РАЗДЕЛ IV. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Тема 16. Понятие случайной величины

Наряду с понятием случайного события в теории вероятности используется и понятие случайной величины. Событие является качественной характеристикой случайного результата опыта. Но случайный результат опыта можно охарактеризовать и количественно.

Случайной величиной называется переменная величина, принимающая в результате испытания одно из своих возможных значений, причем заранее неизвестно, какое именно.

Пример 1. Производится 5 выстрелов по мишени. Результатами этого испытания можно считать число попаданий по мишени: 0 (не попали ни разу); 1 (попали один раз); 2 (попали два раза); 3 (попали три раза); 4 (попали четыре раза); 5 (попали пять раз).

В данном примере число попаданий в мишень есть случайная величина, которая может принимать возможные значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Таким образом, хотя конкретное значение случайной величины невозможно предугадать, оно будет состоять из множества возможных значений, и это множество может быть хорошо известно.

Случайные величины обозначают заглавными латинскими буквами X ,Y, Z,..., а также греческими буквами ξ, η,ϕ,… с индексами или без индексов. Эти обозначения относятся только к названиям случайных величин. Значения случайных величин обозначаются соответствующими малыми буквами: x, y, z,…, а ΩX – множество возможных значений величины X .

Пример 2. Испытание – бросок одной игральной кости; случайная величина

Х – число выпавших очков; ΩX = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Пример 3. Испытание – подбрасывание монеты 10 раз; случайная величина

X – число появлений герба; ΩX ={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.

Пример 4. Испытание – стрельба по мишени; случайная величина X − число выстрелов до первого попадания; ΩX ={1, 2, 3, 4, 5,…}.

Пример 5. Испытание – стрельба по круглой мишени; случайная величина X – расстояние от центра мишени до пробоины при попадании; ΩX = [0; r],

r – радиус мишени.

Пример 6. Испытание – работа ЭВМ до первого отказа; случайная величина X – время безотказной работы ЭВМ; ΩX = (0, ∞].

Пример 7. Пусть проводится некоторое испытание. Результатом может быть только успех (ω1 ) или неудача (ω2 ), т.е. имеются только два элементарных

события ω1 ,ω2 . Число успехов в таком испытании − это случайная величина. Обозначим ее X . Тогда по обозначению X (ω1 )=1, X (ω2 )=0. Следовательно,

Х − числовая функция, определенная на каждом из двух возможных элементарных событий ω1 ,ω2 , с множеством значений ΩX ={0,1}.

41

Итак, случайную величину можно определить как числовую функцию, определенную на множестве всех элементарных событий, возможных в данном испытании.

Можно заметить, что множество возможных значений для перечисленных случайных величин имеет разный вид: для величин в примере 1, 2, 6 оно конечно, в примере 3 множество значений бесконечно и представляет собой множество натуральных чисел, в четвертом – все точки отрезка, длина которого равна радиусу мишени, а в примере 5 – все точки интервала от 0 до ∞. Таким образом, для случайных величин в примере 1, 2, 3, 6 множество значений состоит из отдельных (дискретных), изолированных друг от друга значений, а для четвертой и пятой оно представляет собой непрерывную область. По этому показателю случайные величины подразделяются на две группы: в зависимости от вида множества ΩX случайные величины могут быть дискретными и непрерывными.

Случайная величина называется дискретной, если она принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями.

Случайная величина называется непрерывной, если множество ее возможных значений целиком заполняет некоторый конечный или бесконечный промежуток.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Какие приведенные случайные величины являются дискретными, а какие – непрерывными?

а) расстояние от точки попадания до центра мишени; б) частота появлений герба при трех подбрасываниях монеты (возможные

значения 0;1/3;2/3;1);

в) число отказавших элементов в приборе; г) ошибка измерителя высоты;

д) число попаданий в самолет, достаточное для вывода его из строя; е) число самолетов, сбитых в воздушном бою; ж) время безотказной работы радиолампы.

