26

§ 8. Нормальные формы

Известно, что в математическом анализе среди всевозможных функций выделяют элементарные (основные) функции: степенные, показательные, тригонометрические и т.п. Среди пропозициональных форм, выделим некоторые как элементарные, а далее из них можно получать более сложные.

Элементарной суммой (элементарным произведением) называют дизъюнкцию (конъюнкцию) пропозициональных букв либо их отрицаний. Одну букву тоже будем рассматривать как элементарную сумму или как элементарное произведение. Элементарную сумму часто называют дизъюнктом, а слагаемые этой суммы называются литералами (литерами).

Примеры элементарных сумм: А, А В, А В А С. Примеры элементарных произведений: А, А&В, А&С&А&В.

Теорема 1.7. Чтобы элементарная сумма была тавтологией (общезначимой формулой), необходимо и достаточно, чтобы в ней содержалась хотя бы одна пара слагаемых, из которых одно есть некоторая буква, а другое - отрицание этой буквы.

Доказательство. Достаточность. Пусть такая пара букв существует, т.е. сумма имеет вид А А ... . Для нас важно, что имеются слагаемые А и А, остальные слагаемые могут быть, но могут и отсутствовать. Форма А и А всегда принимает значение И, поэтому и вся элементарная сумма будет И при любых значениях букв, в нее входящих. Следовательно, наша элементарная сумма - тавтология.

Необходимость. Пусть данная элементарная сумма - тавтология. Допустим, что такой пары слагаемых нет. В таком случае каждой букве, стоящей без знака отрицания, можно дать значение Л, а буквам, стоящим со знаком отрицания, - значение И. Это возможно осуществить, ибо одна и та же буква не входит одновременно без отрицания и с отрицанием. После указанной подстановки каждое слагаемое примет значение Л, следовательно, и вся элементарная сумма примет значение Л и, значит, элементарная сумма не является тавтологией, что противоречит условию. Полученное противоречие и доказывает необходимость.

Также легко доказать следующую теорему.

Теорема 1.8. Для того, чтобы элементарное произведение А было противоречием, необходимо и достаточно, чтобы в нем содержалась хотя бы одна пара множителей, из которых один множитель является отрицанием другого.

27

Дизъюнктивной нормальной формой (д.н.ф.) называется дизъюнкция элементарных произведений. Одно элементарное произведение тоже будем считать д.н.ф. Примеры д.н.ф.: А В,А В&С, А А&С А&В& С.

Теорема 1.9. Для каждой пропозициональной формы существует равносильная ей д.н.ф. (не единственная).

Доказательство. Ранее было показано, что для любой формы существует равносильная ей форма, содержащая только связки , &, , причем связка относится только к отдельным буквам. Еще раньше было замечено, что с формой, содержащей связки &, , можно проводить операции раскрытия скобок (см. законы дистрибутивности). В результате получаем дизъюнкцию элементарных произведений, т.е. д.н.ф.

Пример. Пусть задана формула (А≡В)&С. Исключим связку ≡, затем :

((А В)&(В А))&С,(( А В)&( В А))&С.

Теперь добьемся, чтобы относилась только к пропозициональным буквам: (А& В В& А)&С.

Раскрыв скобки, получим А& В&С В& А&С. Последнее и есть д.н.ф. Полученная д.н.ф., очевидно, равносильна следующей д.н.ф.: А& В&СА&В&С А& А. Из примера видно, что д.н.ф., равносильная заданной форме, определяется не единственным образом.

Теорема 1.10. Для того, чтобы форма А была противоречием, необходимо и достаточно, чтобы равносильная ей д.н.ф. содержала в каждом слагаемом хотя бы одну пару множителей, из которых один - некоторая пропозициональная буква, а второй - отрицание этой буквы.

Доказательство. Пусть для А равносильной ей д.н.ф. является форма

где Вi ( 1≤i≤k ) есть элементарное произведение. Дизъюнкция (1.10) будет противоречием тогда и только тогда, когда будет противоречием каждая Вi (1≤i≤k). Вi - элементарное произведение и по теореме 1.8 будет противоречием тогда и только тогда, когда содержит хотя бы одну пару множителей, из которых один - некоторая буква, а второй - отрицание этой буквы. Теорема доказана.

