Задача 4. Сколько различных нечетных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, если в каждом числе должны быть одинаковые цифры?

Задача 5. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 8, 9 при условии, что цифры в записи числа не повторяются?

Задача 6. Начальник службы безопасности некоторой фирмы должен ежедневно расставлять семь охранников по семи постам. В целях усиления безопасности одна и та же комбинация расстановки охранников по постам не может повторяться чаще одного раза в месяц. Чтобы оценить возможность такой расстановки, надо найти число различных комбинаций расстановки охранников.

Задача 7. Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы слов: а) «ВЕКТОР»; б) «ЛИНИЯ»; в) «ПАРАБОЛА»;

г) «МАТЕМАТИКА».

Задача 8. Устный экзамен по математике каждый поступающий в некоторый институт сдает комиссии из двух преподавателей. Сколько различных комиссий можно образовать, если всего в экзаменах участвуют 25 преподавателей?

Задача 9. В кредитном отделе банка работают восемь человек. Сколько существует способов распределить между ними три премии:

а) одинакового размера; б) дифференцированного размера, известного заранее?

Задача 10. Имеется колода из 36 игральных карт. Сколькими способами можно выбрать:

а) 5 карт; б) 2 шестерки;

в) трех тузов и двух королей?

Тема 7. Примеры непосредственного вычисления вероятностей

Пример 11. В партии из 10 лампочек 3 бракованные. Найти вероятность того, что среди наугад выбранных из этой партии 6 лампочек окажется: а) 1 бракованная; б) все лампочки качественные.

Решение. Здесь общее число элементарных событий N = C106 , так как каж-

дое элементарное событие определяется выбором любых 6 из 10 лампочек в любом порядке. Обозначим A и B события, вероятности которых надо найти в случае (а) и (б) соответственно. Тогда в случае (а) надо определить число таких наборов, в каждом из которых только одна лампочка бракованная, а остальные 5 − качественные. Это значит, что из имеющихся в партии 3-х бракованных лампочек надо взять 1, а из 7 качественных − 5 лампочек. Первое можно сделать C31

способами, а второе − C75 способами. Следовательно, по основной лемме комбинаторики, имеется C31 C75 выборов, в которых 1 лампочка бракованная, т.е. N A = C31 C75 , и после подстановки в (1.1) имеем:

21

Вероятность события B можно сосчитать иначе. Оно выполняется, если первую деталь выбрать из 6 имеющихся качественных, вторую − из 5 оставших-

Пример 12. На складе хранится 40 пар обуви, из них 30 первого сорта и 10 второго сорта. Какова вероятность, что из трех пар, взятых наугад, только одна окажется второго сорта?

Решение. Пусть А − событие, вероятность которого надо найти, т.е. А состоит в том, что будут взяты 2 пары обуви первого сорта и 1 пара − второго сор-

та. Тогда N A = C302 C101 = 230! 28! ! 110! 9!! = 4350 , а общее число элементарных собы-

тий равноN = C403 = 3!4037!! = 9880 . Итак, P(A) = NNA = 98804350 ≈ 0,44 .

В тех случаях, когда при отыскании вероятностей числа элементарных событий N A и N представляются с помощью сомножителей и факториалов мож-

но не вычислять отдельно N A и N, так как сомножители сократятся при деле-

нии. Заметим, что в этих примерах использование комбинаторики позволило определить необходимые числа N, N A и NB , не выписывая элементарных событий.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 11. В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди шести взятых наудачу деталей 4 – стандартные.

Задача 12. В корзине 5 белых и 8 черных шаров. Из корзины вынимают сразу четыре шара. Найти вероятность того, что: а) все вынутые шары будут белыми; б) только один вынутый шар белый.

Задача 13. В кармане у коротышки Пончика лежат 3 конфеты «Белочка» и 4 конфеты «Тузик». Пончик проголодался и вынимает из кармана две конфеты. Найти вероятности того, что коротышка съест: а) две конфеты «Белочка»; б) две конфеты «Тузик»; в) конфету «Белочка» и конфету «Тузик».