Тема 17. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины

Понятие случайной величины тесно связано с понятием случайного события. Связь со случайными событиями заключается в том, что принятие случайной величиной некоторого числового значения X = xi есть случайное событие,

Пример 8. Рассмотрим опыт – подбрасывание игральной кости и случайную величину X – число очков, выпадающих при однократном бросании кости. Возможные значения случайной величины – числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6.

При этом X = 1 означает, что при подбрасывании игральной кости выпало одно очко, а это есть элементарное событие нашего опыта, вероятность которого

42

равна 16 , что символически можно записать так P(X =1)=16 . Аналогично можно охарактеризовать соотношения X = 2, X =3, X = 4, X =5 и X = 6 и веро-

ятность того, что случайная величина X примет любое из этих значений, одна и та же и равна 1/6.

Функция p(x), которая определяет для каждого возможного значения X = xi случайной величины Х вероятность этого значения pi = p(xi ) , называется

законом распределения дискретной случайной величины Х.

Эту функцию, т.е. закон распределения дискретной случайной величины, можно задать графически, аналитически или таблично.

Так как возможные значения дискретной случайной величины образуют конечную или бесконечную последовательности чисел x1, x2 , x3 ,..., xn ,..., то эта

существенная особенность дискретных случайных величин позволяет однозначно задавать их с помощью закона распределения. Табличный вариант представления закона распределения называется рядом распределения.

Таблица 2.1

Ряд распределения дискретной случайной величины

Числа в первой строчке ряда распределения − все возможные значения случайной величины – могут быть любыми, в зависимости от случайной величины. Обычно их располагают в возрастающем порядке: x1 < x2 <K< xn . Во второй

строке стоят вероятности того, что случайная величина X принимает соответствующее значение. Вероятности p1, p2 ,..., pn − всегда положительные числа. Так как случайная величина X примет обязательно какое-либо из своих возможных значений xi , сумма вероятностей pi всех возможных значений всегда равна

единице.

Графическое изображение закона распределения называется многоугольни-

ком распределения (рис. 2.4).

Пример 8. Рассмотрим опыт – подбрасывание игральной кости. Составить закон распределения случайной величины X – выпавшего числа очков.

Решение. Случайная величина X может принимать следующие значения –

43

q . Построить закон распределения случайной величины X – числа наступлений (успехов) события A.

Решение. Множество возможных значений случайной величины X состоит из 2-х значений – 0 и 1. x1 = 0, если событие A не произошло и x2 =1, если со-

бытие A произошло. Таким образом:

p1 = P(X = 0)= P(A)=1 − p = q ; p2 = P(X =1)= P(A)= p .

Тогда закон распределения случайной величины X – числа успехов в одном испытании – будет иметь следующий вид (табл. 2.3):

Таблица 2.3

Закон распределения (на онове данных примера 8)

Пример 10. В пункте продаже билетов моментальной лотереи было продано 100 билетов. Установлены следующие виды выигрыша: один выигрыш составляет 15 тыс. руб., 2 выигрыша – по 10 тыс. руб. и 5 выигрышей – по 5 тыс. руб. Составьте закон распределения случайной величины X – размера выигрыша для лица, купившего один билет.

Решение. Случайная величина X – размер выигрыша для лица, купившего один билет, – может принимать следующие значения: x1 = 0 (купленный билет

не имеет выигрыша), x2 =5000, x3 =10000, x4 =15000.

Вероятность каждого из этих значений найдем, используя определение вероятности события A, по формуле Р( A) = NNA .

44

Правильность составления закона подтверждается равенством: p1 + p2 + p3 + p4 = 0.92 + 0.05 +0.02 +0.01 =1.

Пример 11. Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Вероятности их попадания при одном выстреле равны соответственно 0.6 и 0.7. Составить закон распределения случайной величины Х – числа попаданий после двух выстрелов.

Решение. Очевидно, что случайная величина Х может принимать три значе-

ния: x1 = 0 , x2 =1, x3 = 2 .

