50
Следовательно, квантор всеобщности является обобщением (аналогом) конъюнкции, а квантор существования - обобщением (аналогом) дизъюнкции на произвольное, не обязательно конечное, множество.
Удачные обозначения обладают утонченностью и будят мысль.
Б. Рассел
§ 3. Формулы логики предикатов
1
Впредыдущих параграфах записывались
некоторые предложения содержательного языка в виде символов. В этом параграфе рассмотрим правила образования из определенных символов различных выражений (термов, формул) без какихлибо ссылок на их содержательный смысл. Только в дальнейшем (§4) будем придавать содержательный смысл этим наборам символов, т.е. рассматривать, какие предложения содержательного языка они могут обозначать.
Буквы начала латинского алфавита (а,b,с,...) и они же с числовыми индексами (а1,а2,...,b1,b2,...,с1,с2,...) называются предметными постоянными.
Буквы конца латинского алфавита (х,у,z,...) и они же с числовыми индексами (х1,х2,...,у1,у2,...,z1,z2,...) называются предметными переменными.
Буквы Ain с числовыми индексами i ≥ 1, n ≥ 0, называются
предикатными буквами, а fin , i ≥ 1, n ≥ 1, - функциональными буквами.
Верхний индекс предикатной или функциональной буквы указывает число аргументов, а нижний индекс служит для различения букв с одним и тем же числом аргументов.
Будем по возможности опускать числовые индексы у предикатных и функциональных букв, считая, что их легко можно восстановить. Например,
вместо A12 (х,у) будем писать А1(х,у), и если нет других двухаргументных
(двуместных) предикатных букв А, то вместо А1(х,у) будем писать просто А(х,у), кроме того иногда будем использовать буквы Р, Q, R, S для
обозначения предикатных букв Ain .
Определение терма:
а) всякая предметная переменная или предметная постоянная есть
терм;
б) если fin - функциональная буква и t1,t2,...,tn - термы, то fin (t1,t2,...,tn) есть терм;
1 Здесь приведена некоторая копия древнеегипетских записей – иероглифов. Она перерисована из книги С. Коваль, От развлечения к знаниям. Варшава, 1972.
51
в) выражение является термом только в том случае, если это следует из правил а) и б).
Примеры термов: а, х1, f12 (х ,а), f32 (а, f21(у)).
Предикатные буквы, примененные к термам, порождают элементарные формулы, или точнее: если Ain - предикатная буква, а t1,t2,...,tn - термы, то
Ain (t1,t2,...,tn) - элементарная формула.
Будем считать, что нульместная предикатная буква тоже является элементарной формулой.
Примеры элементарных формул: A10 , A12 (х1,а1), A11( f11(х)),
A23 (х,у, f12 (а,х)).
Формулы логики предикатов определяются следующим образом: а) всякая элементарная формула есть формула;
б) если А и В - формулы и х - предметная переменная, то каждое из выражений ( А), (А В), ( хА) и ( хА) есть формула;
в) выражение является формулой только в том случае, если это следует из правил а) и б).
В выражениях ( хА) и ( хА) формула А называется областью действия кванторов х и х соответственно.
Примеры формул: ( A10 A12 (х,а)), ( хA12 (х, f11( f11(х)))), ( х( хA11(а))).
Если А и В - формулы, то договоримся, что А&В является сокращенной записью формулы ( (А ( В)),
А В является сокращенной записью формулы (( А) В),
A≡В является сокращенной записи формулы ( ((А В) ( (В А)))). Будем придерживаться тех же правил опускания скобок, которые
приняты в §3 главы 1, введя дополнительно, что кванторы х, х располагаются по силе между связками ,&, и связками ,≡. Например, вместо (( хА) В) пишем хА В.
Договоримся также опускать скобки, в которые заключается формула А в формулах вида (Q1(Q(А))), где Q1 и Q - любые кванторы. Например, вместо
( х( у( z( A13 (х,у,z))))) пишем х у z A13 (х,у,z).
Вхождение переменной х в данную формулу называется связанным, если х является переменной входящих в эту формулу кванторов х, х или находится в области действия входящих в эту формулу кванторов х, х; в противном случае вхождение переменной х в данную формулу называется свободным. Например, вхождение переменной х в формулу
уA12 (х,у) A22 (у,у) является свободным, первое и второе вхождение
переменной у - связанное, а третье и четвертое вхождение у в эту формулу - свободное. Таким образом, одна и та же переменная в одной и той же формуле может иметь как связанные, так и свободные вхождения.
