Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский институт менеджмента и бизнеса

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теория вероятностей.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.02.2016

Размер:

2.13 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1611 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

РАЗДЕЛ V. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Тема 23. Функция и плотность распределения непрерывной случайной величины

Пренебрежение различием между близкими значениями случайной величины широко используется для упрощения описания и изучения случайных величин. В связи с этим вводится следующее определение.

Случайные величины, значения которых заполняют непрерывные интервалы, т.е. бесконечно мало отличаются друг от друга, называются непрерывными

случайными величинами.

Из этого определения следует, что непрерывные случайные величины могут принимать сколько угодно много разных близких значений и их нельзя задавать законом распределения. Для задания непрерывных случайных величин используются функции распределения и плотности распределения.

Напомним, что функцией распределения (как для дискретной, так и для непрерывной) случайной величины называют функцию F (x) , определяющую ве-

роятность того, что случайная величина X в результате испытания примет зна-

чение, меньшее x , т.е.:
F (x) = P( X < x)	(5.1)

На рис. 2.8 представлен график функции распределения непрерывной случайной величины.

F(x)

Рис. 2.8. График функции распределения непрерывной случайной величины

Плотностью распределения случайной величины X называется произ-

водная от ее функции распределения FX (x) . Плотность распределения обозна-

чается	f X (x) . Следовательно, согласно определению:
	f (x) =	dF (x)	(5.2)
		dx

Для непрерывной случайной величины функция F (x) и плотность			f (x)
распределения удовлетворяют следующим условиям:
1)	при всех действительных x справедливо:
	f (x) ≥ 0 ;		(5.3)

2) для любых a < b справедливо равенство:

P(a ≤ X < b) = ∫b	f (x)dx = F(b) − F(a) ;	(5.4)
a
3)
F(+∞) = ∫∞ f (x)dx =1;		(5.5)
−∞

4) вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет одно определенное значение, равна нулю.

Эти свойства вытекают из определения плотности распределения и свойств функции распределения. Неотрицательность выводится из того, что функция распределения всегда не убывает. Второе свойство определяется на основе основного свойства функции распределения. Последнее свойство есть важный частный случай второго и выполняется потому, что значения случайной величины всегда удовлетворяют условию: −∞ < X < ∞. Оно называется условием нормировки.

Геометрически (рис. 2.9) основные свойства плотности распределения означают, что:

1)вся кривая плотности распределения лежит не ниже оси абсцисс;

2)площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции плотности распределения, снизу осью абсцисс, слева и справа прямыми x = a

иx = b , равна вероятности попадания случайной величины в интервал a < X < b ;

3)полная площадь, ограниченная кривой плотности распределения и осью абсцисс, равна единице.

f(x)

a	b	x

Рис. 2.9. График плотности распределения непрерывной случайной величины

Зная плотность распределения f (x) , можно найти функцию распределения F (x) по формуле:

F(x) = ∫x	f (x)dx	(5.6)
−∞

Приведем несколько примеров, в которых используются плотности распределения.

Пример 1. При каких значениях параметра a функция

0,				если	x ≤ −2
		2	,	если − 2 < x ≤ 0
f (x) = ax
	0,			eссл	x > 0

будет являться плотностью распределения вероятности случайной величины X ?

Решение. По условию, заданная функция всюду неотрицательна, если a положительно. Остается только найти его значение. Воспользуемся последним

свойством плотности распределения – ∫∞ f (x)dx =1.

−∞

В данном случае подынтегральная функция не равна нулю только тогда, когда − 2 ≤ x ≤ 0 , и, следовательно, интеграл равен нулю при интегрировании по тем областям, в которых не выполняется условие − 2 ≤ x ≤ 0 . А по условию, на

интервале − 2 ≤ x ≤ 0 заданная функция равна ax2 . Значит, должно выполняться равенство:

∫0 ax2dx =1.

Вычисление интеграла дает:

−2

(−2)3

∫ax

dx = a 3

= a 3 − a

3 =

3 =1

−2

Следовательно, при значении параметра a = 83 заданная функция является

плотностью распределения вероятности случайной величины X . Пример 2. Дана плотность распределения:

	0,	если x ≤ −1
		если −1 < x ≤1
f (x) = a(x +1),
	0,	если x >1

Определить: а) параметр a ; б) вероятность того, что значение случайной величины попадает в интервал (0.5, 1.5) ; в) функцию распределения.

