127

в) ├ A (A B)

1) A - гипотеза,

2)A - гипотеза,

3)A ( B A) - схема аксиом А1,

4)A ( B A) - схема аксиом А1,

5)B A - по МР из 2) и 3),

6)B A - по МР из 1) и 2),

7)( B A) (( B A) B) - схема аксиом А3,

8)( B A) B - по МР из 6) и 7),

9)В - по МР из 5) и 8).

Итак, в силу 1) - 9) A, A ├ B. Тогда по теореме дедукции A ├ A B и, снова по той же теореме, получим, что ├ A (A B).

Доказательство пунктов г) - ж) оставляем читателю в качестве нетривиальных упражнений.

§ 9. Эквивалентность двух определений непротиворечивости

Напомним, что дедуктивная теория называется противоречивой, если ее

множество теорем Т совпадает со всем множеством ее формул Ф (Т=Ф), и непротиворечивой в противном случае ((Т Ф) & (Т≠ Ф)). Будем считать это первым определением (не) противоречивости.

Второе определение (не) противоречивости. Дедуктивная теория называется противоречивой, если существует формула А такая, что в этой теории выводимо А и выводимо A; если такой формулы не существует, то теория называется непротиворечивой.

Теорема 4.2. Для теорий, содержащих исчисление высказываний, приведенные определения (не) противоречивости эквивалентны.

Доказательство. Покажем, что из второго определения следует первое. Пусть существует формула А, такая, что выводима А и А, т.е.

В лемме 2 (в) доказано, что для любых формул А и В имеет место:

128

а из (4) и (1) снова по МР имеем: ├ В. Последнее и означает, что доказуема любая формула В, т.е. множество теорем совпадает с множество формул.

Если примем первое определение, то в противоречивой теории доказуема любая формула, т. е. для любой формулы А получим, что А и A являются теоремами, следовательно, теория противоречива согласно второго определения.

§ 10. Производные (доказуемые) правила вывода в исчислении высказываний

В исчислении высказываний (теории L) имеется только одно исходное правило вывода: modus ponens (МР). При этом доказана теорема дедукции: если G, A├ B, то G ├ A B. Последнее представляет тоже некоторое правило вывода, но уже производное (доказуемое) правило, получающееся, если принять правило МР. Кроме этого производного правила вывода, оказывается, есть и другие. Рассмотрим некоторые из них.

Пусть G - произвольное множество формул из L; А,В,С - произвольные формулы из L. Имеют место следующие производные правила вывода.

1. Правило перевертывания (контрапозиции):

если G,A ├ B, то G, B ├ A.

Доказательство.

1)G,A ├ B - по условию,

2)G ├ A B - по теореме дедукции,

3)(A B) ( B A) - теорема согласно п. д) леммы 4.2,

4)(А B) ├ ( B A) - из 3) по МР,

5)G ├ B A - из 2) и 4) по свойству выводимости (3 ),

6)G, B ├ B - по определению вывода,

7)G, B ├ B A - из 5),

8)B A, B ├ A - по МР,

9)G, B├ A - из 7) и 8) по 3-му свойству выводимости. Что и требовалось доказать.

2. Правило удаления &: А&B├ A.

Доказательство.

1)А, В├ А - по определению вывода,

2)А, А├ В - из 1) по правилу перевертывания,

3) А├ А B - по теореме дедукции,

4) (A B) ├ A - из 3) по правилу перевертывания, 5) А A - теорема согласно п. а) леммы 4.2,

6) А├ А - из 5) по МР,

7) (А B) ├ A - из 4) и 6) по свойству (3 ) выводимости. Получили A&B├ A. Что и требовалось.

3. Правило введения &: А,В├ А&B.

Доказательство.

129

1)A, A B├ B - по МР,

2)А, В├ (А B) - из 1) по правилу перевертывания,

3)А, В├ А, по определению вывода,

4)В B - теорема согласно п.б) леммы 4.2,

5)В├ В - из 4) по МР,

6)А, В├ В - из 5),

7)А, В├ (А B) - из 6) и 2) по 3-му свойству выводимости.

Врезультате получили, А, В ├ А&B. Что и требовалось. Аналогично доказывается, что А, В ├ В&A.

Так же можно доказать следующие правила.

4. Правила введения :

А├ А В, В├ А В.

5.Правило доказательства разбором случаев:

Если А├ С и В├ С, то А В├ С.

6.Правило сведения к нелепости (доказательство от противного):

Если А ├ В и А├ В, то ├ А.