Следствие 1.1. Форма А будет выполнимой, если равносильная ей д.н.ф. содержит хотя бы одно слагаемое, в котором нет таких множителей, что один

28

из них - некоторая пропозициональная буква, а другой множитель - отрицание этой буквы.

Пропозициональная форма называется конъюнктивной нормальной формой (к.н.ф.), если она представляет собой конъюнкцию элементарных сумм. Легко доказать следующую теорему.

Теорема 1.11. Для каждой пропозициональной формы существует равносильная ей к.н.ф. (не единственная).

Можно сформулировать правила для нахождения д.н.ф. и к.н.ф., равносильных заданной форме. Пусть задана форма А:

1)исключить из А все связки, кроме , &, ,

2)добиться, чтобы относилась только к пропозициональным буквам,

3)если раскрыть скобки по первому дистрибутивному закону, то получится д.н.ф.,

4)если сгруппировать в скобки, пользуясь вторым дистрибутивным законом, то получится к.н.ф.

Легко доказать следующую теорему.

Теорема 1.12. Для того, чтобы пропозициональная форма А была тавтологией, необходимо и достаточно, чтобы равносильная ей к.н.ф. содержала в каждом множителе хотя бы одну букву вместе с отрицанием этой же буквы.

Приведенная теорема позволяет очень просто выяснить является ли форма тавтологией или нет. Для этого достаточно построить к.н.ф.

Также просто по теореме 1.12 выяснить выполнима форма А или нет. Для этого находим к.н.ф. для А и если найденная к.н.ф. тавтология, то А не выполнима, если же найденная к.н.ф. не тавтология, то форма А выполнима.

§ 9. Совершенные нормальные формы

Совершенной дизъюнктивной нормальной формой (с.д.н.ф.)

пропозициональной формы А(A1,A2,…,An) называется д.н.ф. этой формы удовлетворяющая следующим условиям:

-нет одинаковых слагаемых;

-в каждое слагаемое входят все буквы A1,A2,…,An один и только один раз (и только они) с отрицанием либо без отрицания.

С.д.н.ф. для А можно построить по таблице истинности этой формы. Для этого выбираем строки, где А равна И; пусть это будут строки k1,k2,…,km. Для каждой выбранной строки ki, 1≤ i≤ m, строим элементарное произведение

29

(конституенту единицы) Ki следующим образом. Если в выбранной строке ki буква Aj принимает значение И, то в Ki она входит без отрицания, если же Aj=Л, то в Ki она входит с отрицанием. Дизъюнкция построенных произведений и будет с.д.н.ф. и можно доказать, что эта с.д.н.ф. равносильна

А& В&С А& В&С А&В&С А& В&С А&В&С.

Второй метод нахождения с.д.н.ф. – метод равносильных преобразований, который состоит в следующем. Для заданной формы А находим д.н.ф. (которая всегда существует) и пусть д.н.ф. равна:

D1 D2 … Dm (m≥1),

где Di(1≤ i≤m) – элементарное произведение. Построенная д.н.ф. может удовлетворять требуемым условиям, тогда это с.д.н.ф.

Если в некоторое Di входит некоторая буква вместе с ее отрицанием, то Di – противоречие и из д.н.ф. Di можно исключить. Если при такой процедуре нужно отбросить все слагаемые из д.н.ф., то А – противоречие и с.д.н.ф. не существует.

Если в некоторое Di не входит одна из букв Аj формы А, то заменяем Di на равносильную:

(Di& Аj) ( Di&Аj).

Таким образом, добиваемся, чтобы каждое слагаемое содержало все аргументы формы А.

Если в полученной форме окажутся одинаковые слагаемые, то оставляем только одно из них. В результате получим с.д.н.ф

Совершенной конъюнктивной нормальной формой (с.к.н.ф.)

пропозициональной формы А(A1,A2,…,An) называется к.н.ф. этой формы удовлетворяющая следующим условиям:

-нет одинаковых множителей; -в каждый множитель входят все буквы из пропозициональной формы

А один и только один раз (и только они) с отрицанием, либо без отрицания.

С.к.н.ф. для пропозициональной формы А можно построить по таблице истинности этой формы. Для этого выбираем строки, где А=Л. Для каждой строки, где А=Л строим элементарную сумму (конституенту нуля) K0