Обозначим события:

Н1 – попадание первого стрелка; Н2 – попадание второго стрелка; A – оба стрелка промахнулись;

B– ровно одно попадание;

C– ровно два попадания.

По условию задачи имеем: P(H1) = 0.6 , P(H2 ) = 0.7 .

Найдем p1 = P(X = 0)= P(A) , p2 = P(X =1)= P(B), p3 = P(X = 3)= P(C) .

Тогда A = H 1 H 2 , B = H1 H 2 + H 1 H2 , C = H1 H2 .

Поэтому:

p1 = P(X = 0)= P(A)= P(H 1 H 2 )= P(H 1 ) P(H 2 )= 0.4 0.3 = 0.12 ;

p2 = P(X =1)= P(B)= P(H1 H 2 + H1 H2 )= P(H1 ) P(H 2 )+ P(H1 ) P(H2 )

= 0.6 0.3 + 0.7 0.4 = 0.46

События Н1 Н2 и Н1 Н2 – несовместные, а события H1 и H 2 , H1 и H2 – независимые.

p3 = P(X = 3)= P(C)= P(H1 H2 )= P(H1 ) P(H2 )= 0.6 0.7 = 0.42

45

Следовательно, закон распределения имеет вид (табл. 2.5):

Таблица 2.5

Закон распределения (на основе данных примера 11)

p1 + p2 + p3 = 0.12 +0.46 +0.42 =1.

Многоугольник распределения изображен на рис. 2.5. p

0.46

0.42

0.12

x

Рис. 2.5. Многоугольник распределения (на основе данных примера 11)

Подчеркнем, что случайная величина и ее закон распределения − разные функции. Случайная величина – это числовая функция, определенная на множестве элементарных событий, а множество ее значений есть множество всех возможных значений случайной величины. Закон распределения − функция, которая определена на множестве значений случайной величины, а множество значений – это соответствующие вероятности всех возможных значений случайной величины.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 2. Вероятность того, что кредит размером до 1 млрд. руб. не будет возвращен, равна 0.1, для кредита размером свыше 1 млрд. руб. аналогичная вероятность равна 0.05. Банк выдал два кредита: 500 млн. руб. и 3 млн. руб. Составить закон распределения случайной величины – числа невозвращенных кредитов из этих двух выданных.

Задача 3. Абонент забыл последнюю цифру нужного номера телефона, но помнит, что она нечетная. Составить закон распределения числа сделанных им наборов телефона до звонка на нужный номер, если последнюю цифру он набирает наугад и повторно ее уже не набирает.

46

Задача 4. Покупатель решил посетить 4 магазина с целью поиска нужной ему вещи. Вероятность того, что в магазине имеется в наличии нужная ему вещь, равна 0.6. Как только вещь будет найдена, дальнейший обход магазинов прекращается. Составить закон распределения числа посещенных покупателем магазинов.

Задача 5. Акции двух предприятий с вероятностью 0.2 приносят дивиденды 10%, с вероятностью 0.5 – дивиденды 20% и с вероятностью 0.3 – прогорают. Некто приобрел по 10 акций двух предприятий стоимостью 10000 руб. Составить закон распределения случайной величины – дохода владельца данных акций.

Задача 6. В среднем 10% продукции предприятия имеет брак. При проверке партии из 3-х изделий контролер проверяет последовательно по одному взятому наугад изделию, не возвращая его после проверки обратно. При обнаружении бракованного изделия вся партия бракуется. Составить закон распределения случайной величины – числа сделанных контролером проверок.

Задача 7. Охотник, имеющий 4 патрона, стреляет по дичи до первого попадания или расходования всех патронов. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0.6, при каждом последующем выстреле уменьшается на 0.1. Составить закон распределения числа патронов, израсходованных охотником.

Тема 18. Функция распределения дискретной случайной величины

Поскольку закон распределения описывает вероятности всех возможных значений дискретной случай

ной величины, он определяет и вероятность попадания значения случайной величины в любой фиксированный интервал. Это значит, что по закону распределения случайной величины можно найти вероятность того, что значение случайной величины Х будет меньше любого числа b, т.е. найти вероятность того, что произойдет событие X < b или, формально, P( X < b) .