Иногда правило вывода modus ponens записывают следующим образом:

Здесь в числителе перечислены гипотезы (посылки), в знаменателеследствие из этих посылок, а символ , стоящий справа, указывает, что данное правило исключает или вводит этот символ. Тогда рассмотренные выше правила можно записать следующим образом.

Правило доказательства разбором случаев: А ├ С, В ├ С, А В .

С

Правило сведения к нелепости: А├ В, А├ В .

130

А

Отметим, что перечисленные производные правила вывода позволяют намного упростить выкладки в теории L. Подчеркнем, что в принципе можно и не пользоваться этими производными правилами вывода, а пользоваться только правилом МР. Однако при этом может быть придется проводить более громоздкие выкладки. Так, например, если при выяснении, теорема или нет формула А, пользовались теоремой дедукции, то при отказе от этой теоремы дедукции фактически придется ее доказывать для этого частного случая. В других подобных случаях снова придется ее доказывать.

§ 11. Свойства исчисления высказываний

Непротиворечивость исчисления высказываний. Исчисление высказы-

ваний, как и любую формальную аксиоматическую теорию, содержащую символ , будем считать непротиворечивой, если ни для какой формулы А не имеет места ├ А и ├ А, т.е. не может быть, чтобы одновременно были выводимы А иА. Для доказательства непротиворечивости исчисления высказываний (теории L) предварительно докажем теорему.

Теорема 4.3. Всякая теорема теории L есть тавтология.

Доказательство. Легко убедиться, например, с помощью таблиц истинности, что каждая аксиома теории L есть тавтология. Известно, что если А и А В тавтологии, то и В тавтология (см. теорему 1.1), т.е. правило modus ponens, примененное к тавтологиям, приводит к тавтологии. И так как всякую теорему можно доказать применением только правила modus ponens к аксиомам, то теорема есть тавтология. Что и требовалось доказать.

Теорема 4.4. Исчисление высказываний непротиворечиво, т.е. не существует формулы А такой, чтобы А и А были ее теоремами.

Доказательство. Согласно только что доказанной теореме 4.3, каждая теорема теории L является тавтологией. Отрицание тавтологии не является тавтологией. Следовательно, ни для какой формулы А невозможно, чтобы А иА были теоремами исчисления высказываний.

Заметим, что все остальные свойства теории L рассматриваем после выяснения ее непротиворечивости.

Полнота исчисления высказываний. При описании формальных аксио-

матических систем отмечалось, что свойство полноты характеризует достаточность теорем этой теории для некоторых целей. Исчисление высказываний бу-

131

дем считать полным в широком смысле, если в ней доказуема каждая формула, являющаяся тавтологией. Иначе можно сказать, что исчисление высказываний называется полной в широком смысле теорией, если множество теорем покрывает множество формул, являющихся тавтологиями.

Вводят, кроме того, понятие полноты в узком смысле. Исчисление высказываний называется полным в узком смысле, если присоединение к ее аксиомам какой-нибудь, не выводимой в ней формулы, приводит к противоречивой теории. Полнота в узком смысле означает, что аксиомы теории уже нельзя пополнить независимой аксиомой так, чтобы получить непротиворечивую теорию. Иначе можно сказать, что множество теорем Т такой теории еще не покрывает всего множества формул Ф (теория непротиворечива), но всякие попытки расширить множество Т приводят к тому, что Т покрывает все Ф, т.е. теория становится противоречивой.

Покажем, что исчисление высказываний полно в широком смысле. Докажем сначала вспомогательную лемму.

Лемма 4.3. Пусть А есть формула, а В1,В2,...,Вk - пропозициональные буквы, входящие в А, и пусть задано некоторое распределение истинностных значений для В1,В2,...,Вk. Пусть тогда В’i есть Вi , если Вi принимает значение И, иВi, если Вi принимает значение Л, и пусть, наконец, А’ есть А, если при этом распределении А принимает значение И, и А, если А принимает значение Л.

Тогда В’1,В’2,...,В’k ├ А’.

Доказательство. Будем считать, что формула А записана без сокращений, т.е. без использования символов &, , ≡. Доказательство проведем индукцией по числу (n) вхождений в А примитивных связок (связок и ).

Если n=0, то А представляет собой просто пропозициональную букву В1 и утверждение леммы сводится к очевидным утверждениям: В1 ├ В1 и В1├ В1.

Допустим теперь, что лемма верна при любом j<n.

