231

словами, существует ли такое назначение регистров f: V→{1,2,3,…,K}, что если f(u)=f(v) для некоторых u,v V, то из неравенства s(u) ≤s(v) следует, что s(u)+l(u) ≤ s(v) и s(v)+l(v)(mod N) ≤ s(u)?

Если число K заранее фиксировано, то задача разрешима за полиномиальное время [10].

§ 5. NP-полные и NP-трудные задачи

Рассмотрим сводимость задач. Хотя сведение одних задач к другим является традиционной математической деятельностью, оно до работ С. Кука не было подвержено самостоятельному исследованию. Именно С. Куку принадлежит честь выделения этого понятия как центрального в теории полиномиальной сводимости.

Говорят, что задача Z1 сводится к задаче Z2 если метод решения задачи Z2 можно преобразовать в метод решения задачи Z1. Сводимость называется полиномиальной если указанное преобразование можно осуществить за полиномиальное время.

Если одновременно задача Z1 полиномиально сводится к задаче Z2 и Z2 полиномиально сводится к задаче Z1, то задачи Z1 и Z2 полиномиально эквивалентны.

Задача называется NP-трудной если каждая задача из NP полиномиально сводится к ней.

NP-трудная задача имеет тот смысл, что эта задача не проще, чем «самая трудная в NP».

В классе NP выделяются NP-полные задачи. Задача называется NP- полной, если она входит в NP и каждая задача из NP полиномиально сводится к ней (т.е. является NP-трудной). NP-полные задачи понимаются как самые трудные задачи из класса NP.

Класс NP- полных задач обладает следующими свойствами.

1.Никакую NP-полную задачу нельзя решить никаким известным полиномиальным алгоритмом, несмотря на настойчивые усилия многих блестящих исследователей.

2.Если бы удалось построить полиномиальный алгоритм для какой-нибудь NP-полной задачи, то это бы означало

полиномиальную разрешимость каждой NP-полной задачи. Основываясь на этих двух свойствах, многие высказывают гипотезу, что P ≠ NP. Практическое значение понятия NP-полной задачи лежит именно в широко распространенном мнении, что такие задачи по существу труднорешаемы. Следовательно, при их решении в худшем случае потребуется экспоненциальное количество времени и не будет возможности решить на практике такие задачи, за исключением очень малого числа индивидуальных задач.

232

Первой задачей, для которой было доказано, что она является NP- полной, была проблема о выполнимости (см. задачу 1 в § 4), именно, имеет место следующая теорема.

Теорема 7.1 (теорема Кука). Задача выяснения выполнимости формулы логики высказываний, представленной в к.н.ф., является NP- полной.

Все приведённые ранее примеры NP-задач (задачи 1-12) являются NP- полными задачами. Список NP-полных задач в настоящее время содержит несколько сотен задач и продолжает пополняться. Многие вновь установленные NP-полные задачи печатаются в журнале Journal of Algorithms. В действительности о большей части задач комбинаторной оптимизации известна либо полиномиальная разрешимость, либо NP- полнота, что является ещё одним подтверждением гипотезы P ≠ NP.

§ 6. Класс Е

Как уже указано, считается, что алгоритм имеет полиномиальную временную сложность, если существует полином p(x) такой, что на любом входном слове длины n алгоритм завершает вычисления после выполнения не более чем p(n) операций. Если такого полинома не существует, временная сложность считается экспоненциальной. Таким образом для них число операций возрастает быстрее значений любого полинома.

Кроме этого определения существует и второе определение: алгоритм имеет экспоненциальную временную сложность если его временная сложность имеет порядок не меньше, чем сan, где с >0, a (a > 1) - постоянные. Иначе, временная сложность f(n) является экспоненциальной, если существуют постоянные с >0, a >1, что

саn ≤ f(n)

для всех, кроме конечного числа значений n.

При первом определении, например задача, имеющая сложность порядка 0(nlog2 n ) ( 0(nlog2 n ) = 0( 2(log2 n )2 )) будет отнесена к задаче с экспоненциальной временной сложностью, а по второму определению – нет.

Отметим, что функция nlog2 n хотя и растет быстрее любого полинома, но растёт медленнее, чем, например 2n.

Большинство экспоненциальных алгоритмов – это просто варианты полного перебора. Экспоненциальные алгоритмы не считаются «хорошими», в отличие от полиномиальных алгоритмов, которые, как уже указывалось, считаются «хорошими». К экспоненциальным задачам относятся задачи, в которых требуется построить множество всех подмножеств данного

233

множества, все полные подграфы некоторого графа или же все поддеревья некоторого графа.

