Тема 25. Равномерное распределение

Случайная величина называется равномерно распределенной на интервале (a,b) , если ее плотность распределения равна:

Функция распределения случайной величины, распределенной по равномерному закону, имеет вид:

Графики плотности распределения и функции распределения равномерно распределенной случайной величины представлены на рис. 2.10 и рис. 2.11 соответственно.

Пример 9. Найти M ( X ) , если случайная величина X подчиняется равномерному распределению на интервале (a, b) .

тервала (a, b) и равна нулю вне интервала (a, b) . Поэтому, по определению математического ожидания, получаем:

Вычисляя интеграл в правой части по формуле Ньютона-Лейбница, получаем:

74

Следовательно, M ( X ) равно арифметическому среднему крайних значений равномерно распределенной случайной величины.

Пример 10. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение, если случайная величина X подчиняется равномерному распределению на интерва-

ле (a, b) .

Решение. В предыдущем примере было найдено M ( X ) . Для отыскания

Таким образом:

σ = D = b2−3a

Найденное выражение σ показывает, что разброс значений равномерно распределенной случайной величины пропорционален разности крайних значений. Этот результат похож на правило трех σ в случае нормально распределенной случайной величины.

Равномерное распределение используется тогда, когда о случайной величине известны только пределы ее изменения a и b и предполагается, что внутри (a, b) все значения случайной величины равновозможны. Плотность равномер-

ного распределения симметрична относительно середины интервала (a, b) , т.е.

точки с координатой a +2 b . Ясно, что эта точка определяет математическое ожидание M ( Х).

75

Задачи для самостоятельного решения

Задача 17. Найти вероятность того, что случайная величина X с равномерным распределением на интервале (5;10) принимает значение: а) 1 < X ≤ 6 ;

б) 4 < X ≤ 8 ; в) 7 < X ≤ 9 .

Задача 18. Найти вероятность того, что если случайная величина Х подчиняется равномерному распределению на интервале (−3;7) , то она принимает

значение: а) 1 < X < 6 ; б) 0 < X < 8 ; в) − 4 < X < 9 .

Тема 26. Нормальное распределение

Непрерывная случайная величина X имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами а и σ , если ее плотность вероятности имеет вид:

Плотность вероятностей зависит от двух параметров (числовых характеристик) a и σ , причем a может быть любым действительным числом, а σ – только положительным.

Графики плотностей вероятностей нормально распределенных случайных величин при различных значениях параметров a и σ приведены на рис. 2.12 и 2.13 соответственно.

σ1

симум плотности убывает, а график плотности размазывается − становится шире, т.е. медленнее убывает с увеличением расстояние между x и a . Кроме того, плотность нормального распределения симметрична относительно экстремума, так как f (a + x) = f (a − x).

76

Функция распределения нормальной случайной величины равна

График функции распределения (5.13) представлен на рис. 2.14.

F(x)

1

0.5

Рис. 2.14. График функции распределения нормально распределенной случайной величины

Параметры a и σ являются, соответственно, математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением нормально распределенной случайной

мально распределенная случайная величина Y с параметрами a и σ. Если X - нормальная величина с параметрами а и σ , то Y = ( X − a) / σ – нормированная

нормальная величина и M (Y ) = 0 , σ(Y ) =1. Поэтому функция распределения нормально распределенной случайной величины с параметрами а и σ F (x) связана с функцией распределения нормированной случайной величины F0 (x) соотношением:

F(x) = F0 x −aσ

Функция распределения нормированной нормальной случайной величины связана с функцией Лапласа следующим соотношением:

77

Если случайная величина X распределена по нормальному закону с параметрами а и σ , то вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (α, β) , равна:

Pn (a ≤ k < b) = F(x2 ) − F(x1) ,

где x1 и x2 так же, как в (3.5), удовлетворяют:

M ( X ) = np, D( X ) = npq .

Рассмотренная выше случайная величина Y выводится из формулы (5.16), когда a = 0,σ = npq . Поэтому можно сказать, что после перехода к пределу при

78

есть разность между ее соседними значениями. Поэтому при увеличении n → ∞ разность между соседними значениями случайной величины Y становится бесконечно малой величиной (ее предел равен нулю), а пределы ее изменения стремятся к − ∞ и + ∞, заполняя непрерывные интервалы.

Таким образом, случайная величина Y отличается от числа успехов в схеме независимых испытаний X тем, что ее возможные значения нельзя указать и приходится ограничиться заданием вероятностей того, что ее значения попадут в некоторые интервалы.

Пример 11. Вычислить плотность вероятности нормально распределенной случайной величины X , зная, что M ( X ) = 3, D( X ) =16 . Найти вероятность то-

Пример 12. Математическое ожидание и дисперсия нормально распределенной случайной величины X равны соответственно 20 и 25. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение в интервале (15;25) .

Решение. По условию задачи, a = 20 , σ = D(x) = 25 = 5. По формуле

(5.15), получаем:

Задачи для самостоятельного решения

Задача 19. Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины X равно трем единицам, а среднеквадратическое отклонение – двум. Вычислить плотность распределения.

Задача 20. Нормально распределенная случайная величина задана плотностью распределения:

79