Для того чтобы найти P( X < b) , надо сложить вероятности всех тех элементарных событий, при которых выполняется X < b . Действительно, пусть для простоты только два значения случайной величины x1 и x2 удовлетворяют условиям x1 < b и x2 < b . Так как для каждого элементарного события значение дискретной случайной величины определено однозначно, события X = x1 и X = x2 не могут произойти одновременно, т.е. они несовместны. Поэтому при сделанных предположениях событие X < b есть сумма двух несовместных событий X = x1 и X = x2 . Следовательно, по теореме сложения вероятностей несо-

вместных событий P( X < b) равна сумме P(X = x1) = p1 и P( X = x2 ) = p2 . Аналогично, в общем случае получаем:

где x1 < x2 <... < xk ≤ b < xk +1.

47

Поэтому наряду с законами распределения случайные величины задаются функциями распределения.

Функцией распределения случайной величины Х называется вероятность того, что для каждого действительного числа x значение случайной величины X удовлетворяет неравенству X < x.

Функция распределения случайной величины Х обозначается F(x) . По оп-

Таким образом, функция распределения F(x) любой случайной величины Х

всегда определена при всех x , −∞ < x < ∞, независимо от возможных значений случайной величины. Кроме того, она удовлетворяет следующим условиям:

1.F(−∞) = 0.

2.F(∞) =1.

3.F(x) – неубывающая функция.

Первое из этих свойств выполняется потому, что не бывает чисел меньших, чем – ∞, и, следовательно, событие X < −∞ никогда не может выполняться ни при каких элементарных событиях. Второе следует из того, что событие X < ∞ достоверное, и, следовательно, его вероятность всегда равна 1.

По функции распределения можно найти и вероятность того, что значение случайной величины заключено между произвольными числами а и b, т.е. определить P(a ≤ X < b) . Действительно,

P( X < a) + P(a ≤ X < b) = P( X < b)

Формула (4.4) показывает, что вычисление вероятности P(a ≤ X < b) мож-

но производить точно так же, как измеряются полученные доходы и расходы, приобретенные деньги, пройденный путь и другие величины. Для этого надо найти разность между их конечным и начальным значениями, а на математическом языке − найти приращение соответствующей функции. В рассматриваемом случае надо найти приращение функции P( X < x) при изменении ее аргумента

x от a до b.

Функция распределения дискретной случайной величины F (x) постоянна между двумя возможными значениями, а при переходе через xi функция F (x) делает скачок вверх на pi , т.е. график функции распределения дискретной случайной величины имеет ступенчатый вид.

Пример 12. Подбрасываются два кубика. Построить закон распределения для случайной величины X – суммы выпавших очков. Найти вероятности

P(X < 3), P(X < 7), P(X >10), P(3 ≤ X < 7).

Решение. Закон распределения данной случайной величины будет иметь следующий вид (табл. 2.6):

48

Таблица 2.6

Закон распределения (на основе данных примера 12)

P(X <3)= P(X = 2)=136;

P(X < 7)= P(X = 2)+ P(X = 3)+ P(X = 4)+ P(X = 5)+ P(X = 6)= =1 36 + 2 36 +3 36 + 4 36 +5 36 = 5 12;

P(X >10)= P(X =11)+ P(X =12)= 2 36 +1 36 =1 12 ;

P(3 ≤ X < 7)= P(X = 3)+ P(X = 4)+ P(X = 5)+ P(X = 6)=

= 2 36 +3 36 + 4 36 +5 36 = 7 18

P(3 ≤ X <7)= P(X <7)− P(X <3)=5 12 −1 36 =14 36 =7 18.

Пример 13. Пусть случайная величина X имеет закон распределения (табл. 2.7):

Таблица 2.7

Закон распределения (на основе данных примера 13)

Составить функцию распределения случайной величины X. Представить функцию распределения в табличном виде, аналитически и графически.