Случай 1. А имеет вид отрицания: В. Число вхождений примитивных связок в В, очевидно, меньше n.

Случай 1а. Пусть при заданном (выбранном) распределении истинност-

Согласно лемме 4.2(б) имеем:

Из (1) и (2) по МР получим:

В рассматриваемом случае А= В, А’ = А= В тогда из (3) следует требуе-

мое: В’1,В’2,...,В’k ├ А’.

Случай 1б. Пусть В принимает значение Л, тогда В’ есть В, а A‘ совпадает с А. По индуктивному предположению В’1,В’2,...,В’k ├ В, что и требовалось получить, ибо В есть A‘.

Случай 2. А имеет вид В C. Тогда число вхождений примитивных связок в В и С меньше, чем в А. Поэтому, в силу индуктивного предположения

Случай 2а. В принимает значение Л, тогда, вне зависимости от значения формулы С, формула А=В C принимает значение И. Так как значение В есть Л, то В’ = В , а из истинности А следует, что А’ = А. Из соотношения (4) получаем

Согласно лемме 4.2(в) имеем:

Из (6) и (7) по МР следует:

В’1,В’2,...,В’k ├ В C.

Последнее и есть требуемое, так как В C есть А’.

Случай 2б. С принимает значение И. Следовательно, А принимает значение И и С’ есть С, а А’ есть А. Тогда из (5) получим

133

Случай 2в. В принимает значение И, С принимает значение Л. Тогда А принимает значение Л, следовательно, А’ = А, В’ есть В, а C‘ есть С. Таким образом, из (4) и (5) получим соответственно

а из (12) и (14) по МР следует

В’1,В’2,...,В’k ├ (В C).

Последнее является требуемым, ибо (В C) есть А’. Лемма доказана.

Теорема 4.5 (о полноте). Если формула А теории L является тавтологией, то она является теоремой теории L.

Доказательство. Предположим, что А есть тавтология и В1,В2,...,Вk - пропозициональные буквы, входящие в А. При каждом распределении истинностных значений для букв В1,В2,...,Bk имеем, в силу леммы 4.3, В’1,В’2,...,В’k ├ А (А’ совпадает с А, так как А всегда И). Поэтому в случае, когда Вk принимает значение И, получим

В’1,В’2,...,В’k-1,Bk ├ А ,

а когда Вk принимает значение Л имеем

В’1,В’2,...,В’k-1, Bk├ А.

Далее снова по МР из (4’) и (2‘) следует

В’1,В’2,...,В’k-1 ├ А.

Таким образом, из В’1,В’2,...,В’k ├А получили В’1,В’2,...,В’k-1 ├ А, т.е. исключили В’k. Точно так же исключим В’k-1 и так далее, после k таких шагов придем к

├ А,

т.е. А является теоремой, что и требовалось доказать.

Можно доказать и полноту в узком смысле, см., например, [7]. Примем без доказательства.

Независимость аксиом. Отдельная аксиома дедуктивной теории, в том числе и исчисления высказываний, является независимой, если эту аксиому нельзя вывести в этой теории из остальных аксиом. Система аксиом является независимой, если каждую из них нельзя вывести из остальных.

Теорема 4.6. Каждая из схем А1, А2 и А3 независимы от остальных.

Доказательство. Независимость А1. Рассмотрим следующую таблицу.

довательно тоже выделенная.

Покажем, что всякая аксиома, получающаяся по схеме А2 и А3, тоже выделенные. Для А3 имеем следующую таблицу:

135

Из приведенной таблицы видно, что аксиома, полученная по А3, является выделенной. Аналогично можно показать выделенность А2.

Если бы А1 была выводима в этой теории из аксиом А2 и А3, то она должна быть выделенной, так как применение МР к выделенным формулам приводит к выделенным. Но А1 не является выделенной, так как формула

Аналогичным образом доказывается гротескность А3 (проделать самостоятельно).

Если А2 выводима из А1 и А3, то она должна быть гротескной, ибо МР, примененное к гротескным формулам, дает гротескную. Но частный случай А2 не является гротескным:

(А1 (А2 А3) (( А1 А2) (А1 А3)) 0 1 0 2 1 2 0 0 0 1 0 2 1

ибо принимает значение 2. Следовательно, А2 независима от А1 и А3. Независимость А3. Пусть А - произвольная формула и h(A) - формула, по-

лученная из А стиранием всех вхождений знака отрицания в А. Нетрудно убедиться, что для всякой аксиомы А, полученной по схемам А1 и А2, h(A) будет