Решение. В условии этой задачи сказано, что заданная функция является плотностью распределения случайной величины. Эта функция равна нулю при всех значениях x , которые меньше -1 и больше 1. Поэтому все значения случай-

ной величины удовлетворяют x <1. Для того чтобы найти значение параметра a , так же как и в предыдущем примере воспользуемся последним свойством

плотности распределения –									∫∞ f (x)dx =1. Запишем это условие, учитывая задан-
									−∞
ный вид плотности распределения:
											∫1 a(x +1)dx =1.
											−1
	После интегрирования получаем:
1			2			1				1	2			(−1)	2			1			1
1			2			1					2				2
		x														+ (−1)	= a(		+1	−		+1)	= 2a =1

∫a(x +1)dx = a				+ x				= a				+1	− a
−1	2						−1			2				2				2			2
−1	2						−1
	Следовательно, a =						1	.
	Следовательно, a =				2			.
					2

Поскольку плотность распределения есть производная функции распределения, интеграл от плотности является функцией распределения. В данной задаче функция распределения должна равняться нулю при всех x < −1 и единице, при всех x >1. Если −1 < x <1, интегрирование плотности дает:

F(x) = f (x)dx =

(x +1)dx =

+ x

∫

−1

−∞

−1

(−1)

+1 + 2x

x +1

+ x

−

(−1)

Подчеркнем специально, что найденное выражение справедливо только при условии x <1. Таким образом, функция распределения есть:

	0,	если	x ≤ −1
		2
x +1
F(x) =		если	−1 < x ≤1
F(x) =	2	если	−1 < x ≤1
	2	если	x >1
	1,	если	x >1

Теперь найдем вероятность того, что выполняется условие 0.5 < X <1.5 . Проще всего использовать найденную функцию распределения. Получаем:

P(0.5 < X <1.5) = F(1.5) − F(0.5)			3	2		7
	=1	−			=
			4			16

Пример 3. Функция распределения непрерывной случайной величины X имеет вид:

		0,		если	x ≤ 0
	Аx	2	+ В,	если 0 < x ≤1
F(x) =
		1,		если	x >1

Определить параметры A и B . Найти вероятность того, что случайная величина X примет значение: а) меньше 0.5; б) больше, чем -0.5; в) в интервале (1.5, 5). Определить плотность распределения случайной величины X .

Решение. Для решения надо так подобрать параметры A и B , чтобы функция распределения была непрерывной, так как по условию X – непрерывная случайная величина. Это значит, что при x = 0 она должна равняться нулю. По-


этому A 02 + B = 0 и B = 0 . Аналогично,				при x =1 функция распределения
должна равняться единице. Следовательно,				A 12 + B =1 и A =1. Таким образом,
функция распределения непрерывной случайной величины Х есть:
0,			если		x ≤ 0
	2	,	если 0 < x ≤1
F(x) = x
			если		x >1
1,
Теперь найдем вероятность того,			что значение X < 0.5 . Для этого доста-

точно вычислить F (0.5) . Получаем P( X < 0.5) = F(0.5) = 0.52 = 0.25. По усло-

вию задачи, все значения случайной величины X неотрицательны и не больше, чем 1. Поэтому P( X > −0.5) =1 − F (−0.5) =1. Аналогично, P( X >1.5) = 0 .

Пример 4. Функция распределения непрерывной случайной величины Х имеет вид:


		0,		если	x ≤1
	Аx	2	+ В, если1		< x ≤ 3
F(x) =	Аx		+ В, если1		< x ≤ 3
		1,		если	x > 3
		1,		если	x > 3

Определить параметры A и B . Найти вероятность того, что случайная величина X примет значение: а) меньше 1.5; б) больше, чем 1.5, но меньше, чем 2.5. Определить плотность распределения случайной величины X .

Решение. Так как по условию X − непрерывная случайная величина, для решения надо так подобрать параметры A и B , чтобы функция распределения была непрерывной. Значит, при x =1 она должна равняться нулю, а при x = 3 функция распределения должна равняться единице. Следовательно, имеем систему двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными A и B :

A + B = 0

9A + B =1

Эта система имеет единственное решение A =1 / 8 , B = −1/ 8 .

