136
тавтологией. Очевидно, что h(A B) есть h(A) h(B). Если h(A B) = h(A) h(B) и h(A) - тавтологии, то и h(B) - тавтология, следовательно, правило МР сохраняет свойство А иметь в качестве h(A) тавтологию. Таким образом, всякая формула А, выводимая из А1, А2 с помощью МР имеет в качестве h(A) тавтологию. Но
h(( А1 А1) (( А1 А1) А1)) = (А1 А1) (( А1 А1)= А1),
и эта последняя формула не является тавтологией. Следовательно, частный
случай А3 - формула ( А1 А1) (( А1 А1)= А1), не выводима из А1 и А2 с помощью МР. Теорема доказана.
Разрешимость. Дедуктивная теория, в том числе и исчисление высказываний, является разрешимой, если в этой теории понятие теоремы эффективно, т.е. существует правило (метод), позволяющее для произвольной формулы за конечное число действий выяснить, является она теоремой или нет.
Теорема 4.7. Исчисление высказываний (теория L) является разрешимой теорией.
Доказательство. Было доказано, что каждая теорема теории L является тавтологией и (обратно) каждая формула, являющаяся тавтологией, есть теорема. Таким образом, формула А теории L является теоремой тогда и только тогда, когда она является тавтологией. Следовательно, для того, чтобы выяснить, А теорема или нет, достаточно выяснить, А тавтология или нет. Последнее легко определить, например, с помощью таблиц истинности или приведением к к.н.ф. В результате имеем требуемое правило, позволяющее для каждой формулы А за конечное число шагов выяснить, А теорема или нет.
Итак, исчисление высказываний является непротиворечивой, полной в широком и узком смысле, разрешимой и эффективно аксиоматизированной формальной теорией с независимой системой аксиом.
§12. Другие аксиоматизации исчисления высказываний
Впредыдущих параграфах рассматривался пример формальной аксиоматической теории - исчисление высказываний (теория L), которая была задана множеством символов, формул, аксиом и правил вывода. Теперь рассмотрим некоторую формализованную теорию C. Для задания формализованной теории необходимо задать ее символы, формулы (правильно построенные выражения)
ииз множества формул выделить подмножество, элементы которого считаются «истинными» формулами. Пусть формализованная теория C задана так, что 1) алфавиты теорий L и C совпадают, т.е. алфавитом для C является сле-
дующее множество символов: , , ), (, А1, А2, ...;
137
2) множества формул L и C совпадают (ФL=ФC , где ФL(ФC ) - множество формул теории L(C)). Таким образом, формулой в C является всякая пропозициональная форма, построенная из букв А1, А2, ... с помощью связок и ;
3) "истинными" формулами в теории C считаются те и только те формулы теории C, которые являются тавтологиями. Пусть VC обозначает множество "истинных" формул теории C.
В исчислении высказываний было задано ТL - множество теорем (с помощью аксиом А1-А3 и правила вывода МР). При этом теоремами в L оказались те, и только те формулы из L, которые являются тавтологиями. Следовательно, множество теорем формальной теории L совпадает с множеством "истинных" формул формализованной теории C: ТL = VC .
Итак, формальная теория L оказалась построенной таким образом, что ее множество теорем (ТL) в точности совпадает с множеством "истинных" формул (VC ) формализованной теории C.
Из полноты в узком смысле теории L следует, что всякая попытка расширить множество ТL приводит к противоречивой теории, поэтому нельзя к А1А3 добавить недоказуемую из них формулу, не приходя при этом к противоречию. Естественно выяснить, можно ли, взяв другие аксиомы и, может быть, другие правила вывода, получить ТL = VC.
Оказывается, что можно. Например, построим формальную аксиоматическую (дедуктивную) теорию L1, которая отличается от L только тем, что вместо схем аксиом А1-А3 здесь имеются лишь три конкретные аксиомы:
1)А1 ( А2 А1),
2)(А1 ( А2 А3)) (( А1 А2) ( А1 А3)),
3)( А2 А1) (( А2 А1) А2),
но имеется, кроме правила вывода МР (modus ponens), еще одно правило вывода - правило подстановки, разрешающее подстановку любой формулы на места всех вхождений данной пропозициональной буквы в данную формулу. При этом можно показать, что ТL1 = VC =ТL.
Оказывается, можно даже построить формальную аксиоматическую (дедуктивную) теорию L2 с тем же алфавитом и множеством формул, что и L, но всего с одной схемой аксиом
(((A B) ( C D)) E) ((E A) (D A))
и единственным правилом вывода – МР (modus ponens). Здесь тоже ТL2 = VC =ТL. Возможны и другие задания формальных аксиоматических (дедуктивных) теорий так, чтобы ее множество теорем совпадало с множеством VC.
… абстракции отражают природу глубже, вернее, полнее.
В. И. Ленин (Философские тетради)
§ 13. Теории первого порядка
138
Теория первого порядка (теория К) представляет собой формальную аксиоматическую теорию. Следовательно, для ее задания необходимо определить символы, формулы, аксиомы и конечное число правил вывода.