22

Задача 14. В ходе рекламной кампании за покупку рекламируемого товара выдается беспроигрышный лотерейный билет, в котором в качестве выигрыша указаны кошелек или рюкзак. На столике у продавца лежит 15 билетов, причем в пяти из них указан рюкзак, а в остальных – кошелек. Покупатель купил 2 рекламируемых товара. Найдите вероятности того, что покупатель выиграет: а) два кошелька; б) один кошелек и один рюкзак; в) два рюкзака.

Задача 15. В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наугад извлекает три детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.

Задача 16. В группе из 16 студентов зачет сдали 75%. Найти вероятность того, что из 5 студентов, определенных наугад: а) все сдали зачет; б) 2 студента стали зачет.

Тема 8. Сумма и произведение событий

Формула (1.1) позволяет находить вероятности событий только тогда, когда все элементарные события равновозможны. В общем случае для отыскания вероятностей событий часто используют связи или соотношения между событиями.

Событие C называется суммой событий A и B , если оно происходит только тогда, когда происходит хотя бы одно из событий A и B . Сумму событий A и B обозначают A + B или A UB и называют также объединением событий A и B .

Событие C называется произведением событий A и B , если оно происходит только тогда, когда одновременно происходят и A , и B . Произведение событий А и B обозначается AB (знак умножения обычно опускают), а иногда и A IB . Произведение событий называют также пересечением событий A и B .

Сумму и произведение двух событий A и B легко проиллюстрировать с помощью кругов Эйлера. Пусть область A обозначает множество элементарных событий благоприятствующих событию A , а область B – множество элементарных событий, благоприятствующих событию B . Тогда вся заштрихованная область на рис. 2.2 будет означать множество исходов, при которых наступает событие A + B . На рис. 2.3 заштрихованная область – событие AB .

Если события A и B несовместные, то заштрихованные на рисунке множества элементарных событий не имеют общих точек, и пересечение (произведение AB ) − пустое событие. Таким образом, произведение несовместных событий − всегда невозможное (пустое) событие.

23

Задачи для самостоятельного решения

Задача 17. С помощью кругов Эйлера проиллюстрируйте следующие утверждения:

а) A + A = A;

б) AA = A;

в) A +O = A

г) A + E = E ;

д) A(B +C) = AB + AC .

Задача 18. Событие B влечет событие A . Чему равны: а) их сумма; б) их произведение?

Задача 19. Три стрелка стреляют по мишени. Рассматриваются события Аi – попадание i -го стрелка (i = 1, 2 ,3 ) . Представьте в виде сумм, произведений или сумм произведений событий Ai и Ai следующие события:

A – все три стрелка попадут в мишень;

B– все три стрелка промахнутся;

C– один стрелок попадет в мишень; D – один стрелок промахнется;

F–два стрелка попадут в мишень;

G– два стрелка промахнутся;

H – хотя бы один из стрелков попадет в мишень; K – хотя бы один из стрелков промахнется.

Ответ проиллюстрируйте с помощью кругов Эйлера.

Тема 9. Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Теорема. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме их вероятностей, т.е.:

Эта теорема вытекает непосредственно из определения вероятности события, поскольку, по определению, вероятность события равна сумме вероятностей благоприятствующих ему элементарных событий, а несовместные события не могут произойти одновременно, так как A и B не имеют общих благоприятствующих элементарных событий.

Следствие 1. Вероятность суммы нескольких попарно несовместных событий равна сумме их вероятностей:

P(A1 + A2 +... + An ) = P(A1) + P(A2 ) +... + P(An ).

Следствие 2. Сумма вероятностей нескольких попарно несовместных событий, образующих полную группу, равна единице:

24

Следствие 3. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Замечание 1. Если вероятность одного из двух противоположных событий обозначена через p , а вероятность другого события – через q , то в силу следствия:

p + q =1 или q =1− p .

