117

Рассмотренные свойства - непротиворечивость и полнота, являются важнейшими свойствами дедуктивной теории. Кроме этих свойств, имеется и ряд других свойств. Рассмотрим еще два свойства дедуктивной теории.

Независимость аксиом теории. Отдельная аксиома дедуктивной теории, называется независимой, если эту аксиому нельзя вывести в этой теории из остальных аксиом. Система аксиом называется независимой, если каждую из них нельзя вывести из остальных.

Разрешимость теории. Дедуктивная теория называется разрешимой, если в этой теории понятие теоремы эффективно, т.е. существует правило (метод), позволяющее для произвольной формулы за конечное число действий выяснить, является она теоремой или нет.

Пусть заданы две дедуктивные теории B1 и B2 такие, что:

1)алфавит теории B1 содержится в алфавите теории B2 или эти алфавиты совпадают,

2)каждая формула из B1 является формулой из B2

3)каждая теорема из B1 является теоремой в B2

При выполнении этих условий говорят, что теория B2 является расширением теории B1.

В следующих разделах изучим более подробно каждую из дедуктивных теорий (полуформальную и формальную аксиоматическую теорию, естественный вывод), их свойства, а также примеры таких теорий.

Очень трудно в каждой науке отобрать и расположить в надлежащем порядке элементы, из которых все дальнейшее следует. И во всем этом система элементов Евклида превосходит все остальное, … .

Прокл (около 410-485 гг.)

А открытие неевклидовой геометрии было величайшей революцией в области человеческой мысли, какую только знает история науки. Inde irae1.

В.Ф. Коган

§ 4. Пример полуформальной аксиоматической теории - геометрия

Согласно § 2 полуформальная аксиоматическая теория считается заданной, если задан язык этой теории и из множества предложений (формул) этого языка выделено подмножество - множество аксиом. Таким образом, полуформальная аксиоматическая теория (теория B ) считается заданной, если:

1)задан алфавит А - алфавит теории B и заданы правила образования выражений (слов) теории B;

2)заданы правила образования правильно построенных выражений (формул) теории B;

1)«Отсюда гнев» (Ювенал)

118

3) из множества правильно построенных выражений выделяется некоторое подмножество - множество аксиом теории B.

Внастоящее время многие математические теории строятся (задаются) в виде полуформальных аксиоматических теорий. Однако при этом построение их не доводится до того вида, какого требуют указанные выше п.п.1) - 3). Во многих случаях, алфавит не перечисляется, кроме того, не задаются правила образования слов и правильно построенных выражений, а считается, что мы в состоянии отличить, является ли произвольное предложение правильно построенным выражением теории. Например, предложение "в равнобедренном треугольнике углы при основании равны" отнесем к правильно построенным выражениям геометрии, а "треугольник - зеленый" не отнесем к таковым, хотя правила построения правильно построенных выражений геометрии и не сформулированы. Рассмотрим именно такой пример полуформальной аксиоматической теории, когда ее "строгость" не доведена до требований 1) - 3). Однако, как будет видно из построения, эту теорию можно построить и согласно требованиям 1) - 3).

Прежде чем задать геометрию в виде полуформальной аксиоматической теории, нужно отметить следующее.

Геометрия вначале развивалась как эмпирическая наука и в ранний период достигла особо высокого уровня развития в Египте. В первом тысячелетии до н. э. греческие геометры не только обогатили геометрию многочисленными новыми фактами, но и предприняли также серьезные шаги к строгому ее логическому обоснованию.

Многовековая работа греческих геометров за этот период была подытожена и систематизирована Евклидом (330 - 275 гг. до н. э.) в его знаменательном труде "Начала". На протяжении более чем 20 веков "Начала" Евклида служили образцом ясного и строгого изложения. Кризис основ математики, в частности, и создание неевклидовых геометрий, вынудил пересмотреть основы геометрии, и отказаться от понятия аксиомы как самоочевидной истины. Выяснилось, что интуиция во многих случаях может "подводить", приводить к неприятностям (противоречиям). Поэтому пришлось, по возможности, отказаться от попыток обращения к интуиции при построении геометрии и ввести как аксиомы все свойства и "очевидные" положения, которые Евклид использовал в геометрии, но не вводил их в постулаты и аксиомы. Доведение строгости геометрии до некоторых современных понятий строгости было завершено

вработах Паша (1882г.) и Гильберта (1899г.).

