§ 5. Свойства формул в данной интерпретации

55

8.Формула xA выполнима в данной интерпретации тогда и только тогда, когда A принимает значение И хотя бы для одной совокупности значений её свободных переменных и хотя бы одного значения переменной x.

9.Формула xA истинна в данной интерпретации тогда и только тогда, когда в этой интерпретации истинно A.

Как следствие из этого утверждения получаем, что формула A истинна

вданной интерпретации тогда и только тогда, когда в этой интерпретации истинно замыкание формулы A.

Если формула A замкнута, то в данной интерпретации A означает некоторое высказывание (нет свободных переменных), следовательно, A истинно либо ложно. Иначе, если A замкнуто, то в любой данной интерпретации либо истинно A, либо истинно A.

10.Рассмотрим некоторую пропозициональную форму. Если в пропозициональную форму вместо пропозициональных букв подставить формулы логики предикатов (вместо всех вхождений одной и той же пропозициональной буквы подставлять одну и ту же формулу), получим некоторую формулу, которая называется частным случаем пропозициональной формы. Тогда легко доказать следующее утверждение.

Всякий частный случай любой тавтологии истинен в каждой интерпретации.

То что имеет основанием истину, следует напоминать, не боясь показаться надоедливым.

Н.И. Пирогов

§ 6. Логически общезначимые формулы. Выполнимые и равносильные формулы

Формула логики предикатов называется логически общезначимой, если она истинна в любой интерпретации.

Логическая общезначимость формулы означает, что какую бы ни выбирали область интерпретации и какие бы соответствия, указанные в начале параграфа 4 данной главы, ни задавали, мы всегда будем получать истинные отношения или высказывания.

Примером логически общезначимых формул, очевидно, являются следующие формулы: A A, xA xA, A≡A.

Если формула А является логически общезначимой, то будем записывать, иногда в сокращенном виде: « ╞ А» и эта запись читается: «А является логически общезначимой формулой (логики предикатов)».

Формула логики предикатов A называется выполнимой, если существует интерпретация, в которой выполнима A.

Примером выполнимой формулы является формула xA(x,y,b1). Действительно, если взять M=[0,∞); A(x,y,b1) поставить в соответствие

56

предикат (отношение) x + y ≥ z; b1 поставить в соответствие число 2, то наша формула в этой интерпретации означает, что x(x + y ≥ 2). Последнее будет истинно, например, при любых значениях у ≥ 2. Следовательно, заданная формула выполнима в этой интерпретации. Таким образом, для нашей формулы существует интерпретация, в которой она выполнима, поэтому эта формула выполнима.

Имеют место следующие очевидные утверждения. Формула A логически общезначима тогда и только тогда, когда формула A не является выполнимой. Формула A выполнима тогда и только тогда, когда формула A не является логически общезначимой.

Будем называть формулу логики предикатов A противоречием, если формула A является логически общезначимой, или, что то же самое, если формула A ложна во всякой интерпретации.

Говорят, что формула логики предикатов A логически влечет формулу логики предикатов B , если в любой интерпретации формула B принимает значение И при каждой совокупности значений свободных переменных (входящих в A и B), при которых формула A приняла значение И. Иначе говорят, что B является логическим следствием формулы A. В этом случае записываем

А╞В

и читаем: «из А логически следует В» или «В является логическим следствием из А». Отметим, что «А╞ В» не является формулой, а является метаутверждением относительно формул А и В (логики предикатов).

Формулы A и B логики предикатов называют равносильными (логически эквивалентными), если каждая из них логически влечет другую.

Если формулы А и В равносильны, то, как и в логике высказываний, записываем: A В.

Имеют место следующие теоремы.

Теорема 2.1.Формула A логически влечет формулу B тогда и только тогда, когда формула A B логически общезначима.

(В сокращенном виде эту теорему можно записать: A╞ B тогда и только тогда, когда ╞ A B).

Доказательство. Пусть A B логически общезначима, т.е. истинна в каждой интерпретации. Если B не является логическим следствием A, то при некоторой интерпретации формула B принимает значение Л для некоторой совокупности значений свободных переменных, при которой A принимает значение И. Но тогда при этой совокупности значений свободных переменных A B будет ложным, что противоречит условию логически

57

общезначимости A B. Итак, если A B логически общезначима, то A логически влечёт B .

Обратное тоже доказывается легко. Действительно, если A логически влечёт B, то по определению импликации, очевидно, A B истинно в каждой интерпретации, следовательно, логически общезначима. Теорема доказана.

Теорема 2.2. Формулы A и B равносильны (логически эквивалентны) тогда и только тогда, когда формула A≡B логически общезначима.

Доказательство. Согласно определению A и B равносильны тогда и только тогда, когда каждая из них влечёт другую, т.е. по предыдущей теореме тогда и только тогда, когда A B и B A логически общезначимы, т.е. тогда и только тогда, когда A≡B логически общезначима.

