155

- Зато я получил классическое образование. - Как это? – спросила Алиса.

- А вот как, - отвечал Грифон. – Мы с моим учителем, крабом – старичком, уходили на улицу и целый день играли в классики.

Л. Кэррол

Глава 5. НЕКЛАССИЧЕСКИЕ ЛОГИКИ

Если бы это было так, это бы еще ничего, а если бы ничего, оно бы так и было, но так как это не так, так оно и не этак! Такова логика вещей!

Л. Кэррол

§ 1. Трехзначные логики

До сих пор рассматривались высказывания, которые могли принимать лишь два значения: И либо Л (1 либо 0). Однако оказывается, что некоторые явления требуют для своего описания употребления высказываний, принимающих более двух значений.

Например, значением высказывания можно считать одно из трех значений: истина, неопределенность (нейтрально) и ложь, обозначаемые соответственно И, Н и Л или 1, ½ и 0. Такие высказывания будем обозначать через х, у, z и т.д., а также этими буквами с числовыми индексами. Их значения в дальнейшем будем записывать символами 1, ½ и 0 соответственно.

В двузначной логике отрицание истины есть ложь, а отрицание лжи вводится как истина. Эти определения интуитивно очевидны и однозначны. Для трехзначной логики уже на этапе определения отрицания интуитивно неясно, как, например, ввести отрицание неопределённости. В настоящее время имеются разные варианты трёхзначных логик. Рассмотрим некоторые трёхзначные системы.

Трёхзначная логика Лукасевича.

Рассмотрим множества высказываний, каждое из которых может принимать только одно из трёх значений: 1, ½, 0. В качестве операций в трёхзначной логике Лукасевича введены отрицание, обозначаемое Nx, конъюнкция (Кху), дизъюнкция (Аху), импликация (Сху). Эти операции определены следующим образом:

Nx=1-x, Kxy=min(x, y), Axy=max(x, y),

Cxy=min(1, 1–x+y), т.е.: Cxy=1, если x≤ y; Cxy=1–x+y, если x>y. Для проведения сравнений различных логик будем использовать обозначения использовавшиеся для классической логики: для конъюнкции – «х&у», для

156

дизъюнкции – «х у», для импликации – «х у» и для эквивалентности – «х≡у». Согласно введенным определениям, получим следующую таблицу истинности. В этой таблице введем также операцию эквивалентности Лукасевича [15].

Рассмотрим, например выражение N(x&y). Легко видеть, что

N(x&y)= 1- min (x,y)= max(1-x,1-y)=(Nx) (Ny).

Аналогичным образом можно получить, что N(x y)=(Nx)&(Ny). Следовательно, в этой логике выполняются законы де Моргана. Имеются и другие сходства с двузначной логикой, но есть и различия, например, не выполняется закон исключённого третьего, т.е. х (Nx) не всегда истинно; есть и другие различия.

Трёхзначная логика Гейтинга.

В двузначной логике являются тавтологиями как x x, так и x x. Из предположения, что тавтологией можно считать только формулу x x Гейтинг разработал новую трёхзначную логику. Пусть имеем вновь множество высказываний, каждое из которых принимает одно из значений: 1, ½ и 0.

Операции Гейтинга вводятся согласно следующей таблице.

Из таблицы видно, что конъюнкция и дизъюнкция определены следующим образом:

x& y=min(x, y), x y=max(x, y),

аимпликация по формуле: x y=1, если x≤ y, x y=y, если x>y.

Вэтой логике, как и в логике Лукасевича, если оставить только значения 0 и 1 (исключить третье значение – значение ½), то получим обычную двузначную логику.

157

Трёхзначные логики Рейхенбаха, Бочвара и Клини

В настоящее время имеется много вариантов построения трёхзначных логик, наиболее известными являются пять трёхзначных логик. К ним относятся указанные логики Лукасевича и Гейтинга, а также трёхзначные логики Рейхенбаха, Бочвара и Клини. Для сравнения этих логик положим,

что истина, неопределённость и ложь обозначены через 1, ½ и 0,

соответственно. Отметим, что их создатели обозначили указанные значения по разному. Также единым образом обозначим операции: конъюнкцию – «&», дизъюнкцию – « », импликацию – « » и эквивалентность – «≡». В каждой из этих логик есть отрицание, такое, что х =1-х (выше в логиках Лукасевича и Гейтинга отрицания для x обозначались через «Nх»). Значения для конъюнкции, дизъюнкции, импликации и эквивалентности высказываний определяется по следующей таблице [15].

Из определений операций видно, что во всех этих пяти логиках значения операций совпадают с их значениями для классической двузначной логики, когда аргументы х и у принимают значения из {0, 1} и различаются когда значение хотя бы одного из аргументов х, у принимают значение ½. Легко убедиться, что ни в одной из этих пяти логик не выполняется закон

158

противоречия, т.е. (х& х ) не всегда ложно, также не имеет места закон исключённого третьего, т.е. (х х ) не всегда истинно.

Указанные логики вводились для различных целей. Так, например, Рейхенбах построил свою логику для описания явлений квантовой механики. По его мнению, говорить об истинном или ложном высказывании правомерно лишь тогда, когда возможно осуществить их проверку. Если нельзя ни подтвердить истинность высказывания, ни опровергнуть его с помощью проверки, то такое высказывание должно оцениваться третьим значением – неопределенно. К числу таких высказываний относятся высказывания о ненаблюдаемых объектах в микромире.

