадровое агентство занимается трудоустройством. Из прошлого опыта известно, что агентство сможет трудоустроить претендента, если он имеет высшее образование с вероятностью 0.4, среднее специальное образование – с вероятностью 0.3, без образования – с вероятностью 0.2. В среднем в данное агентство обращаются 50% претендентов с высшим образованием, 15% со средним специальным образованием, остальные претенденты образования не имеют. Найти вероятность того, что претендент имеет высшее образование, если известно, что он получил работу с помощью данного агентства.

Задача 57. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по тому же шоссе, как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0.1; для легковой машины эта вероятность равна 0.2. К бензоколонке подъехала для заправки машина. Найти вероятность того, что это грузовая машина.

Задача 58. В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 подготовились отлично, 4 – хорошо, 2 – удовлетворительно и 1 – плохо. В экзаменационных билетах имеется 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный – на 16, удовлетворительно

– на 10, плохо – на 5. Вызванный наугад студент ответил на три произвольно заданных вопроса. Найти вероятность того, что этот студент подготовлен: а) отлично; б) плохо.

35