166
Используя приведенные соотношения 1)-17), можно проводить упрощения, преобразования.
Однажды Насреддина спросили:
-Ходжа, где истина?
-Я не вижу места, где бы она отсутствовала, так что не могу указать точно место, где она находится.
-Ходжа Насреддин1
§4. Нечеткие высказывания и максиминные операции над ними
Нечетким высказыванием называется предложение, относительно которого можно судить о степени его истинности или ложности. Степень истинности или степень ложности каждого нечеткого высказывания принимает значение из замкнутого интервала [0,1], причем 0 и 1 являются их предельными значениями и совпадают с понятиями лжи и истины для "четких" высказываний. Степень истинности (степень ложности) каждого нечеткого высказывания может принимать, как только некоторые значения из [0,1], так и все значения из [0,1].
Примеры нечетких высказываний: "Два - маленькое число".
"Петров занимается большой общественной работой". "Волга - хорошая машина".
"Молодая была не молода".
Нечеткие высказывания бывают простыми и составными. Составные высказывания образуются из простых с помощью вводимых операций, таких как отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация и других. Операции могут вводиться различными способами. Рассмотрим следующий вариант введения операций.
Отрицанием нечеткого высказывания А* называется нечеткое высказывание, обозначаемое А*, степень истинности которого определяется выражением
А* =1-А*.
Конъюнкцией нечетких высказываний А*, В* называется нечеткое высказывание, обозначаемое А*&В*, степень истинности которого определяется следующим образом:
А*&В* = min(А*,В*).
Дизъюнкцией нечетких высказываний А*, В* называется нечеткое высказывание, обозначаемое А* В*, степень истинности которого находится как
А* В* = max(А*,В*).
1 Отметим, что приведенное имя Насреддина не единственно. Его называют в различных краях то Ходжой или Моллой, или Хасаном и, даже, Джохой Насреддином.
167
Импликацией нечетких высказываний А*, В* называется нечеткое высказывание, обозначаемое А* В*, степень истинности которого определяется выражением
А* В* = max(1-А*,В*).
Эквивалентностью нечетких высказываний А*, В* называется нечеткое высказывание, обозначаемое А*≡В*, степень истинности которого определяется выражением
А*≡В* = min(max(1-А*,В*), max(1-В*,А*)).
Введенная нечеткая логика называется нечеткой логикой с максиминными операциями.
Рассматривая А*, В*, С* и т.д. как нечёткие переменные (пропозициональные буквы), можно ввести понятие формулы в нечеткой логике точно также как вводились пропозициональные формы (формулы логики высказываний). Истинностные значения этих формул определяются согласно соотношений введенных для , &, , и ≡. Так, например, имеем:
А* А* = max(A*,1-A*) = |
А*, |
если А* ≥0,5 |
(5.7) |
|
1 − А*, |
если А* <0,5. |
|
Из (5.7) следует, что значение А* А* всегда не меньше 0,5. Рассмотрим теперь формулу:
А*& А* = min(A*,1-A*) = |
А*, |
если А* ≤0,5 |
|
1 − А*, |
если А* >0,5. |
Таким образом, истинностное значение для А*& А* будет всегда не больше
0,5.
Пусть нечеткое подмножество М молодых людей задано функцией принадлежности:
|
|
1, |
|
|
|
если х [0;20], |
|
µмолодой(х)= |
x − 20 |
|
2 |
−1 |
|
||
1 |
+ |
|
|
|
, |
если x > 20. |
|
4 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Значение функции принадлежности для выбранного значения х, положим х = Тина, можно рассматривать как истинностное значение для нечёткого высказывания «Тина молода». Тогда истинностное значение нечеткого высказывания «Тина молода» будет равно 0,63, если ей 25 лет, см. Рис. 5.4 а). Если же Алёне 18 лет, то истинностное значение высказывания «Алёна молода» равно 1.
Используя нечёткое подмножество М можно ввести нечёткий предикат, например: «х является молодым человеком», т.е.: «х М».
Можно строить и другие нечёткие предикаты, используя, например,
понятия: пожилой, старый, редкий, красивая, дорогой и т.п.
Кроме нечётких предикатов, можно ввести нечёткие кванторы (почти все, много, несколько и т.п.), а также нечёткие истинностные значения
168
(совершенно истинный, очень истинный, истинный, совершенно ложный, очень ложный, ложный и т.п.).
