175
Правила вывода следующие.
Р1. Правило замены строго эквивалентным.
Р2. Вместо любых переменных p, q, r,… можно подставить произвольную формулу.
Р3. Введение конъюнкции: из А, В выводится А В.
Р4. Modus pones со строгой импликацией: из А и Аp В выводится В. Если добавить к аксиомам системы S1 аксиому
А8) ◊(p • q) p ◊p,
то получается система S2 Льюиса, и S2 считается системой строгой импликации. Льюисом были предложены и другие системы модальной логики, в частности, системы S3S5 и другие.
Отметим, что в классической логике, например, из лжи следует что угодно. Это иногда противоречит нашему содержательному, практическому пониманию логического следования. Для устранения этого парадокса материальной импликации Льюис и создал свои системы со строгой импликацией. Но появились парадоксы и для строгой импликации. Для исключения парадоксов строгой импликации Аккерман Ф. В. построил свою систему модальной логики.
Кроме систем Льюиса, Аккермана существуют системы Лукасевича и некоторые другие системы.
На втором этапе развития современной модальной логики были построены, так называемые, семантики возможных миров. Основным понятием в них является понятие возможного мира. Под возможным миром понимается мыслимое положение дел, или возможный ход развития вещей.
Не оплакивай, смертный, вчерашних потерь, Дел сегодняшних завтрашней меркой не мерь, Ни былой, ни грядущей минуте не верь, Верь минуте текущей – будь счастлив теперь!
Омар Хайям Если бы все прошедшее было настоящим, а настоящее продолжало существовать наряду с будущим, кто был бы в силах разобрать: где причины и где последствия?
Козьма Прутков
§ 7. Временные (темпоральные) логики
Временные (темпоральные) логики вводят понятия «было»,- «есть»,- «будет» («раньше», «одновременно», «позже») и считается, что истинностное значение высказывания может быть разным в различные моменты времени. Например, «самолёт летит» истинно во все те моменты времени, когда самолёт летит, и ложно во все те, когда он не летит.
Отрицание высказывания истинно во все те времена, когда само высказывание ложно, и ложно во все те времена, когда само утверждение истинно.
176
Конъюнкция двух высказываний истинна во всякое время, в которое истинно каждое из этих высказываний, и ложно во всякое другое время.
Остальные операции определяются через отрицание и конъюнкцию. К высказываниям могут быть применены также, так называемые,
временные операторы – P и F. Оператор F образует будущее время: Fq читается «будет иметь место случай, что q» или «будет q» (слабое будущее).
Используя P и F определяется сильное прошлое и будущее;
Hq def= ~P~q – всегда было q (сильное прошлое);
Gq def= ~F~q – всегда будет q (сильное будущее).
Последние понятия сходны с принимаемыми в модальной логике понятиями необходимости и возможности.
Отметим, что первые системы темпоральной логики были построены А. Прайором в 1954 и предназначались для реконструкции понятий возможности и необходимости.
Первая логика времени, построенная Прайором, представляет собой пропозициональное исчисление, дополненное формой Fq («будет q»), следующими аксиомами
А1) F(p q)≡Fp Fq; A2) FFp Fp.
и правилами вывода:
R1) F ├ GA,
R2) (A≡B) ├ (FA≡FB).
Эта система предназначалась для решения вполне определённой задачи
– реконструкции представлений Диодора из Меоад о возможности и необходимости. Диодор определял возможное как то, что или является, или через некоторое время будет истинным; невозможное как то, что не является и никогда не будет истинным; и необходимое как то, что и является, и всегда будет истинным.
В настоящее время построены различные темпоральные логики, оперирующие понятиями прошлое, настоящее и будущее. Кроме того выявлено, что временные логики и модальные логики взаимосвязаны.
§8. Вопросы и темы для самопроверки
1.Трёхзначная логика Лукасевича.
2.Трёхзначная логика Гейтинга.
3.Трёхзначная логика Рейхенбаха.
4.Что общего в трёхзначных логиках и двузначной логике? Какие различия между ними?
5.Многозначная (k-значная) логика Поста.
6.Многозначная (k-значная) логика Лукасевича. Бесконечнозначные логики, пример введения операций в них.
177
7.Понятие нечёткого множества.
8.Нечёткие высказывания и максиминные операции над ними.
9.Понятие о лингвистической нечёткой логике.
10.Модальная логика.
11.Временные (темпоральные) логики.
