Найти математическое ожидание и дисперсию X .

Задача 21. Математическое ожидание случайной величины X равно 10, а среднеквадратическое отклонение – 2. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение из интервала (12;14).

Задача 22. Производится измерение диаметра вала без систематических ошибок. Случайные ошибки измерения X подчиняются нормальному закону распределения со среднеквадратическим отклонением σ =10 мм. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 15 мм.

Задача 23. Производится взвешивание некоторого вещества без систематических ошибок. Случайные ошибки взвешивания подчиняются нормальному закону распределения со среднеквадратическим отклонением σ = 20 г. Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 10 г.

Задача 24. Автомат изготовляет шарики. Шарик считается стандартным, если отклонение ( X ) его диаметра от проектного размера по абсолютной величине 0.7 мм. Считая, что случайная величина X распределена нормально, найти сколько будет стандартных шариков среди 100 изготовленных, если

σ = 0.35 мм.

Задача 25. Деталь, изготовленная автоматом, считается стандартной, если отклонение ее контролируемого размера от проектного не превышает 10 мм. Случайные отклонения контролируемого размера от проектного подчинены нормальному закону с дисперсией 25 мм2 и математическим ожиданием, равным 0. Сколько процентов стандартных деталей изготавливает автомат?

Тема 27. Свойства нормального распределения

Заметим, что плотность нормального распределения зависит от двух параметров так же, как и плотность равномерного распределения. Таким образом, обе плотности имеют два общих свойства: симметрию и зависимость от двух параметров.

Эти два общих свойства отражают общее свойство измерения любых количественных характеристик, так как после повторения измерений несколько раз всегда получается среднее значение (оценка математического ожидания) и погрешность измерения (среднее квадратичное уклонение). Однако равномерное и нормальное распределения существенно различаются. В первом совершенно игнорируется одногорбость − характерный признак многих измеряемых количественных показателей. При этом четко указываются границы возможных значений, в которых все значения случайной величины появляются одинаково часто (равномерно). В другом распределении имеется одногорбость, но

80

отсутствуют границы возможных значений случайной величины. При этом допущение сколько угодно больших значений с достаточно малой вероятностью кажется вполне оправданным. Допущение таких больших значений обусловлено используемым математическим аппаратом (введением бесконечности). Можно сказать, что оба распределения представляют собой результат различных идеализаций, необходимых для того, чтобы понять закономерности, присущие окружающему нас миру.

Нормально распределенные случайные величины удовлетворяют следующему правилу.

Правило «трех сигм» (σ ) – вероятность того, что отклонение значения случайной величины, подчиняющейся нормальному распределению, от ее математического ожидания не превышает 3σ , равна 0,997, и в большинстве практических расчетов ее можно считать равной единице.

Таким образом, для нормально распределенной случайной величины можно пренебречь всеми значениями, которые отличаются от ее математического ожидания больше, чем на 3σ , т.е. считать, что P(| X − a |> 3σ) = 0 , хотя в действи-

тельности она меньше, чем 0,003.

Для нормально распределенных случайных величин имеет место следую-

щее важное свойство: сумма нормально распределенных случайных величин – всегда нормально распределенная случайная величина.

Именно это свойство играет центральную роль в широком использовании нормально распределенных случайных величин. Для того чтобы понять, почему имеет место сохранение нормальности при сложении случайных величин, можно ограничиться анализом независимых испытаний.

Рассмотрим длинную схему независимых испытаний, для которой выполняются условия теоремы Муавра-Лапласа. Число успехов X в такой схеме свя-

зано с нормально распределенной случайной величиной Y = X − np . Продолжим npq

испытания и проведем еще n независимых испытаний при тех же условиях. Тогда получатся две новые схемы. В одной также n испытаний, а в другой − общей − 2n испытаний. Очевидно, что для всех трех выполняются условия теоремы Муавра-Лапласа. Причем общее число успехов равно сумме числа успехов в каждой из двух частичных схем.

Это значит, что имеются три нормально распределенные случайные величины, связанные с числом успехов в каждой из трех схем независимых испытаний. Конечно, случайная величина соответствующая объединенной схеме есть сумма частей. Таким образом, в рассмотренном частном случае сумма нормально распределенных случайных величин оказывается нормально распределенной случайной величиной.

Сохранение нормальности распределения для суммы произвольных нормально распределенных случайных величин доказывается аналитически. Доказательство приводит к исключительно важной для приложений теореме Ляпунова или центральной предельной теореме.

81

Центральная предельная теорема. Если случайная величина X представляяет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то X имеет распределение, близкое к нормальному.

Теорема Ляпунова дает основание для широкого использования нормально распределенных случайных величин, так как практически всегда измеряемые характеристики − число успехов, цена, затраты, температура, доходы, производительность, показатель качества продукции − представляют собой суммарный результат многочисленных воздействий.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 26. Случайная величина X распределена нормально с математическим ожиданием a =10 и среднеквадратическим отклонением σ = 5 . Найти границы, в которых практически заключены все значения случайной величины.

Задача 27. Цех изготавливает болты и контролируется их длина X . Считая, что X подчиняется нормальному распределению с математическим ожиданием 10 мм и среднеквадратическим отклонением σ = 0.1 мм, найти границы, в которых практически заключены размеры всех болтов.

82