§ 15. Свойства теорий первого порядка

142

По существу h(A) всегда является пропозициональной формой, в которой роль пропозициональных букв играют символы Akj .

Ясно, что имеют место

h( A)= h(A), h(A B)=h(A) h(B).

Также покажем, что для всякой аксиомы А, получаемой по какой-нибудь из схем А1-А5, h(A) является тавтологией.

Для А1,А2,А3 это очевидно.

Всякий частный случай А4 xiA(xi) A(t) преобразуется операцией h в тавтологию вида B B, а всякий частный случай А5 xi(A B) (A xiB) преобразуется в тавтологию вида (С D) (C D).

Далее: 1) пусть h(A) и h(A B)=h(A) h(B) тавтологии, тогда h(B) – тоже тавтология;

2) если h(A) тавтология, то h( xiA) тавтология, ибо результаты применения операции h к А и к xi A совпадают.

Итак, из случаев 1) и 2) следует, что применение правил вывода МР и Gen сохраняет то свойство формул, что применение к ним функции h снова приводит к тавтологии.

Теперь докажем, что если А теорема, то h(A) - тавтология. Пусть формула А есть теорема теории К1, т.е. существует ее вывод в К1:

В1,В2...,Вn,

где Вn=А и каждое из Вi (1≤ i≤ n) является либо аксиомой, либо непосредственным следствием по МР либо Gen из предыдущих формул этой последовательности. Тогда h(Вi) является тавтологией для любого i, в частности, тавтология

h(Bn)=h(B).

Если бы существовала формула В в К1 такая, что ├ В и ├ В (выводимо В иВ), то по доказанному h(B) и h( B)= h(B) были бы тавтологиями, что невозможно. Значит, не существует формулы В такой, что ├ В и ├ В, следовательно, всякое исчисление предикатов первого порядка непротиворечиво. Что и требовалось доказать.

О полноте исчисления предикатов первого порядка (теории К1).

Как было ранее замечено, в дедуктивных теориях вводят различные поня-

тия полноты. Исчисление предикатов 1-го порядка называется полным в ши-

роком смысле, если каждая логическая общезначимая формула является теоремой.

Можно доказать, что во всяком исчислении предикатов первого порядка каждая теорема является логически общезначимой формулой.

Кроме того можно доказать, что каждая логически общезначимая формула из К1 является теоремой в К1.

Следовательно, во всяком исчислении предикатов первого порядка теоремами являются те, и только те формулы, которые логически общезначимы

(теорема Гёделя о полноте). Таким образом, исчисление предикатов перво-

го порядка (теория K1) является полным в широком смысле теорией.

Теория К считается полной в узком смысле, если для любой замкнутой формулы А доказуемо А либо А.

143

В отличие от исчисления высказываний, исчисление предикатов оказывается неполным в узком смысле. Это означает, что множество теорем теории K1 (множество ТК1) можно некоторым образом расширить и при этом ТК1 не покроет все множество формул теории K1.

О разрешимости исчисления предикатов. Имеет место следующая тео-

рема.

Теорема 4.9 (теорема Чёрча). Исчисление предикатов является неразрешимой теорией.

Следовательно, не существует метода позволяющего для произвольной формулы А логики предикатов за конечное число действий выяснить А теорема или нет.

Можно привести примеры гораздо более богатых теорий, чем исчисление предикатов 1-го порядка, для которых оказалось возможным дать строгое доказательство непротиворечивости и полноты в широком смысле. Примером может служить арифметическая система натуральных чисел с одной операцией сложения (без операции умножения). Но для теорий, содержащих уже всю арифметику натуральных чисел, картина качественно меняется.

Знаменитые и важнейшие теоремы Геделя посвящены исследованию возможностей формальных аксиоматических теорий и выяснению их непротиворечивости.

Первая теорема Геделя. Первая теорема Геделя утверждает, что каждая формальная аксиоматическая теория К, настолько богатая, чтобы содержать формальную арифметику, такова, что если К непротиворечива, то К существенно не полна, т.е. содержит некоторую формулу, что в К ее нельзя ни доказать, ни опровергнуть, хотя с помощью дополнительных средств, выходящих за рамки этой теории К, можно показать ее истинность. Более того, даже если дополнить аксиомы теории К так, чтобы известные истинные формулы были доказуемы, все равно и для такой расширенной системы всегда существует истинная, но не разрешимая (нельзя ни доказать, и не опровергнуть) формула. Теорема Геделя утверждает, что такое расширение теории не может сделать ее полной.

Теорема Геделя показывает, что множество теорем теории (множество Тs) содержится во множестве всех истинных арифметических формул Vs (Тs Vs) и в то же время нельзя построить непротиворечивое эффективно аксиоматизированное расширение для S так, чтобы полученное множество теорем покрыло

все Vs.

Отсюда следует, что формальный аксиоматический подход к арифметике натуральных чисел не в состоянии охватить всю область истинных арифметических суждений (формул). Таким образом, результат Геделя указывает на не-

144

которую принципиальную ограниченность возможностей аксиоматического метода.

Вторая теорема Геделя. В этой теореме Гедель показал, что никакое предложение, которое можно точным образом интерпретировать как выражающее непротиворечивость какой-либо непротиворечивой формальной аксиоматической теории К, содержащей арифметику, не может быть доказано в этой теории К.

Более вольно излагая эту теорему, можно сказать, что «если теория К, содержащая арифметику, непротиворечива, то непротиворечивость ее нельзя доказать средствами самой теории К».

Конечно, неплохо, если получим доказательство на основе более богатой теории. Но нам нужно знать, непротиворечива ли эта более богатая теория. Теорема Геделя утверждает, что если она непротиворечива, то непротиворечивость ее нельзя доказать средствами самой теории, т.е. придется привлекать еще более богатую теорию, непротиворечивость которой тоже нельзя доказать в ней самой, и т.д.

Доказательство непротиворечивости арифметики натуральных чисел с привлечением новых правил вывода было впервые получено Генценом в 1936г., а впоследствии были получены еще несколько доказательств. Эти доказательства имеют относительную ценность. Они сводят доказательство непротиворечивости арифметики к доказательству непротиворечивости более богатых теорий. В то же время эти доказательства демонстрируют, какие новые правила вывода следует допустить (принять), если нужно установить непротиворечивость арифметики.

§ 16. Значение аксиоматического метода

Говоря об ограниченности аксиоматических подходов, нельзя умолчать о достоинствах и большом значении аксиоматического подхода.

Аксиоматизация теории позволяет: 1) систематизировать научный материал, 2) обеспечить определенную организацию научного знания, 3) исследовать структуру различных теорий и их взаимоотношение, 4) обеспечить необходимую строгость рассуждений.

Формализация теории, опирающаяся на аксиоматический метод, имеет существенное значение для объяснения и уточнения понятий теории и выявления используемых в ней методов доказательств. С первого взгляда может показаться, что научная терминология, во многих случаях значительно отличающаяся от обычного словоупотребления, является менее ясной и более искусственной, чем повседневная речь. Однако именно благодаря известной искусственности достигается большая точность и определенность понятий, их ясность. В ряде случаев нельзя правильно поставить вопрос, ни тем более ответить на него, пока не уточним соответствующее понятие.