Некоторые экспоненциальные алгоритмы весьма хорошо зарекомендовали себя на практике. Дело в том, что временная сложность определяется для худшего случая, а многие задачи могут быть не так плохи.

Для решения задачи линейного программирования существует так называемый симплекс-метод (алгоритм), который хотя и экспоненциален в худшем случае – уверено работает на практике для задач достаточно большого размера. Отметим, что для решения задачи линейного программирования Хачиян Л. Г. в 1979 г. предложил алгоритм эллипсоидов, который имеет полиномиальную временную сложность.

Метод ветвей и границ успешно решает задачу о рюкзаке, хотя этот алгоритм имеет экспоненциальную временную сложность.

Примеров экспоненциальных алгоритмов успешно используемых на практике мало. Более того даже для полиномиальных алгоритмов представляют практический интерес алгоритмы сложность которых имеет порядок n2 или n3. Ясно, что алгоритмы со сложностью порядка n100 вряд ли будут практически используемы.

Интересно, что экспоненциальный алгоритм может оказаться при малом размере задачи более быстрым, чем полиномиальный, однако с ростом размера задачи полиномиальный становится более быстрым.

Экспоненциальная сложность задачи имеет следующие аспекты: -для отыскания решения требуется экспоненциальное время;

-искомое решение может быть настолько велико, что не может быть представлено выражением, длина которого была бы ограничена полиномом от длины входа.

Вторая ситуация возникает, например, если в задаче коммивояжера требуется найти все маршруты длины, не превосходящей заданной величины L. Может оказаться, что имеется экспоненциальное число маршрутов длины не превосходящей L.

§ 7. Ёмкостная (ленточная) сложность алгоритма

Ёмкостная или ленточная сложность алгоритма характеризует необходимую для вычисления память для хранения исходных данных, промежуточных результатов и окончательного результата. При применении машины Тьюринга как модели вычислений, ёмкостная сложность оценивается длиной части ленты используемой для записи исходных данных и вычислений.

Пусть машина Тьюринга вычисляет значение функции f.

Активной зоной ленты (машины Тьюринга) в данный момент времени t называется связанная часть ленты, содержащая обозреваемую ячейку и все ячейки в которых имеются символы из внешнего алфавита машины.

234

Активной зоной при работе машины Тьюринга на числе n называется объединение всех активных зон за время вычисления.

Определим Sf(x) как длину активной зоны при работе машины Т на числе х, если f(x) определено. В противном случае значение Sf(x) будем считать неопределённым. Функцию Sf(x) назовём ленточной сложностью.

Отметим, что в настоящее время уделяется существенно больше внимания временным характеристикам и значительно меньше ёмкостным, хотя эта характеристика тоже существенна при использовании ЭВМ с ограниченной памятью.

Для задач вводятся понятия задач с полиномиальной потребной памятью, с NP-потребной памятью и т.д.

Имеет место следующая теорема:

Теорема 7.2. Для ленточной (ёмкостной) характеристики сложности вычисления функции f имеет место оценка

Sf (x) ≤ x+1+ tf(x),

где tf(x) -временная сложность вычисления f(x).

Доказательство. В начальный момент на ленте машины Тьюринга записано число х (в унарной системе), следовательно, занято х+1 клеток ленты. На каждом такте (шаге) активной становится не более одной новой клетки, поэтому получим указанную оценку для Sf (x).

Эта теорема показывает, что если известна временная сложность, то можно оценить сверху ленточную сложность.

Интересно, что нет пределов сложности вычислений. Можно доказать, что какую бы сложную задачу не взять, то существует ещё более сложная задача.

§8. Вопросы и темы для самопроверки

1.Понятие о сложности вычислений.

2.Размер исходных данных задачи для случаев, когда входом является число, матрица, граф.

3.Временная сложность алгоритма. Временная сложность задачи.

4.Временная сложность алгоритма в наихудшем случае, временная сложность алгоритма в среднем.

5.Может ли, что для решения одной и той же задачи существовать алгоритмы разной сложности? Если да, то какова сложность задачи?

6.Полиномиальная сложность алгоритма, задачи.

7.Классификация задач по сложности.

8.Класс Р, примеры задач из этого класса.

9.NP класс.

10.Недетерминированная машина Тьюринга, её отличие от детерминированной машины Тьюринга.