Внастоящее время имеются различные редакции задания геометрии. Введем задание геометрии (аксиоматику Гильберта) согласно работе [11]. Геометрия считается заданной, если:

1. Задано три различных множества:

а) элементы первого множества называются точками и обозначаются че-

рез А,В,С,...,А1, А2,..., B1, B2,..., C1, C2,...;

б) элементы второго множества называются прямыми и обозначаются че-

рез а, b,с,..., a1, a2,..., b1, b2,..., c1, c2,...;

119

в) элементы третьего множества называются плоскостями и обозначаются

через α,β ,γ ,..., α 1, α 2,..., β1, β2,..., γ1, γ2,... .

Множество всех точек, прямых и плоскостей называется пространством. На множестве точек, прямых и плоскостей введены отношения, обозначаемые словом "лежат", "между" и "конгруэнтно".

2.Считается, что мы в состоянии различить, является ли данная последовательность выражений правильно построенным выражением геометрии или нет.

3."Точки", "прямые", "плоскости" и отношения между ними, обозначаемые словами "лежат", "между" и "конгруэнтно", подчиняются перечисляемым ниже аксиомам, во всем остальном природа их произвольна. Подчеркнем еще раз, что под "точками", "прямыми" и "плоскостями" можно понимать любые объекты, а под словами "лежат", "между" и "конгруэнтно" любые отношения между объектами, лишь бы для них выполнялись перечисленные ниже аксиомы.

Будем употреблять такие термины как "отрезок", "прямая", "проходить через точку" и т.п. не вводя их определений. Считаем, что читатель это сделает сам, либо обратится к курсу геометрии.

Теперь зададим аксиомы. Все аксиомы подразделяются на 5 групп. Первая группа - аксиомы связи.

1). Каковы бы ни были две точки А, В, существует прямая а, проходящая через каждую из точек А, В.

2). Каковы бы ни были две различные точки А, В, существует не более одной прямой, которая проходит через каждую из точек А, В.

3). На каждой прямой лежат по крайней мере две точки. Существуют по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой.

4). Каковы бы ни были три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой,

существует плоскость α , проходящая через каждую из трех точек А, В, С. На каждой плоскости лежит хотя бы одна точка.

5). Каковы бы ни были три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, существует не более одной плоскости, которая проходит через каждую из трех точек А, В, С.

6). Если две точки А, В прямой a лежат на плоскости α , то каждая точка прямой a лежит на плоскости α .

7). Если две плоскости α, β имеют общую точку А, то они имеют еще по крайней мере одну общую точку В.

8). Существуют, по крайней мере, четыре точки, не лежащие в одной плоскости.

Вторая группа - аксиомы порядка.

1). Если точка В лежит между точкой А и точкой С, то А, В, С - различные точки одной прямой b и точка В лежит также между С и А.

2). Каковы бы ни были точки А и С, существует по крайней мере одна точка В по прямой АС такая, что С лежит между А и В.

120

3). Среди любых трех точек прямой существует не более одной точки, лежащей между двумя другими.

4). Аксиома Паша. Пусть А, В, С - три точки, не лежащие на одной прямой, и а - некоторая прямая в плоскости АВС, не содержащая ни одной из точек А, В, С. Тогда, если прямая а проходит через точку отрезка АВ, то она проходит также либо через точку отрезка АС, либо через точку отрезка ВС.

Кроме этих групп аксиом, задается еще 3-я группа - аксиомы конгруэнт-

ности (5 аксиом), 4-я группа - аксиомы непрерывности (2 аксиомы) и 5-я

группа - аксиома параллельности. Здесь не приводятся все эти аксиомы, ибо в наши цели входит не изучение геометрии, а только рассмотрение, каким образом (методом) задается геометрия.