Замечание 2. При решении задач на отыскание вероятности события A бывает полезно сначала вычислить вероятность события A , а затем найти искомую ве-

Пример 13. По результатам экзаменационной сессии известно, что по математике 10% студентов получили оценку «отлично», 30% – «хорошо», 40% – «удовлетворительно», 20% – «неудовлетворительно». Найти вероятность того, что случайно выбранный студент экзамен по математике сдал.

Решение. Обозначим события:

A – студент получил по математике «отлично»;

B– студент получил по математике «хорошо»;

C– студент получил по математике «удовлетворительно»; D – студент сдал экзамен по математике.

По условию задачи имеем P(A) = 0.1, P(B) = 0.3, P(C) = 0.4.

Кроме того, событие D произойдет, если произойдет хотя бы одно из событий A, B или C . Поэтому D = A + B +C . При этом события A, B, C –

несовместные. Следовательно:

P(D) = P(A+B +C) = P(A) + P(B) +P(C) =0.1+0.3 +0.4 =0.8.

Пример 14. В партии из 12-ти деталей имеются 3 нестандартные. Найти вероятность того, что среди наугад извлеченных для контроля 3-х деталей: а) не менее двух – стандартные; б) хотя бы одна стандартная.

Решение. Заметим, что утверждение «из двух выбранных деталей есть не менее двух стандартных» эквивалентно утверждению «из двух выбранных деталей или две или три – стандартные».

Обозначим события:

A – из двух выбранных деталей хотя бы одна стандартная;

A1 – из двух выбранных деталей окажутся 2 стандартные;

A2 – из двух выбранных деталей окажутся 3 стандартные.

События A1 и A2 несовместны, а их сумма равна A. Поэтому воспользуемся первой теоремой сложения. Имеем:

P(A) = P(A1) + P(A2 ) = 2755 + 5521 = 5548 .

25

Вероятность того, что из трех отобранных деталей хотя бы одна стандартная, целесообразно найти, используя противоположное событие. Обозначим:

B – из трех деталей хотя бы одна стандартная. Тогда B – из трех деталей все нестандартные:

Следовательно, искомая вероятность равна P(B) =1 − P(B) =1 − 2201 = 219220 .

Задачи для самостоятельного решения

Задача 20. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на три области. Вероятность попадания в первую область равна 0.65, во вторую – 0.2. Найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет либо в первую, либо во вторую область.

Задача 21. Фирма по производству безалкогольных газированных напитков проводит рекламную акцию, в которой предполагается использовать 10000 бутылок. Под крышкой может быть изображен один из трех призов: туристическая путевка, велосипед или футболка. Известно, что в рекламной акции разыгрываются 2 туристические путевки, 20 велосипедов и 500 футболок. Гр. Иванов купил бутылку безалкогольного газированного напитка. Найти вероятность того, что он выиграет: а) велосипед; б) какой-либо приз.

Задача 22. В магазине «Канцтовары» в продаже имеются альбомы стоимостью 10, 15 и 20 рублей. Известно, что альбомы продаются в отношении 3:4:1. В магазин вошел покупатель, желающий купить альбом. Найти вероятность того, что покупатель заплатит за альбом более 10 рублей.

Задача 23. В коробке лежит 15 деталей, из которых 2 детали бракованные. Найти вероятность того, что среди двух случайным образом взятых деталей окажется не более одной бракованной.

Задача 24. В новогоднем подарке лежат шоколадные конфеты и карамель. Известно, что всего имеется 14 конфет. При этом число шоколадных конфет и количество карамелек находятся в отношении 4:3. Из подарка случайным образом берутся 3 конфеты. Найти вероятность того, что ребенок достанет более одной шоколадной конфеты.

Задача 25. В корзине лежат 6 красных и 7 зеленых яблок. Вынимают случайным образом два яблока. Найти вероятность того, что хотя бы одно яблоко окажется красным. Задачу решить двумя способами: используя теорему вероятности суммы несовместных событий и используя свойства противоположных событий.

Задача 26. В корзине лежат белые и черные шары в количестве 20 штук, причем отношение белых шаров к черным равно 7:3. Найти вероятность того, что среди выбранных случайным образом 5 шаров хотя бы один шар окажется черным.

26