Таким образом, функция распределения непрерывной случайной величины

X есть:	0,			если	x ≤1

1		2
F(x) =	(x		−1),	если	1 < x ≤ 3

8	1,			если	x > 3

Теперь вероятность того, что значение X <1.5 , равна значению функции распределения при значении x =1.5 , т.е.:

P( X <1.5) = F(1.5) =	1.52		−1		=	1.25		= 0.15625
P( X <1.5) = F(1.5) =		8			=		8	= 0.15625
Аналогично, получаем:		8					8
Аналогично, получаем:		2.52					1.52
P(1.5 < X < 2.5) = F(2.5) − F(1.5) =		2.52		−1		−	1.52		−1	=	5.25 −1.25	= 0.5
P(1.5 < X < 2.5) = F(2.5) − F(1.5) =			8			−		8		=	8	= 0.5
			8					8			8

По определению плотности распределения случайной величины, она равна производной от функции распределения. Поэтому, вычисляя производную, получаем:

(0)′,

если

x ≤1

если

x ≤ 1

′

x2 −1

f ( x) =

если

1 < x ≤

3 =

если

1 < x ≤ 3

если

x > 3

(1)′,

если

x > 3

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Может ли функция
	0,			если	x ≤ 0
F(x) =		2	,	если 0 < x ≤1
F(x) =	x		,	если 0 < x ≤1
				если	x > 2
	1,			если	x > 2

являться функцией распределения случайной величины?

Задача 2. Функция распределения случайной величины X имеет вид:

	0,	если	x ≤1
	Аx + В,	если1 < x ≤ 3
F(x) =
	1,	если	x > 3

Определить параметры A и B . Найти вероятность того, что случайная величина X примет значение: а) меньше –2; б) меньше 4; в) больше 3; г) больше 3; д) в интервале (-2, 2); е) в интервале (-1, 0); ж) в интервале (-3, 5).

Задача 3. Функция распределения случайной величины X имеет вид:

0,				если	x ≤ 0
		2	,	если 0	< x ≤ 2
F(x) = Ax
	1,			если	x > 2

Определить параметр A и плотность распределения случайной величины. Задача 4. Функция распределения случайной величины X имеет вид:

0,		если	x ≤ 0
		если 0 < x ≤1
F(x) = Ax,
	1,	если	x >1

Определить параметр A и вероятность попадания значения случайной величины в интервал (-1, 0.5).

Задача 5. Функция распределения случайной величины X имеет вид:

0,		если	x ≤1
	А(x −1)2 ,	если1 < x ≤ 3
F(x) =
	1,	если	x > 3

Определить параметр A и построить график функции распределения. Задача 6. Функция распределения случайной величины имеет вид:

		0,	если	x ≤ −2
F(x) =	0.25(x + 2)2 ,		если − 2 < x ≤ 0

		1,	если	x > 0
		1,	если	x > 0

Найти плотность распределения случайной величины и вероятность того, что значение Х больше, чем -1.5, но меньше, чем -0.5.

Задача 7. Функция распределения случайной величины имеет вид:

		0,		если	x ≤1
	Аx	2	+ В,	если1 < x ≤ 4
F(x) =
		1,		если	x > 4

Определить параметры A и B . Найти вероятность того, что случайная величина X примет значение: а) меньше 0.5; б) больше -0.5; в) в интервале (1.5, 3) . Определить плотность распределения случайной величины X .

Задача 8. Дана плотность распределения:
0,	если	x ≤ −1
	если −1	< x ≤1
f (x) = a,
	если	x >1
0,

Определить: а) параметр a ; б) вероятность попадания в интервал (0.5, 1.5) ; в) функцию распределения.

Тема 24. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины

Математическое ожидание дискретных случайных величин, введенное выше, определялось законом распределения случайной величины и использовалось при предельном переходе от биномиального распределения к распределению Пуассона. Для непрерывных случайных величин, математическое ожидание и дисперсия выражаются через плотности распределения согласно следующему определению.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X с

плотностью распределения f (x) называется:
M ( X ) = ∫∞ xf (x)dx	(5.7)
−∞

Это определение представляет собой обобщение определения для дискретных случайных величин.

Пример 5. Найти M ( X ) , если случайная величина X имеет плотность рас-

пределения:
	0,	если	x ≤1
f (x) = 0.25,		если1 < x ≤ 5
	0,	если	x > 5

Решение. По определению математического ожидания, получаем:

∞			1			5		+∞
M ( X ) = ∫xf (x)dx =			∫xf (x)dx + ∫xf (x)dx + ∫xf (x)dx =
−∞			−∞			1		5
5	1			x2	5	52 −	1
5	1			x2	5	52 −	1
= ∫x		dx =			=			= 3
= ∫x	4	dx =		8	=	8		= 3
1					1
1					1

Здесь учтено, что по условию плотность распределения равна нулю всюду вне интервала (1;5) и равна 0.25 только внутри интервала (1;5).