§ 9. Упражнения
Рассмотрим k-значную (k ≥ 2) логику Поста, где, как уже указывалось, имеется множество высказываний (переменных), каждое из которых может принимать за одно из значений 0,1,2,…,k-1 и на этом множестве высказываний введены операции:
1)x =x+1(mod k) – циклическое отрицание или отрицание Поста,
здесь + - сложение по модулю k; выражение x будем обозначать (в данной
работе) также через х; |
|
|
||
2) |
Nx=k-1-x – отрицание Лукасевича; |
|||
3) |
Im(x)= k −1, |
если |
x = m, |
m=0,1,…,k-1, |
|
0, |
если |
x ≠ m, |
|
функция Im(x) называется иногда характеристической функцией и обозначается как xm;
4)x& y=min(x, y) – конъюнкция;
5)x y=max(x, y) - дизъюнкция;
6)x×y= x×y (mod k) – произведение по модулю k;
7)x+y=x+y (mod k) – сумма по модулю k;
|
8) |
x-y= 0, |
если |
0 ≤ x < y ≤ k - 1, |
|
|
|
x − y, |
если |
0 ≤ y ≤ x ≤ k - 1; |
|
|
9) |
x y= k −1, |
|
|
если 0 ≤ x < y ≤ k −1, |
|
|
( k −1) − x + y, |
если 0 ≤ y ≤ x ≤ m −1. |
||
|
В упражнениях 1-10 предполагается, что задана k-значная (k≥2) |
||||
логика Поста. |
|
|
|
||
1. |
Выяснить, выполняются ли следующие соотношения: |
||||
|
|
а) N(Nx)=x; |
б) ( x)=x; |
в) (x y) y = x y. |
|
2.Выяснить, выполняются ли следующие соотношения:
а) (x y) + y=x&y; б) |
N( x+y)=(Nx)+(Ny); |
в) (N( x× y))=(Nx)×( y). |
|
3. Доказать, что каждая функция f(x1,…,xn) k-значной (k≥2) логики Поста представима в виде:
f(x1,…,xn)=( a1 ,a2 ,...,an ) Ia1 &...& Ian & f ( a1 ,a2 ,...,an ) ,
178
где дизъюнкция берётся по всевозможным наборам значений (a1,a2,…,an) переменных (x1,x2,…,xn). Правая часть такого представление функции называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой (с.д.н.ф.).
4.Построить с.д.н.ф. для следующих функций:
а) x y, k=3; |
б) x y, k=3; |
в) Nx, k=5. |
5.Выяснить, полна ли следующая система функций:
{0, 1, 2,…, k-1, I0(x), I1(x), I2(x),…, Ik-1(x), x&y, x y}.
6. |
Доказать, что имеет место соотношение: |
||
|
Ij(x)=1+ max |
{x+α}. |
|
|
|
α≠k −1− j |
|
7. |
Выяснить, образуют ли полную систему следующие системы функций: |
||
|
1) |
{n, x, I0(x), I1(x), I2(x),…, Ik-1(x), x&y, x y}, здесь n (0≤ n≤ k-1)- |
|
любое целое неотрицательное число не превосходящее k-1, т.е. 0≤ n≤ k-1; |
|||
|
2) |
{1, Nx, I0(x), I1(x), I2(x),…, Ik-1(x), x&y, x y}; |
|
|
3) |
{0, x, x&y, x y}. |
|
8. |
Построить с.д.н.ф. для следующих функций: |
||
|
а) x y, k=3; |
б) x ( x&y), k=3. |
|
9.Выяснить имеют ли место соотношения:
а) x-y=x-x&y; б) (Nx)-(Ny)=y-x; в) x-y=(x&y)-y.
10.Выяснить имеют ли место соотношения:
а) x×(y+z)=(x×y)+(x×z), k=2; б) x×(y+z)=(x×y)+(x×z), k=3.
11. Постройте таблицы истинности в логиках L4 и L5 Лукасевича для следующих выражений:
а) x x; |
б) x& x; |
в) x ( x&y); |
г) x y; |
д) x&( x y); |
г) x x x. |
12. Пусть для нечётких подмножеств А*, В* и С*, определённых на универсальном множестве U=[0,10], их функции принадлежности равны соответственно:
µА* ( х) = |
|
1 |
|
, µВ* ( х) = 2−х |
и µС* ( х) = |
1 |
. |
|
1 |
+ |
х |
1 +10( х−2 )2 |
|||||
|
|
|
|
Запишите в аналитическом виде и нарисуйте графики функций принадлежности для следующих нечетких подмножеств:
а) |
|
*, |
|
*, |
|
*; |
б) А* В*, А* С*; |
||
А |
В |
С |
|||||||
в) В* С*, А* В* С*; |
г) А*∩ В*, А*∩ С*; |
||||||||
д) (А*∩ В*) С*; |
е) А*∩ |
|
*. |
||||||
С |
|||||||||
13. Нечеткие подмножества А*, В* и С*, на универсальном множестве U=[0; ), заданы их функциями принадлежности соответственно:
|
|
1 |
|
|
1 1 / 2 |
|
1 |
2 |
||
µА* ( х) = |
|
|
, |
µВ* ( х) = |
|
|
и µС* ( х) = |
|
. |
|
1 |
+ 20х |
|
|
|||||||
|
|
|
1 +10х |
|
1 +10х |
|
||||
Упорядочите по включению нечёткие подмножества А*, В*, и С*.
179
14.Докажите, что для нечетких подмножеств А*, В* и С*, с введёнными операциями дополнения, объединения и пересечения, выполняются:
а) законы дистрибутивности; б) законы де Моргана; в) законы поглощения.
15.Пусть нечеткие подмножества А* и В* заданы с помощью таблиц в параграфе 3. Запишите в виде (5.6) следующие нечёткие подмножества:
а) А* В*; |
б) А*∩ |
|
* ; |
||||
В |
|||||||
в) А* (В*∩ |
|
* ); |
г) |
|
* В*. |
||
А |
А |
||||||