Глава 1. ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ

12

высказывание А истинное, то будем говорить, что А принимает значение И (истина), и писать: А = И. Если высказывание А ложное, то будем говорить, что А принимает значение Л (ложь), и писать: А = Л. Заметим, что мы не будем определять, что такое истина и что такое ложь, но считаем себя способными охарактеризовать некоторые высказывания как истинные, другие - как ложные.

Из высказываний можно образовывать другие высказывания, соединяя их различными способами, т.е. производя операции над высказываниями. Эти логические операции над высказываниями таковы, что истинностные значения составных высказываний определяются только истинностными значениями составляющих высказываний, а не их содержательным смыслом.

1. Первой из операций над высказываниями введем отрицание. Прежде отметим, что в разговорном языке высказывание может быть отрицаемо многими способами, например: отрицанием для высказывания «2 - четное число» может служить: «2 не является четным числом», «неверно, что 2 - четное число», «не имеет места, что 2 - четное число» и т.п. Мы будем строить отрицание для данного высказывания одним способом, помещая знак отрицания перед всем высказыванием.

Отрицание - логическая операция, с помощью которой из данного высказывания А образуется новое высказывание, обозначаемое А, которое истинно тогда и только тогда, когда А ложно. Следовательно, имеем следующую таблицу, которая называется таблицей истинности.

В литературе встречаются и другие обозначения для А: A или А. Отрицание является одноместной логической операцией. Другие логические операции, которые введем ниже, - двуместные операции, сложное высказывание строится из двух данных высказываний А и В.

2. Конъюнкция - логическая операция, с помощью которой из двух данных высказываний А и В образуется новое высказывание, обозначаемое А&В, которое истинно тогда и только тогда, когда А и В оба истинны.

Высказывание А&В читается «А и В» и называется конъюнкцией А и В, а А и В называются конъюнктивными членами. По определению конъюнкции имеем следующую таблицу истинности.

"и". Выражение А&В может служить обозначением не только для

13

высказывания А и В, но и для высказываний: «как А, так и В»; «А вместе с В»; «А, в то время как В»; «не только А, но и В», «А, хотя и В». Очевидно, что этот список можно продолжить.

Однако, А&В не является моделью для каждого случая употребления союза «и». Поясним это. Согласно определения конъюнкции истинностные значения А&В и В&А одинаковы, т.е. А&В и В&А понимаются как равносильные (равнозначные) высказывания. В то же время высказывания «Таня проснулась и солнце взошло над горизонтом», «Солнце взошло над горизонтом и Таня проснулась» понимаются как различные. Также различны высказывания «Иванову стало жарко и он пошёл искупаться», «Иванов пошёл искупаться и ему стало жарко».

3. Дизъюнкция - логическая операция, с помощью которой из двух данных высказываний А и В образуется новое высказывание, обозначаемое А В, которое ложно тогда и только тогда, когда ложны оба высказывания А и В.

Высказывание «А В» читается «А или В», а А и В называются дизъюнктивными членами. Из определения видно, что операция дизъюнкции соответствует образованию нового высказывания из данных А и В

литературном языке мы привыкли к тому, что в высказываниях «если А, то В» между посылкой А и заключением В имеется определенная (обычно причинная) связь. Если же такого рода связи между А и В нет, то не всегда ясно, истинно либо ложно высказывание «если А, то В». Неясно, например, истинными или ложными будут высказывания:

1)если 2х2=4, то Л. Н. Толстой - автор романа «Война и мир»,

2)если 2х2≠4, то Л. Н. Толстой - автор романа «Война и мир»,

3)если 2х2≠4, то А. П. Чехов - автор романа «Война и мир».

Введем правила, по которым можно будет определять истинность высказывания «если А, то В», зная только истинностные значения А и В вне зависимости от того, существует ли между А и В какая-нибудь содержательная связь или нет.

Импликация (следование)- логическая операция, с помощью которой из двух данных высказываний А и В образуется новое высказывание, обозначаемое А В, которое ложно тогда и только тогда, когда посылка А истинна, а заключение В ложно.

14

Высказывание А В читается «если А, то В» или «из А следует В» и называется импликацией А и В.

Согласно определению импликации получим таблицу истинности:

Такое определение истинности высказывания «если А, то В» не противоречит обычной практике. Иногда встречается некоторое не истинностно-функциональное употребление связки «если..., то...», связанное с законами причинности и в так называемых условных контрафактических предложениях. Но мы будем использовать, введенную импликацию, только там где не используются законы причинности и условные контрафактические предложения.

Другие обозначения импликации (следования): А → В, А В.

5. Эквивалентность - логическая операция, при помощи которой из двух данных высказываний А и В образуется новое высказывание, обозначаемое А≡В, которое истинно тогда и только тогда, когда А и В принимают одинаковые истинностные значения.

Высказывание А≡В читается «А тогда и только тогда, когда В» и называется эквивалентностью А и В. Другие обозначения для А≡В: А В,

А↔В, А В.

Из определения эквивалентности получаем следующую таблицу истинности.

истинности. Можно ввести и другие операции, но доказывается, что этих операций достаточно, более того, сложное высказывание выражается с использованием только некоторых из введенных выше операций.

Отметим еще раз, что мы ввели операции над произвольными высказываниями без учета их смыслового содержания. При этом можно выяснить истинностное значение полученных высказываний, не обращая внимания на смысловое содержание высказывания. Так, например, можно образовать высказывание: «Если Иванов - студент, то 1 сентября 2002 года в Воронеже шел дождь», и это высказывание будет ложно, когда высказывание «Иванов – студент» истинно, а 1 сентября 2002 года в Воронеже дождя не было, в остальных случаях будем считать, что рассматриваемое условное предложение истинно.