§ 5. Равносильность пропозициональных форм

22

Пусть А, В, C - произвольные пропозициональные формы. Отношение равносильности пропозициональных форм, как легко видеть, обладает следующими свойствами:

1)А ~ А - рефлексивность;

2)если А ~ В, то В ~ А - симметричность;

3)если А ~ В и В ~ C , то А ~ C - транзитивность.

Следовательно, отношение равносильности является отношением эквивалентности и порождает разбиение множества пропозициональных форм на непересекающиеся классы. В каждый класс попадают равносильные между собой пропозициональные формы. Докажем теорему.

Теорема 1.3. Пропозициональные формы А и В равносильны тогда и только тогда, когда А≡В является тавтологией.

Доказательство. Необходимость. Пусть А и В равносильны, следовательно, они при каждой совокупности значений всех пропозициональных букв, входящих в них, принимают одинаковые истинностные значения, тогда по определению связки ≡ форма А≡В всегда принимает значение И, т.е. является тавтологией.

Достаточность. Пусть А≡В тавтология, т.е. принимает всегда значение И. Это означает, что А и В имеют всегда одинаковые истинностные значения, т.е. они равносильны. Теорема доказана.

В природе существует внутренне присущая ей скрытая гармония, отражающаяся в наших умах в виде простых математических знаков.

Г. Вейль

§ 6. Важнейшие пары равносильных пропозициональных форм

Пусть А, В, С - пропозициональные буквы, Т- тавтология и П - противоречие. Используя таблицу истинности, легко показать, что

1) ( А) равносильно А.

Если под А понимать обозначение некоторого высказывания, то получаем, что двойное отрицание высказывания А означает то же, что и высказывание А. Полученное соотношение между ( А) и А называют

законом двойного отрицания.

Аналогичным образом можно показать, что имеют место следующие законы.

2)A & B ~ B & A;

законы коммутативности;

3)A B ~ B A;

23

4)(A & B) & C ~ A &(B & C);

законы ассоциативности;

5)(A B) C ~ A ( B C );

6)А&(В С) ~ А&В А&С - первый закон дистрибутивности;

7)А В&С ~ (А В)&(А С) - второй закон дистрибутивности;

8)(А&В) ~ А В, законы де Моргана;

9) (А В) ~ А& В,

10)А&А ~ А, законы идемпотентности;

11)А А ~ А,

12)А А ~ Т - закон исключенного третьего;

13)А& А ~ П - закон противоречия;

14)А&Т ~ А;

15)А Т ~ Т;

16)А&П ~ П; свойство операций с Т и с П;

17)А П ~ А;

18)А А&В ~ А;

19)А&(А В) ~ А; законы поглощения;

20) А В ~ В А - закон контропозиции.

Как уже замечено выше, соотношения 1) - 20) доказываются с помощью таблиц истинности.

Можно показать, что соотношения 1) - 20) будут иметь место и тогда, когда вместо пропозициональных букв А, В и С будут подставлены произвольные пропозициональные формы. Соотношения 1) - 20) позволяют находить для заданных пропозициональных форм равносильные упрощенные формы или равносильные формы, имеющие более удобный с некоторых позиций вид. Из этих же соотношений видно, что над пропозициональными формами можно производить преобразования: раскрытие скобок, заключение в скобки, вынесение за скобки общего множителя.

Из соотношений 2) - 6) видно, что операция & напоминает умножение (обладает некоторыми свойствами умножения), а - сложение, поэтому часто конъюнкцию двух высказываний называют (логическим) произведением их, а дизъюнкцию - (логической) суммой.

Битый – правду говорит Молвь людей простых – Стоит двух, кто не был бит, Грамотей – троих.

П.-Ж. Беранже

§ 7. Зависимости между пропозициональными связками

24

Связки , &, , =>, ≡ не являются независимыми друг от друга в том смысле, что одни из них можно выражать через другие так, что при этом получаются равносильные пропозициональные формы.

Например, связка ≡ может быть выражена через связки и & на

А В равносильно ( А) ( В), последнее по закону де Моргана равносильно

Т.е. можно выразить через и .

Изложенное показывает, что одни связки могут быть выражены через другие. Имеют место следующие теоремы.

Теорема 1.4. Для каждой пропозициональной формы А существует равносильная ей форма, содержащая только связки , &, , причем связка относится только к пропозициональным буквам.

Доказательство. Связки и ≡ можно исключить согласно соотношениям (1.2) и (1.3). При этом останутся только связки , &, . Если пропозициональная связка стоит перед некоторой скобкой, например,(А&В С В), то на основании законов де Моргана можно внести под скобки, при этом связка & меняется на , а на &, а связки и ≡ нигде не появляются. Внеся под скобки, перед которыми они стоят, добьемся, чтобыотносилась только к пропозициональным буквам. Теорема доказана.

Теорема 1.5. Для каждой пропозициональной формы А существует равносильная ей форма, содержащая либо только связки , &, либо только ,, либо только , .