Рейхенбах обозначал «истину» как 1, «неопределённость» – 2, «ложность» – 3. Тавтология принимает значение 1. В логике Рейхенбаха введены три отрицания:

-циклическое отрицание, обозначаемое « А»;

-диаметральное отрицание, которое обозначим через « A»;

-полное отрицание, которое обозначим через «−А».

Эти операции вводятся по следующей таблице (здесь значения 1, 2 и 3 вновь переобозначены через 1, ½ и 0).

В логике Рейхенбаха кроме указанных операций, введены ещё альтернативная импликация, квазиимпликация и альтернативная эквивалентность.

Легко проверить, что для циклического отрицания не имеет место закон двойного отрицания, а имеет место закон тройного отрицания, т.е.( ( А)) равносильно А. Также для циклического отрицания не имеет место закон исключённого третьего, а имеет место закон исключённого четвёртого, который означает, что А ( А) ( ( А)) всегда истинно.

Для диаметрального отрицания, как уже указано, сохраняется закон двойного отрицания, но не имеет место закон исключённого третьего. Имеются и много других, как отличий, так и совпадений этой логики и обычной двузначной логики.

Кто мешает тебе выдумать порох непромокаемый.

Козьма Прутков

§ 2. Многозначные логики

159

Конечнозначная (k-значная, k≥2) логика Поста является обобщением двузначной логики, т.е. при k=2 получится двузначная логика.

Рассмотрим множество высказываний (переменных), каждое из которых может принимать одно из значений 0,1,2,…,k-1.

На множестве введённых k – значных высказываний вводятся операции:

1)x =x+1(mod k) – циклическое отрицание или отрицание Поста,

здесь + - сложение по модулю k;

2)Nx=k-1-x – отрицание Лукасевича;

Функция Im(x) называется иногда характеристической функцией и обозначается как xm;

4)x& y=min(x, y) – конъюнкция;

5)x y=max(x, y) - дизъюнкция;

6)x×y= x×y (mod k) – произведение по модулю k;

7)x+y=x+y (mod k) – сумма по модулю k;

Водятся и другие операции.

Используя введённые операции можно строить суперпозиции этих функций, исследовать их свойства. Также можно вводить нормальные формы, доказать следующее соотношение:

f(x1,…,xn)=( a1 ,a2 ,...,an ) Ia1 &...& Ian & f ( a1 ,a2 ,...,an ) ,

где дизъюнкция берётся по всевозможным наборам значений (a1,a2,…,an) переменных (x1,x2,…,xn).

Легко доказать теорему:

Теорема 5.1. Число различных функций k-значной логики, зависящих от n переменных равно k k n .

Система функций k-значной логики {ϕ1,ϕ2,…,ϕm} называется функционально полной, если любую функцию f k-значной логики можно выразить через функции из {ϕ1,ϕ2,…,ϕm}.

Существует и критерий полноты системы функций.

160

Теорема 5.2 (о функциональной полноте, теорема А. В. Кузнецова). Для каждой k-значной логики существует конечное число замкнутых классов K1, K2, …, Kr(k) таких, что для полноты системы функций k-значной логики {ϕ1,ϕ2,…,ϕm} необходимо и достаточно чтобы {ϕ1,ϕ2,…,ϕm} не содержалась целиком ни в одном из классов K1, K2, …, Kr(k).

Отметим, что в k-значных логиках сохраняются многие свойства и результаты, которые имели место в двузначной логике, но есть и существенные отличия от двузначной логики.

Многозначная логика Лукасевича. В отличие от k-значной логики Поста в k-значной логике Лукасевича считается, что истинностные значения переменных образуют следующее множество:

Эти истинностные значения можно интерпретировать как степень (уровень) истинности.

Операции определяются следующим образом.

Nx=1-x;

x& y=min(x, y); (5.2) x y=max(x, y).

Операции импликации и эквивалентности вводится по формулам: x y=min(1, 1+y - x) и x≡y=1- x-y . Отметим, что Лукасевич вводил только отрицание и импликацию, а остальные записывал через них.

Для каждого k, k ≥ 2, k-значная логика Лукасевича обозначается как Lk. В последовательности L2, L3, L4, … этих логик L2 является классической двузначной логикой, логика L3 совпадает с трёхзначной логикой Лукасевича, рассмотренной в предыдущем параграфе. Предельный случай – логика L∞ является бесконечнозначной логикой, для которой истинностными значениями являются все рациональные числа единичного отрезка [0,1], а операции вводятся по (5.2).

Рассматриваются также и другие многозначные логики, для которых истинностными значениями являются числа отрезка [0,1], но определяемые по формулам отличным от (5.1), операции вводятся как по (5.2), так и по другим формулам. Кроме того, рассматриваются бесконечнозначные логики, для которых истинностными значениями являются уже все действительные числа единичного отрезка [0,1] для которых операции вводятся как по формулам (5.2) так и по формулам отличным от (5.2). Логика, в которой истинностными значениями являются все действительные числа единичного