Пример 6. Найти M ( X ) , если случайная величина X имеет плотность распределения:

			0,		если	x ≤1
	− x	2	+8x −7
	− x		+8x −7
f (x) =				,	если1 < x ≤ 7
f (x) =			36	,	если1 < x ≤ 7
			36		если	x > 7
			0,		если	x > 7

Решение. Учитывая, что так же, как в предыдущем примере, при вычислении математического ожидания надо найти интеграл только по той области, где плотность распределения отлична от нуля, получаем:

			7 x(−x				2 +8x −7)								1					x4					8x		3			7x2			7
			7 x(−x				2 +8x −7)								1					x4					8x		3			7x2			7
M ( X ) =			∫									dx =						−						+					−						=
M ( X ) =												dx =						−						+					−						=
							36							36							4				3						2
							36							36							4				3						2		1
			1	4			7	3		7 7	2						4						3							2				49 35 +13
			1
	1		7			8
	1		7			8										1						8 1						7 1
=		−			+				−				−		−				+							−						=				= 4
=	36	−	4		+		3		−	2			−		−		4		+				3			−	2					=			36 12	= 4
	36		4				3			2							4						3				2								36 12

Математическое ожидание обладает следующими свойствами:

1.Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е. M (cX ) = cM ( X ) , где c – любое постоянное число.

2.Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной.

3.Математическое ожидание суммы конечного числа случайных величин равно сумме их математических ожиданий.

Эти свойства вытекают из определения математического ожидания. Например, первое свойство имеет место потому, что все значения случайной величины

Y = cX получаются из значений случайной величины Х умножением на множитель c, а вероятности соответствующих значений новой случайной величины никак не изменяются.

Еще раз подчеркнем, что математическое ожидание есть усредненная характеристика случайной величины. Оно всегда определяется только одним числом, которое находится на интервале между наименьшим и наибольшим из возможных значений случайной величины. В отличие от функции и плотности распределения, которые дают полную информацию о случайной величине и позволяют находить вероятности ее значений или вероятности того, что они находятся в любом интервале, знание математического ожидания недостаточно для определения таких вероятностей.

Дисперсия случайных величин характеризует средний разброс квадрата отклонений значений случайной величины X от ее математического ожидания M ( X ) . Аналогично тому, как это было для дискретных случайных величин,

вводится следующее определение.

Дисперсией случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

D( X ) = M (( X − M ( X ))2 )

(5.8)

Поэтому размерность D(X ) равна квадрату размерности X . Удобнее D( X ) является среднее квадратичное отклонение σ = D( X ) . Дисперсии случайных

величин удовлетворяют следующим свойствам:

1. Дисперсия постоянной величины C равна нулю:

D(C) = 0

2. Постоянный множитель выносится за знак дисперсии в квадрате, т.е.:

D(cX ) = c2 D( X )

3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е.:

D( X +Y ) = D( X ) + D(Y )

4. Для вычисления D( X ) удобнее использовать равенство
D( X ) = M (X 2 )−(M ( X ))2	(5.9)

Заметим, что отклонение случайной величины X от числа, равного ее математическому ожиданию M ( X ) , т.е. Z = X − M ( X ) – также случайная вели-

чина. При этом M (Z ) всегда равно нулю, т.е. M (X − M (X )) = 0 . Действительно, используя свойства (1) – (3), получаем:

M (Z) = M ( X ) − M (M ( X )) = M ( X ) − M (X ) = 0

Именно по этой причине разброс значений X относительно M ( X )	харак-
теризуется дисперсией D( X ) и средним квадратичным уклонением σ =	D(X ) .

Пример 7. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины X , которая имеет плотность распределения:

0,		если x ≤1
		если1 < x ≤ 6
f (x) = 0.2,
	0,	если x > 6

Решение. По определению математического ожидания, получаем:

∞	6	1		1		6			1				35		7
M ( X ) = ∫xf (x)dx = ∫x			dx =		x2		=			(62	−1) =			=		.

		5		10		1		10				10			2
−∞	1

Здесь учтено, что, по условию, плотность распределения равна нулю всюду вне интервала (1,6) и равна 0.2 только внутри интервала (1,6) .