Однако все же приведем аксиому параллельности как для евклидовой геометрии (аксиома Евклида), так и для неевклидовой геометрии (аксиома Лобачевского).

Аксиома Евклида. Пусть a - произвольная прямая и А - точка, лежащая вне прямой a, тогда в плоскости, определенной точкой А и прямой a, можно провести не более одной прямой, проходящей через А и не пересекающей a.

Аксиома Лобачевского. Пусть a - произвольная прямая и А - точка, лежащая вне прямой a, тогда в плоскости, определенной точкой А и прямой a, можно провести не менее двух прямых, не пересекающихся с заданной прямой a.

Если примем первые четыре группы аксиом и аксиому Евклида, то получим евклидову геометрию.

Если примем первые четыре группы аксиом и аксиому Лобачевского, то получим неевклидову геометрию (геометрию Лобачевского - Бойяи - Гаусса).

Из аксиом логическими методами уже получаются теоремы геометрии, однако этим заниматься не будем. Еще раз отметим, что в полуформальной аксиоматической теории система логических правил, т.е. методы доказательств, считаются известными из опыта изучения математики.

В математической практике аксиоматические теории обычно описываются, как и геометрия, в виде полуформальных теорий и предполагается, что логика, используемая в этой теории, есть та интуитивная логика, которая усваивается в ходе изучения математики.

Для самой науки надобно было всегда желать, чтобы она стала на твёрдом основании, чтобы строгость и ясность сохранялись в самих её началах.

Н. Лобачевский

§ 5. Формальные аксиоматические теории

Как уже известно, формальная аксиоматическая теория B считается заданной, если:

121

1.Задано некоторое множество символов - алфавит теории B. Конечная последовательность букв алфавита называется выражением теории. Алфавит, следовательно, и выражения теории, задаются эффективным образом.

2.Заданы формулы теории B как некоторое подмножество выражений теории. Формулы тоже обычно задаются эффективным образом.

3.Заданы аксиомы теории B как подмножество множества формул. Если аксиом конечное число, то их можно задать перечислением. Если же их бесконечное множество, то задают с помощью схем, т.е. правил построения аксиом. Если аксиомы заданы эффективным образом, то теория B называется эффек-

тивно аксиоматизированной.

4.Задано конечное число правил вывода R1, R2,..., Rn, согласно каждому из которых некоторая формула, именуемая непосредственным следствием (заключением), непосредственно выводима из некоторого конечного множества

формул, называемых посылками. При этом для каждого Ri существует целое положительное k такое, что для каждого множества, состоящего из k формул и для каждой формулы А эффективно решается вопрос о том, является ли А не-

посредственным следствием данных k формул по правилу Ri.

Выводом в B называется всякая последовательность A1, A2,...,An формул,

такая, что для каждого i (1≤ i ≤ n) формула Ai есть либо аксиома теории B, либо непосредственное следствие каких-либо предыдущих формул этой последовательности по одному из правил вывода.

Формула А теории B называется теоремой теории B если существует вывод в B, в котором последней формулой является A, такой вывод называется выводом формулы А.

Формула А называется следствием в B множества формул G тогда и только тогда, когда существует такая последовательность формул A1, A2,..., An, что An=A и для любого i Ai есть либо аксиома, либо элемент G, либо непосредственное следствие некоторых предыдущих формул этой последовательности по одному из правил вывода. Такая последовательность называется выводом А из G. Элементы G называются гипотезами или посылками вывода. Для сокращения утверждения «А есть следствие G» будем употреблять запись: G├A . Например, если G={B1,B2,...Bm}, то будем писать

B1,B2,...,Bm ├ A.

Нетрудно видеть, что если G есть пустое множество, т. е. G = то ├ A имеет место тогда и только тогда, когда А является теоремой. Вместо ├ А принято писать просто

├ А,

что читается: «формула А является теоремой».

Чтобы избежать путаницы там, где будут рассматриваться не одна, а несколько теорий, употребляют запись

указывая индексом B на то, о какой теории идет речь.