52
Переменная называется свободной (связанной) переменной в данной формуле, если существуют свободные (связанные) ее вхождения в эту формулу.
Формула называется замкнутой, если она не содержит никаких свободных переменных, т.е. либо все ее переменные связанные, либо
переменных нет совсем. Например, формула х( уA12 (х,у) A22 (x,x)) -
замкнутая, а формула хA12 (х,у) - не замкнутая, ибо содержит свободную
переменную у.
Замыканием формулы А называется формула, полученная из А приписыванием перед нею кванторов всеобщности по всем ее свободным переменным, при этом кванторы приписываются следующим образом: сначала записываем кванторы общности по всем свободным переменным х (если они есть) в порядке возрастания их индексов, затем по свободным переменным у (если они есть) в порядке возрастания их индексов и т.д. Так,
замыканием формулы A13 (х3 ,х1 ,у2) будет формула:
х1 х3 у2 A13 (х3,х1,у2),
а замыканием для формулы у1 х3 A13 (х1,у1,х3) A12 (х3,х2) будет формула:
х1 х2 х3( у1 х3 A13 (х1,у1,х3) A12 (х3,х2)).
Сначала узнайте факты, а потом интерпретируйте их как хотите.
М. Твен Не существует фактов, есть лишь их интерпретации.
Ф. Ницше Когда я беру слово, оно означает то, что я хочу, не больше и не меньше, - сказал Шалтай презрительно.
Вопрос в том, подчиняется ли оно вам, - сказала Алиса.
Л. Кэрролл
§ 4. Интерпретация. Модель
Интерпретацию будем считать заданной, если:
1.Задано непустое множество M, называемое областью интерпретации.
2.Заданы следующие соответствия:
a)предикатным буквам Ain поставлены в соответствие некоторые n - местные предикаты (отношения) в M;
b)функциональным буквам fin поставлены в соответствие некоторые n - аргументные функции, отображающие M n в M;
53
c)каждой предметной постоянной поставлен в соответствие некоторый (фиксированный) элемент из M;
d)символам , , x, x поставлен в соответствие их обычный смысл.
3.Считается, что предметные переменные пробегают всё множество M.
Например, чтобы задать интерпретацию для формулы x A13 (x,y,b1), нужно задать множество M - область интерпретации (область изменения переменных x,y). Из этой области M будем брать некоторый элемент, соответствующий предметной постоянной b1. Далее нужно задать 3-х
местный предикат на M, соответствующей предикатной букве A13 . Так, можно положить, что M=[0, ∞); предметной постоянной b1 поставить в соответствие 1, а A13 (x,y,z) поставить в соответствие предикат x + y ≥ z. Тогда
формула x A13 (x,y,b1) в заданной интерпретации запишется:
x(x + y ≥ 1)
и означает, что для любого x (x [0, ∞)) сумма x + у больше или равна 1. Очевидно, что это отношение истинно при некоторых у (у ≥ 1) и ложно при других значениях у (0≤у<1). Если предметной постоянной b1 поставить в соответствие 0, а не 1, то утверждение x(x +y ≥ 0) будет истинно при любом значении свободной переменной у.
Легко видеть, что для той же формулы x A13 (x,y,b1) можно построить
бесчисленное множество других интерпретаций, выбирая различные множества M, выбирая из M, каким-то образом элемент, соответствующий b1, и задавая различным образом на M трехместный предикат. Так, можно за M
взять множество всех студентов Казани, за b1 студента Иванова, а A13 (x,y,z) поставить в соответствии предикат: «x и у учатся в той же группе, что и z». Тогда исходная формула x A13 (x,y,b1) в этой интерпретации означает
утверждение: x(x и у учатся в той же группе, что и Иванов). Это утверждение является ложным при каждом у, ибо не может быть, чтобы любой x и некоторый у учились в той же группе, что и Иванов.
При данной интерпретации всякая формула без свободных переменных (замкнутая формула) представляет собой высказывание, которое истинно либо ложно, а всякая формула со свободными переменными выражает некоторое отношение на M, которое может быть истинно для одних значений из M и ложно для других.
Формула называется выполнимой в данной интерпретации, если она принимает значение И хотя бы для одной совокупности возможных значений её свободных переменных (если они есть). Если формула не содержит свободных переменных, то она называется выполнимой в том случае, если принимает значение И в этой интерпретации.
Формула называется истинной в данной интерпретации, если она принимает значение И для всех возможных значений её свободных