1. Символами всякой теории первого порядка служат:, - пропозициональные связки, (,), , - знаки пунктуации,
х1, х2,... - счетное множество предметных переменных,
а1, a2,... -конечное (возможно и пустое) или счетное множество предметных констант,
Аki (i,k≥0) - непустое, конечное или счетное множество предикатных букв,
fki (i,k≥1) - конечное (возможно и пустое) или счетное множество функциональных букв,
xi , xi (i≥1) - кванторы всеобщности и кванторы существования. Различные теории первого порядка могут отличаться друг от друга составом символов, так, например, в некоторых теориях могут совсем отсутствовать функциональные буквы. Из перечня символов видно, что некоторые из них обязательно принадлежат всем теориям первого порядка.
2.Формулы теории первого порядка определяются точно так же, как определяются формулы в логике предикатов.
3.Аксиомы теории К разбиваются на два класса: логические аксиомы и собственные аксиомы.
Логические аксиомы: каковы бы ни были формулы А, В, C теории К, следующие формулы являются логическими аксиомами теории К:
А1: A (B A);
A2: (A (B C)) ((A B) (A C)); A3: ( B A) (( B A) B);
A4: xi A(xi) A(t),
здесь А(xi) есть формула теории К и t есть терм теории К, свободный для xi в
А(xi);
A5: xi (A B) (A xiB), если формула А не содержит свободных вхож-
дений xi.
Собственные аксиомы. Собственные аксиомы не могут быть сформулированы в общем случае, ибо меняются от теории к теории. В дальнейшем рассмотрим конкретную теорию первого порядка (формальную арифметику), для которой будут сформулированы (перечислены) собственные аксиомы.
4. Правилами вывода во всякой теории первого порядка являются:
1)modus ponens: В является непосредственным следствием А и А B;
2)правило обобщения (Gen): из А следует xi A, точнее xi A является непосредственным следствием из А.
Теория первого порядка, не содержащая собственных аксиом, называется
исчислением предикатов первого порядка и обозначается через К1.
139
Единица есть корень всякого числа, и она находится вне чисел. Корень числа она потому, что через неё определяют всякое число. Вне чисел она потому, что определяется сама по себе, т.е. без какого-либо другого числа. Остальные же числа не могут быть найдены без единицы.
Аль-Хорезми.
§ 14. Формальная арифметика (теория S)
Первое полуаксиоматическое построение арифметики было предложено Дедекиндом (1901), далее усовершенствовано Пеано и известно под названием "система аксиом Пеано". Эта система формулируется следующим образом:
Р1: 0 - есть натуральное число; Р2: для любого натурального числа х существует другое натуральное чис-
ло, обозначаемое х’ и называемое непосредственно следующим за х; Р3: 0≠х’ для любого натурального числа х; Р4: если х’ = у’, то х=у;
Р5: если U есть свойство, которым, быть может, обладают одни и не обладают другие натуральные числа, и если:
1)натуральное число 0 обладает свойством U и
2)для всякого натурального числа х из того, что х обладает свойством U следует, что и натуральное число х’ обладает свойством U,
то свойством U обладают все натуральные числа (принцип математической индукции).
Заметим, что иногда аксиома Р1 формулируется иначе: 1 - есть натуральное число. В этом случае легко видеть, что аксиоматика Пеано развивает идею о том, что единица есть корень всякого числа, см эпиграф.
Этих аксиом вместе с некоторыми фактами теории множеств достаточно для построения арифметики натуральных чисел, а также теории рациональных, вещественных и комплексных чисел. Однако это построение недостаточно строго с наших позиций - не является формальной аксиоматической теорией. Поэтому зададим некоторую формальную аксиоматическую теорию, а именно: некоторую теорию первого порядка, которая оказывается достаточной для вывода всех основных результатов элементарной арифметики.
Формальной арифметикой (теорией S) называем теорию первого поряд-
ка, имеющую:
единственную предикатную букву А21, единственную предметную постоянную a1, три функциональные буквы f11 ,f21, f22,
кроме того, очевидно, ее символами являются , , ), (, , , x1,
x2,..., x1, x2,..., x1, x2,... .
Чтобы использовать привычные для нас записи, обозначим
А21 (t,s) через t=s,
|
140 |
a1 |
- через 0, |
f11 (t) |
- через t’, |
f21(t,s) |
- через t+s, |
f22(t,s)- через t• s (• - понимается как знак умножения).
Как известно, аксиомы каждой теории первого порядка, следовательно, и формальной арифметики, делятся на две группы аксиом: логические аксиомы - аксиомы А1-А5 и собственные аксиомы. Собственными аксиомами формальной арифметики являются следующие формулы:
S1: x1= x2 (( x1= x3) ( x2= x3)); S2: x1= x2 x1‘= x2‘;
S3: 0 ≠ x1‘;
S4: x1‘=x2‘ x1= x2; S5: x1+0= x1;
S6: x1+ x2‘=(x1+ x2)’; S7: x1•0=0;
S8: x1• x2‘=x1• x2+ x1;
S9: A(0) ( x(A(x) A(x’)) xA(x)),
где А(х) - произвольная формула теории S.
Напомним, что правилами вывода любой теории первого порядка являются правила МР и Gen.
Рассмотрим собственные аксиомы теории S и сравним их с аксиомами Пеано.
Заметим, что аксиомы S1 - S8 являются конкретными формулами, в то время как S9 представляет собой схему аксиом, порождающую бесконечное множество аксиом.
Аксиомы S1 и S2 обеспечивают некоторые необходимые свойства равенства, которые Дедекиндом и Пеано предполагались как интуитивно очевидные.
Аксиомы S3 и S4 соответствуют аксиомам Р3 и Р5 системы аксиом Пеано. