Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Дискретка!!!!!!! / Книги / Галиев Ш.И. Математическая логика и теория алгоритмов (2002).pdf
Скачиваний:
1668
Добавлен:
25.02.2016
Размер:
7.49 Mб
Скачать

161

отрезка [0,1], а операции вводятся по формулам (5.2), считается стандартной логикой Лукасевича – логикой L1 [15].

Такие слова наводят на всякие мысли, хотя и неясно – на какие (Алиса)1.

Л. Кэррол

§ 3. Понятие нечеткого множества

Основателем теории нечетких множеств является Л. Заде. Л. Заде писал (см. предисловие к книге [16]): «Теория нечетких множеств – это, по сути дела, шаг на пути к сближению точности классической математики и всепроникающей неточности реального мира, к сближению, порожденному непрекращающимся человеческим стремлением к лучшему пониманию процессов мышления и познания»

Пусть U - произвольное непустое множество в обычном понимании (иногда называемое универсальным множеством), а А является его подмножеством, А U.

Тот факт, что элемент х множества U есть элемент подмножества А или, как говорят, принадлежит А, обычно обозначают так х A. Для выражения этой принадлежности можно использовать и другое понятие - характеристическую функцию µА(х), значения которой указывают, является ли (да или нет) х элементом А:

µА(х)= 1,

если х А,

0,

если х А.

Рассмотрим пример. Пусть U=(-, ), А=[-2,3], тогда µА(х) имеет вид изображенный на рис. 5.1.

 

Очевидны следующие свойства характеристических функций:

1)

(А=В) тогда и только тогда, когда х(µА(х) = µВ(х));

 

 

 

2) µСА(х) = 1- µA(х);

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

µАВ( х) = 1,

если х АВ,

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,

если х АВ

-2

0

3

 

 

 

 

 

= min(µА(х), µВ(х));

Рис. 5.1.

 

1 Эта фраза Алисы из «Алисы в Зазеркалье» взята из книги: М. Гэри, Д. Джонсон, Вычислительные машины и труднорешаемые задачи, см [10]. В переводе Н. Димуровой произведения «Алиса в Зазеркалье» фраза Алисы приводиться без первых двух слов эпиграфа, да и остальная часть нечетко совпадает с эпиграфом, даже без указанной части.

 

162

 

4) µА В( х) = 1,

если х А В,

= max(µА(х), µВ(х)).

0,

если х А В

 

Отметим, что рассмотренная характеристическая функция принимает только два значения 0 или 1.

Представим теперь, что характеристическая функция µ(х) может принимать любое значение в интервале [0,1]. В соответствии с этим мера принадлежности х подмножеству А может быть любой из [0,1], т.е. х может быть элементом А более или менее, менее чем более и т.п. Таким образом, понятие принадлежности получает интересное обобщение. Дадим строгое определение.

Пусть U - множество и х элемент U. Тогда нечетким подмножеством А* множества U называется множество упорядоченных пар

А*={ х, µА*(х) }, где х U, µА*(х) [0,1];

функцию µА*(х) называют функцией принадлежности, а U- универсальным или базовым множеством.

Рассмотрим множество людей различного возраста и попытаемся выделить подмножество молодых людей, т.е. задать функцию µ(х), 0≤µ(х)1. Ясно, что каждый может ввести свое понимание функции µ(х). На рис. 5.2 приведены графики некоторых возможных таких функций µ(х); при этом на оси указаны возраст в годах, на – значения функции µ(х).

Рис. 5.2.

На множестве (-,), например, можно ввести понятие действительных чисел очень близких к нулю. Например, можно определить функцию принадлежности µА*(х) нечеткого подмножества А* действительных чисел

очень близких к нулю по формуле: µА*(х) = 1 . 1 +10х2

График этой функции, представлен на Рис. 5.3.

1 µА*(х)

0,5

Х

-2

-1

0

0,316

1

2

Рис. 5.3.

163

Ясно, что понятие действительных чисел очень близких к нулю тоже вводится неоднозначно, следовательно, и в этом случае можно получить различные функции принадлежности µА*(х). Таким образом, выбор функции µА*(х), в общем, может быть различным.

Носителем нечеткого подмножества А* называется (обычное)

подмножество В множества U, содержащее те элементы из U, для которых

µА*(х)>0. Носитель для А* обозначают как suppА* (suppА*={х U: µА*(х)>0}).

Два нечетких подмножества А* и В* множества U называются равными

тогда и только тогда, когда х U: µА*(х) = µВ*(х). Будем говорить, что А* содержится в В*, если

х U: µА*(х) ≤ µВ*(х)

и обозначать А* В*.

Считаем, что нечеткие подмножества А* и В* множества U дополняют друг друга, если

х U: µА*(х) = 1- µВ*(х).

(5.3)

и обозначать: В*=

 

* или А*=

 

* .

