122

§ 6. Свойства выводимости

Пусть G - некоторое множество формул данной теории, A, В и C - произвольные формулы той же теории. Рассмотрим некоторые свойства выводимо-

из гипотез G. Если некоторая формула Аi принадлежит G, то, очевидно, Аi F. Следовательно, вывод (1) формулы А является выводом формулы А из гипотез F. Что и требовалось доказать.

2.G ├ A тогда и только тогда, когда в G существует конечное подмножество Н такое, что Н ├ А.

Доказательство следует из определения вывода.

3.Пусть G ├ A и каждая формула В, принадлежащая G, выводима из некоторого множества формул F, тогда F ├ A.

Доказательство. Пусть A имеет вывод

из гипотез G. По определению вывода некоторые Аi из (2) могут принадлежать G, но каждая формула из G, имеет вывод из F. Заменим в (2) все Аi, принадлежащие G, выводом Ai из F. В результате получим последовательность формул:

B1,B2,...,Bm,

которая уже является выводом А из F. Что и требовалось доказать. Как частный случай п.3 имеем:

3` . Если A ├ B и B ├ C, то А ├ C.

4. Если G,A ├ B и G ├ A, то G ├ B.

Доказательство. Пусть B имеет вывод

из гипотез G и А, а формула А имеет вывод

А1,А2,...,Аm (4)

из гипотез G. В выводе (3) формулы В некоторые из Вi могут быть равны А. Заменим такие Вi последовательностью (4). В результате получим последовательность формул

C1,C2,...,Cr,

которая является выводом для В из гипотез G. Что и требовалось доказать.

123

Первые понятия, с которых начинается какаянибудь наука, должны быть ясны и приведены к самому меньшему числу. Тогда только они могут служить прочным и достаточным основанием учения.

Н. Лобачевский

§7. Исчисление высказываний (теория L)

Вкачестве первого примера формальной аксиоматической теории рассмотрим исчисление высказываний - теорию L.

1.Символами теории L являются , ,),( и буквы Аi с целыми положительными числами в качестве индексов: А1,А2,А3,... Символы , будем называть примитивными связками, а А1,А2, А3,... - пропозициональными буквами.

2.Формулы теории L определим индуктивным образом:

1)все буквы А1,А2,А3,... суть формулы;

2)если А и В формулы, то ( А) и (А В) тоже формулы;

3)выражение теории L является формулой только тогда, когда это следует из 1) и 2).

Будем считать, что

А&В служит обозначением для формулы ( (А ( В))),

А В служит обозначением для формулы (( А) В), А≡В служит обозначением для формулы ( ((А В) ( (В А)))).

Из определения формул видно, что всякая формула из L есть пропозициональная форма, построенная из пропозициональных букв А1,А2... с помощью связок и .

Будем придерживаться тех же правил опускания скобок в формулах, что и раньше для пропозициональных форм.

3. Аксиомы теории L. Каковы бы ни были формулы А, В и С теории L, следующие формулы суть аксиомы теории L:

А1: А (B А);

A2: (А (B C)) ((А B) (А C)); A3: ( B А) (( B А) B).

Заметим, что А1 - А3 являются схемами аксиом, т.е. указывают, как строятся аксиомы для произвольных формул А, В и С. В силу произвольности формул А, В и С схемы аксиом А1-А3 порождают бесчисленное множество аксиом. Легко убедиться, например, с помощью таблиц истинности, что каждая аксиома полученная по схемам А1-А3 является тавтологией.

4. Единственным правилом вывода теории L служит правило modus ponens: В есть непосредственное следствие А и А В. Это правило сокращенно обозначают МР.

Modus ponens в переводе означает «правило отделения». Отметим, что теорема 1.1 утверждает, что если А и А В тавтологии, то и В тоже тавтология. Следовательно, правило modus ponens из тавтологий получает тавтологию.

124

Очевидно, правило МР означает, что А,А В−В.

Таким образом, задали некоторую формальную аксиоматическую теорию, которая и называется исчислением высказываний. Рассмотрим некоторые доказательства в этой теории.

То, что начала существуют, необходимо принять, прочее следует доказать.

Аристотель

§ 8. Некоторые теоремы исчисления высказываний

Проведем доказательство некоторых теорем исчисления высказываний (теории L).

Лемма 4.1. ├ А А для любой формулы А теории L. Иначе, формула А А является теоремой теории L для любой формулы А из L.

Доказательство.

1)(А ((А А) А)) ((А (А А)) (А А)) - является аксиомой, так как получается по схеме А2, если положить В=А А и С=А,

2)А ((А А) А) является аксиомой, которая получается по схеме А1, если положить В=А А,

3)(А (А А)) (А А) является непосредственным следствием из 1) и 2)

по МР,

4)А (А А) является аксиомой, полученной по схеме А1 при В=А,

5)А А является непосредственным следствием из 3) и 4) по МР.

Таким образом, получили последовательность формул 1)-5), каждая из которых аксиома либо непосредственное следствие из некоторых предыдущих формул 1)-4) по правилу МР, причем последняя формула есть A А. Следовательно, формулы 1)- 5) - есть вывод формулы A А и А А является теоремой в L.

Теорема 4.1 (теорема дедукции). Если Г - множество формул, А,В - фор-

мулы и Г,А├ В, то Г ├ А В. В частности, если А ├ В, то ├ А В.

Доказательство. Пусть В1,В2,...,Вn есть вывод формулы В из Г {А}, где Вn=В. Индукцией по i (1 ≤ i ≤ n) докажем, что Г ├ А Вi.

Пусть i=1. Покажем, что Г ├ А В1. Так как В1 является первой из формул в выводе В из Г {A}, то имеем следующие возможности:

В1 Г,

В1 - является аксиомой,

125

В1=А.

По схеме аксиом А1 формула В1 (А В1) есть аксиома. Поэтому в первых двух случаях (когда В1 аксиома или формула из Г) по МР получим

Г ├ А В1.

В третьем случае, т.е. когда В1 совпадает с А (В1=А), по лемме 4.1 имеем

├ А В1,

следовательно, Г ├ А В1. Тем самым случай i=1 исчерпан.

Допустим теперь, что Г ├ А Вk для любого k<i. Для Вi имеем четыре возможности:

Вi есть аксиома,

Вi Г,

Вi =A,

Вi - следствие по МР из некоторых Вj и Вm, где j<i, m<i и Bm имеет вид

Bj Bi.

Впервых трех случаях то, что Г ├ А Вi доказывается так же, как для i=1.

Впоследнем случае применим индуктивное предположение, согласно которому

1)Г ├ А Вj,

2)Г ├ А (Вj Bi).

По схеме аксиом А2:

3)├ (А (Вj Bi)) ((A Bj) (A Bi));

далее применяя правило MP, из 3) и 2) получим:

4)Г ├ (A Bj) (A Bi);

снова по МР из 4) и 1) имеем:

Г ├ А Вi.

Таким образом, доказательство по индукции завершено и для i=n получено требуемое утверждение. Теорема доказана.

Следствие 4.1. A B, B C ├ A C.

Доказательство.

1)A B - гипотеза,

2)B C - гипотеза,

3)А - гипотеза,

4)В - по МР из 1) и 3),

5)С - по МР из 2) и 4).

Таким образом, A B, B C, A ├ C. Отсюда по теореме дедукции A B,B C ├ A C. Что и требовалось доказать.

Отметим, что по доказанному следствию имеем:

A B,B C ├ A C

исключив импликацию, получим:

A B, B C ├ A C,