Для того чтобы найти дисперсию X , воспользуемся формулой (5.9) и найдем сначала:

∞	6		1				1				6		1				215			43
M ( X 2 ) = ∫x2 f (x)dx = ∫x2					dx =				x3		6	=		(63 −1) =					=

											1										.
			5				15						15					15		3
			5				15						15					15		3
−∞	1
Поэтому:							2
D( X ) = M ( X 2 ) −(M ( X )2		43				7	2			43		4 − 49 3				172		−147			25
	=			−				=							=					=
	=	3		−				=					12		=		12			=	12
		3				2							12				12				12

σ =			D( X ) =	25	=	5	3
				12		2	3
Пример 8. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадрати-
ческое отклонение случайной величины X , заданной плотностью распределения:
			0,		если		x ≤1
	− x	2	+8x −7
	− x		+8x −7
f (x) =				,	если1 < x ≤ 7
f (x) =			36	,	если1 < x ≤ 7
			36		если		x > 7
			0,		если		x > 7

Решение. При вычислении математического ожидания надо найти интеграл только по той области, где плотность распределения отлична от нуля, получаем:

	7	x(−x2 +8x	−7)				1			x4					8x3					7x2		7		49 35 +13
	7	x(−x2 +8x	−7)				1			x4					8x3					7x2		7		49 35 +13
М( Х) =	∫			dx =				−					+					−					=					= 4.
М( Х) =				dx =				−					+					−					=					= 4.
		36				36					4					3					2				36 12
		36				36					4					3					2	1			36 12
	1
	1
Аналогично, получаем:																							7
М( Х2 ) =	7	x2 (−x2 +8x −7)					1					x5					8x4				7x3				7	4 4 +8
	7	x2 (−x2 +8x −7)					1					x5					8x4				7x3				7	4 4 +8
					dx =				−					+					−				=				=17.8
	∫				dx =				−					+					−				=				=17.8
		36					36				5					4					3					36 15
		36					36				5					4					3		1			36 15
	1
	1
Поэтому по формуле (5.9):
		D( X ) =17.8 − 42 =1.8,														σ =				1.8 ≈1.4

Существуют различные распределения непрерывных случайных величин. Плотности распределений непрерывных случайных величин называют также законами распределений. Далее будут рассмотрены равномерно распределенные и нормально распределенные случайные величины.

Задачи для самостоятельного решения

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины

Задача 9. Плотность распределения:

0,			если	x ≤ −1
	1	,	если −1 < x ≤ 1
f ( x) =	2
			если	x > 1
0,

Задача 10. Плотность распределения:

если

x ≤ 0

(2 x − x2 ),

f ( x) =

если 0 < x ≤ 2

если

x > 2

Задача 11. Плотность распределения:

если

x ≤ −1

если −1 < x ≤1

f (x) = 0.75(1 − x2 ),

если

x >1

Задача 12. Плотность распределения:

если

x ≤ −2

(4 − x2 ),

f ( x) =

если − 2 < x ≤ 2

если

x > 2

Задача 13. Плотность распределения:

если

x ≤1

( x2

f ( x) = −

− 6 х + 5),

если 1 < x ≤ 5

если

x > 5

Задача 14. Плотность распределения:

если

x ≤ −5

( x2

f ( x) = −

+ 6 x + 5),

если − 5 < x ≤ −1

если

x > −1

Задача 15. Плотность распределения:

если

x ≤ −2

+ 4

х)

3(12 − x

f ( x) =

если − 2 < x ≤ 6

256

если

x > 6

Задача 16. Плотность распределения:

если

x ≤ 1

( x2 − 5x + 4),

если 1 < x ≤ 4

f ( x) = −

если

x > 4

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1611 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.02.20161.68 Mб80Статистика. 2 часть.pdf
#
28.02.20161.22 Mб68Статистика. Глоссарий.pdf
#
28.02.2016107.01 Кб14Стратегический менеджмент.doc
#
22.11.2019500.74 Кб9стратегический менеджмент.doc
#
28.02.20162.45 Mб142Страхование.pdf
#
28.02.20162.13 Mб88Теория вероятностей.pdf
#
27.08.2019135.9 Кб15Теория организации. Анализ организационной стру...docx
#
28.02.2016405.5 Кб215Теория экономического анализа. Тесты.doc
#
28.02.20161.54 Mб59Трудовое право.pdf
#
28.02.201615.24 Mб268Тэм. Простор оков (2013).pdf
#
28.02.20163.21 Mб120Управление качеством.pdf