 

А

В

 

Введем пересечение () и объединение ( )

нечётких подмножеств.

Пусть А* и В* нечеткие подмножества множества U, тогда их пересечение и объединение есть нечеткие подмножества множества U

имеющие соответственно следующие функции принадлежности:

(5.4)

х U: µА*В*(х) = min(µА*(х), µВ*(х)),

х U: µА* В*(х) =mах(µА*(х), µВ*(х)).

(5.5)

Положим, что универсальное множество U является

конечным

множеством, например, U={u1,u2,…,un} и А* его нечёткое подмножество с функцией принадлежности µА*(х). Тогда имеем А*={ х, µА*(х) }, где х U,

µА*(х) [0,1], т. е. А*={ u1, µ1 , u2, µ2 ,…, un, µn }, где µi= µA*(ui). В таких случаях используют специальную форму записи, именно пишут:

А*= µ1/ u1+µ2/u2+…+µn/un,

(5.6)

или

n

А*= µi / ui .

i=1

В этих записях указывается элемент универсального множества ui (ui U) и µi (µi= µA*(ui)) – степень принадлежности элемента ui нечёткому подмножеству А*. В этих записях символ «+» не означает операцию сложения, а служит разделителем элементов множества А*. Если µi =0, то, как правило, элементы

164

µi/ui в (5.6) опускаются. Рассмотрим пример. Пусть универсальное множество U состоит из 10 элементов, означающих возраст (в годах):

U={5, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90}.

На этом множестве с помощью следующей таблицы заданы нечёткие подмножества, характеризуемые словами молодой, взрослый и старый. В таблице для каждого элемента ui из U указаны степени принадлежности ui указанным нечетким подмножествам.

Элементы

из U

 

Нечёткие подмножества

(годы)

 

Молодой

 

Пожилой

Старый

5

 

1

 

0

0

10

 

1

 

0

0

20

 

0,8

 

0,1

0

30

 

0,5

 

0,3

0,1

40

 

0,2

 

0,5

0,3

50

 

0,1

 

0,7

0,5

60

 

0

 

1

0,8

70

 

0

 

1

1

80

 

0

 

1

1

90

 

0

 

1

1

Из таблицы можно записать, что носитель нечёткого подмножества А*-

молодой равно:

supp(А*)=supp(молодой)={ui U: µi >0}={5, 10, 20, 30, 40,50}.

Нечёткое подмножество А* можно записать в виде:

А*=1/5+1/10+0,8/20+0,5/30+0,2/40+0,1/50.

Если В* нечёткое подмножество пожилой, то записываем:

В*=0,1/20+0,3/30+0,5/40+0,7/50+1/60+1/70+1/80+1/90.

Пересечение этих подмножеств, очевидно, равно следующему:

А*В*=0,1/20+0,3/30+0,2/40+0,1/50.

Известно, что для произвольных (обычных, чётких) подмножеств А, В, и С множества U выполняются следующие соотношения.

А =A – инволютивность;

A B=B A

– коммутативность;

AB=BA

A (B C)=(A B) C

– ассоциативность;

A(BC)=(AB)C

 

A (BC)=(A B)(A C)

– дистрибутивность;

A(B C)=(AB) (AC)

 

A =A

 

 

A U=U

– свойства операций с и с U;

A=

 

 

AU=A

– законы идемпотентности;
- законы поглощения.
– законы де Моргана;
– свойства операций с и U;
– коммутативность;
–законы идемпотентности; - законы поглощения;
– свойства дополнения;
165
– законы де Моргана;

A B= A B

AB= A B

A A=A

AA=A

А(А В)=А А (АВ)=А A A=U

A A=

Если А*, В*, и С* нечеткие подмножества универсального (обычного) множества U, то можно доказать, что выполняются все приведённые свойства за исключением последних двух соотношений (свойства дополнения), т. е. для нечетких подмножеств имеем следующие соотношения.

1)А* =A* – инволютивность;

2)A* B*=B* A*

3)A*B*=B*A*

4)A* (B* C*)=(A* B*) C*

5)A*(B*C*)=(A*B*)C*

6)A* (B*C*)=(A* B*)(A* C*)

7)A*(B* C*)=(A*B*) (A*C*)

8)A* =A*

9)A* U=U

10)A*=

11)A*U=A*

12)A* B*= A* B*

13)A*B*= A* B*

14)A* A*=A*

15)A*A*=A*

16)А*(А* В*)=А*

17)А* (А*В*)=А*

– ассоциативность;

– дистрибутивность;

Здесь U является обычным множеством, для которого полагаем, что его характеристическая функция введена как: µU(х)=1 для всех х U. Множествотоже является обычным множеством, для которого полагаем, что его характеристическая функция введена как: µ (х)=0 для всех х U.

Как уже указано, свойства дополнения в общем случае не выполняются, т.е. существуют А* и В* такие, что:

A* A* U,

В* В* .

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.