Указанные нечёткие истинностные значения вводятся с помощью подходящих нечётких подмножеств, а они – с помощью функций принадлежности. Например, можно положить, что для х [0,1] имеем:
µсовершенно истинный(х)= х ; |
µсовершенно ложный(х)= |
|
1 − х ; |
2 |
2 |
; |
(5.8) |
µочень истинный(х)=х ; |
µочень ложный(х)=(1-х) |
|
|
µистинный(х)=х; |
µложный(х)=1-х, |
|
|
а вне отрезка [0,1] значения этих функций равны нулю. Графики этих функций представлены на Рис. 5.4 б).
|
|
|
|
|
|
очень ложный |
|
µМ(х) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
µМ(х) |
|
совершенно истинный |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
истинный |
0.63 |
|
|
|
|
|
|
очень истинный |
|
|
|
|
|
|
совершенно ложный |
|
|
|
|
|
|
|
|
ложный |
0 |
18 |
25 |
Возраст |
0 |
0.63 |
1 |
х |
|
|
а) |
|
Рис. 5.4 |
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим высказывания:
1)«Тина молода» - совершенно истинно;
2)«Тина молода» - истинно;
3)«Тина молода» - очень истинно;
4)«Тина молода» - очень ложно;
5)«Тина молода» - ложно;
6)«Тина молода» - совершенно ложно.
Для выяснения степени истинности (истинностных значений) высказываний
1)-6) сначала выясним значение у = µмолодой(х), затем по у вычисляем значения µ(у) по (5.8). Пусть Тине 25 лет. Тогда
µмолодой(25)=0,63.
Подставляя значение 0,63 в функции (5.8) получим, что истинностные значения для высказываний 1)-6) равны соответственно:
169
0,79; 0,63; 0,4; 0,14; 0,37; 0,61.
Пусть Х=2А множество подмножеств множества А (А≠) и на Х заданы обычные операции дополнения, пересечения и объединения, т.е. имеем алгебру А= Х; , ∩, . Положим, что V множество обычных (чётких) высказываний (с возможными значениями 1 и 0) с операциями , & и , т. е. имеем алгебру В= V; , &, . Легко видеть, что эти алгебры изоморфны, при этом ( Х) отображается на противоречие, а A на тавтологию. Этот изоморфизм можно продемонстрировать с помощью следующей таблицы.
|
А= Х; , ∩, - алгебра |
В= V; , &, - алгебра |
|
подмножеств множества А |
высказываний |
Основное |
Х – множество подмножеств |
V- множество |
множество |
множества А |
высказываний |
Выделенные |
|
П- противоречие |
элементы из |
|
|
основного |
|
|
множества |
А |
Т-тавтология |
Операции |
- дополнение |
- отрицание |
|
||
|
∩ - пересечение |
& - конъюнкция |
|
- объединение |
- дизъюнкция |
При указанном изоморфизме каждый элемент или операция, записанная в некоторой строке таблицы, для одной из алгебр переходит в соответствующий элемент или операцию, записанную в той же строке для другой алгебры.
Легко показать, что существует изоморфизм между стандартной логикой Лукасевича L1 (с максиминными операциями) и алгеброй нечётких подмножеств с операциями дополнения, пересечения и объединения, введёнными по (5.3), (5.4) и (5.5) соответственно. Действительно, функцию принадлежности µВ(х), х Х, с помощью которой задаётся нечёткое подмножество В на универсальном множестве Х, можно интерпретировать как функцию задающую степени истинности (истинностные значения) утверждения «х является элементом подмножества В» в L1. Обратно, истинностные значения утверждения «х является Р» в L1, где Р нечеткий предикат (такой, как молодой, высокий, красивый и т. п.) можно интерпретировать как значения функции принадлежности нечёткого подмножества со свойством Р, определённого на Х. Изоморфизм тогда следует из того, что логические операции в L1, определённые по формулам (5.2), в точности совпадают с операциями для нечётких подмножеств.
Стандартная логика Лукасевича L1 является лишь одной из возможных бесконечнозначных логик. Другие бесконечнозначные логики со значениями на [0,1] можно строить, например, вводя иначе, чем в L1 операции. Для