Решение. Заметим, что p1 + p2 + p3 =1. При составлении функции F (x)

распределения дискретной случайной величины числовую ось разделяют на интервалы:

1) Если x ≤ 0 , то F (x)= P(X < x)= 0 , так как событие (X < 0) – невозможное;

x 0 1 2

2) Если 0 < x ≤1, то F (x)= P(X < x)= P(X = 0)= 0.25;

0 x 1 2

3) Если 1 < x ≤ 2 , то F(x)=P(X <x)=P(X =0)+P(X =1)=0.25+0.5 =0.75;

0 1 x 2

4) Если x > 2, то F(x)=P(X < x)=P(X =0)+P(X =1)+P(X =2)=0.25+0.5+0.25=1.

49

Функция распределения может быть представлена в табличном виде (табл. 2.8):

Таблица 2.8

Функция распределения (на основе данных примера 13)

Графическое оформление (рис. 2.6):

F(x)

1

0.75

0,25

Рис. 2.6. Функция распределения (на основе данных примера 13)

Задачи для самостоятельного решения

Задача 8. Для случайной величины X с законом распределения:

Найти функцию распределения и построить ее график.

50

Тема 19. Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины

Для задания закона распределения случайной величины требуется знать все возможные значения случайной величины и их вероятности, т.е. достаточно много чисел. Поэтому нередко определить все эти числа сложно. Что можно сделать для того, чтобы упростить описание случайной величины? Проще всего отказаться от детального описания случайной величины, которое дает закон распределения, и ограничиться только одной или двумя числовыми характеристиками. При правильном выборе они дают наиболее важное, хотя и неточное, знание о случайной величине. В тех случаях, когда выполняются некоторые дополнительные предположения, эти числовые характеристики дают и полное описание случайной величины. Введем два определения.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины X на-

зывается сумма попарных произведений ее значений на соответствующие вероятности.

Математическое ожидание случайной величины Х обозначается M ( X ) . Поэтому:

Замечание 1. Математическое ожидание называют иногда взвешенным средним, так как оно приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины при большом числе опытов.

Замечание 2. Математическое значение случайной величины всегда находится на интервале между наименьшим и наибольшим значениями случайной величины, т.е. выполняется неравенство:

ство в (4.6) доказывается аналогично.

Замечание 3. Математическое ожидание дискретной случайной величины есть неслучайная (постоянная) величина.

Пример 14. Имеется партия из 10 деталей, среди которых 2 бракованные. Берут три детали. Найти математическое ожидание случайной величины Х – числа стандартных деталей среди отобранных.

Решение. Составим закон распределения для случайной величины Х. Из условия задачи следует, что Х может принимать следующие значения: x1 =1,

x2 = 2 , x3 =3.

51

Таблица 2.9

Закон распределения (на основе данных примера 14)

Тогда M ( X ) =1 151 + 2 157 +3 157 = 2.4.

Пример 15. Играем в следующую игру: один раз бросаем игральную кость и получаем столько условных единиц, сколько выпало очков. Цена игры: 4 у.е. Выгодно ли играть?

Решение. Рассмотрим случайную величину X – количество очков, выпавшее при броске игральной кости. Закон распределения данной случайной величины будет иметь следующий вид (см. пример 8):

Таблица 2.10

Закон распределения (на основе данных примера 15)

Вычислим M (X ), а именно столько очков (а, значит, и условных единиц) в среднем мы будем получать, если играть достаточно долго:

M (X )=1 1 6 + 2 1 6 +3 1 6 + 4 1 6 +5 1 6 + 6 1 6 = 3.5

Значит, игра невыгодна для нас. Мы в среднем теряем 0.5 у.е. в каждой игре. Для того чтобы иметь представление о случайной величине, недостаточно

знать только ее математическое ожидание.