Теорема 2.3. Если формула A логически влечёт формулу B и A истинно в данной интерпретации, то в этой же интерпретации истинно и B.

Эту теорему легко доказать от противного.

Если формула A является замкнутой формулой, то очевидно при приписывании к A любых кванторов получим формулу равносильную A, т.е.:

A Q1Q2… Qn А,

здесь Q1Q2… Qn любая совокупность кванторов по любым переменным. Также введем понятие логического следствия из заданного множества

формул логики предикатов.

Формула B называется логическим следствием формул А1, А2, …, Аn, если в любой интерпретации формула B принимает значение И при каждой совокупности значений свободных переменных (входящих в B и А1, А2, …, Аn), при которых одновременно все формулы А1, А2, …, Аn приняли значение И. Иными словами говорят, что B является логическим следствием формул А1,А2,…,Аm, m≥1. В этом случае записывается А1, А2,…,Аm╞ В.

Пусть заданы формулы хР(х) и хР(х) и задана произвольная интерпретация этих формул на n-элементном множестве M={a1,a2,...,an}. В §

58

2 установлено, что квантор общности является обобщением конъюнкции, а квантор существования - дизъюнкции и для n- элементных областей интерпретации имеют место соотношения (2.7) и (2.8):

хР(х) равносильно Р(а1)&Р(а2)&...&Р(аn),

хР(х) равносильно Р(а1) Р(а2) ... Р(аn).

Очевидно, что высказывания равносильны тогда и только тогда, когда равносильны отрицания этих высказываний, поэтому первое из этих соотношений эквивалентно следующему:

хР(х) (Р(а1)&Р(а2)&...&Р(аn)) Р(а1) Р(а2) ... Р(аn).

Правая часть полученного соотношения есть не что иное, как запись высказывания х Р(х). Таким образом, для n- элементных областей интерпретации имеем:

Аналогично получим:

хР(х) (Р(а1) Р(а2) ... Р(аn)) Р(а1)& Р(а2)&...& Р(аn),

следовательно, для n-элементных областей интерпретации имеет место:

Соотношения (2.9) и (2.10) показывают, что при перенесении отрицания через кванторы последние меняются на двойственные. Покажем, что эти правила имеют место для указанных формул, но уже без ограничения конечности областей интерпретации.

Рассмотрим формулу хР(х). Возьмем произвольную (но фиксированную) интерпретацию. В каждой интерпретации эта формула означает некоторое высказывание (так как не имеет свободных переменных).

Пусть высказывание хР(х) истинно. Тогда высказывание хР(х) - ложно, следовательно, существует значение переменной х, для которого Р(х) ложно. Обозначим одно из таких значений через b. Итак, b M и Р(b) - ложно. В таком случае Р(b) истинно, т.е. существует такое х (равное b), что Р(х) истинно, поэтому х Р(х) истинно.

Обратно, пусть теперь высказывание х Р(х) истинно. Тогда по определению квантора существования найдется такое значение переменной х, что Р(х) истинно. Обозначим одно из таких значений через b. Итак, b M и Р(b) истинно. Следовательно Р(b) ложно. Но тогда по определению квантора общности хР(х)=Л, а хР(х) истинно. В результате мы доказали,

59

что в каждой интерпретации хР(х) истинно тогда и только тогда, когда истинно х Р(х), поэтому:

хР(х) х Р(х).

Аналогичным образом можно установить, что:

хР( х) х Р(х).

Далее рассмотрим формулу хΑ2(х,у) с одной двуместной предикатной буквой А2. Возьмем для этой формулы произвольную (но фиксированную) интерпретацию. В выбранной интерпретации возьмем произвольное значение свободной переменной у, скажем, у=с (с M).

Выражение хΑ2(х,c) представляет собой отрицание результата навешивания квантора общности на одноместный предикат А2(х,с) и по

Ясно, что аналогично соотношению (2.11) можно доказать следующие равносильности:

хiАkn(х1,х2,...,хn) хi Аkn(х1,х2,...,хn),

Если отрицание стоит перед несколькими кванторами, то, используя (2.12) и (2.13), отрицание можно переносить последовательно через каждый из кванторов, изменяя его на двойственный.

В результате доказана следующая теорема.

Теорема 2.4. Отрицание формулы, начинающейся с кванторов, равносильно формуле, полученной заменой каждого квантора на двойственный и перенесением знака отрицания за кванторы.

Высказывания (2.12) и (2.13) являются аналогами законов де Моргана. Используя их, легко выразить один из кванторов через другой. Для этого применим операцию отрицания к левым и правым частям соотношений (2.12)

Равносильности (2.14) и (2.15) показывают, что при определении формул логики предикатов можно было ввести только один из кванторов. Например, можно считать по определению, что для произвольной формулы А