Пример 16. Рассмотрим две случайные величины: Х и Y, заданные рядами распределения вида (табл. 2.11; 2.12:)

Таблица 2.11

Закон распределения X (на основе аднных примера 16)

Таблица 2.12

Закон распределения Y (на основе данных примера 16)

НайдемМ(Х) = 49 × 0.1 + 50 × 0.8 + 51 × 0.1 = 50, М(Y) = 0 × 0.5 + 100 × 0.5 = 50.

52

Как видим, математические ожидания обеих величин равны, но если для Х М(Х) хорошо описывает поведение случайной величины, являясь ее наиболее вероятным возможным значением (причем остальные значения ненамного отличаются от 50), то значения Y существенно отстоят от М(Y). Следовательно, наряду с математическим ожиданием желательно знать, насколько значения случайной величины отклоняются от него. Для характеристики данного показателя служит дисперсия.

Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

zk = xk −M(X) с вероятностью pk . Поэтому законы распределения случайных величин Х и Y отличаются только их значениями: zk − yk =M(X). Среднюю величину отклонений Х от М(Х) характеризуют с помощью случайной величины Z2. Тогда, по определению дисперсии, получаем:

Пример 17. Найти дисперсию случайной величины Х – числа стандартных деталей среди отобранных (пример 14).

Вычислим значения (X − M (X ))2 – квадрата отклонения каждого возмож-

ного значения случайной величины от математического ожидания, M(X) = 2.4 (табл. 2.13):

Таблица 2.13

Таблица данных для вычисления дисперсии (на основе данных примера 17)

Следовательно:

D( X ) =1.96 151 + 0.16 157 + 0.36 157 = 7528 ≈ 0.373.

Пример 18. Найдем дисперсию X – числа успехов в одном испытании. Закон распределения случайной величины X – числа успехов в одном испы-

тании, будет иметь следующий вид (табл. 2.14):

Таблица 2.14

Закон распределения (на осове данных примера 18)

53

Учитывая, что M (X )=0 q +1 p = p получаем:

D( X ) = q(0 − p)2 + p(1 − p)2 = qp2 + pq2 = pq( p + q) = pq .

Замечание 1. В определении дисперсии оценивается не само отклонение от среднего, а его квадрат. Это сделано для того, чтобы отклонения разных знаков не компенсировали друг друга.

Замечание 2. Из определения дисперсии следует, что эта величина принимает только неотрицательные значения.

Замечание 3. Дисперсию можно вычислить по формуле:

Пример 19. Вычислить дисперсии случайных величин Х и Y, рассмотренных в примере 16, по формуле (4.8).

M (X ) =(492 0.1 +502 0.8 +512 0.1) - 502 = 2500.2 - 2500 =0.2. M (Y ) =(02 0.5 +1002 0.5) - 502 =5000 - 2500 = 2500 .

Итак, дисперсия второй случайной величины в несколько тысяч раз больше дисперсии первой. Таким образом, даже не зная законов распределения этих величин, по известным значениям дисперсии мы можем утверждать, что Х мало отклоняется от своего математического ожидания, в то время как для Y это отклонение весьма существенно.

Размерность D(Х) равна квадрату размерности Х, так как при вычислении дисперсии значения Х возводятся в квадрат. Поэтому вместо дисперсии удобнее

использовать среднеквадратичное отклонение σ = D(X) , которое имеет ту же размерность, что и случайная величина Х.

Пример 20. Менеджер по инвестициям предполагает в будущем три возможных варианта развития экономической ситуации: высокий рост, отсутствие роста и спад с соответствующими вероятностями 0.25, 0.5 и 0.25. Менеджер ожидает получить по инвестициям доходность 20% с данного актива в случае высокого роста, 10% – при отсутствии роста и – 4% в случае спада.

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение случайной величины – доходности актива.

Решение. Закон распределения случайной величины X – доходности актива – представлен в табл. 2.15:

Таблица 2.15

Закон распределения (на основе данных примера 20)

Математическое ожидание, или ожидаемая доходность актива, будет составлять:

3

M (X )= ∑xi pi = (−0.04) 0.25 + 0.1 0.5 + 0.2 0.25 = 0.09 = 9% .

i=1

54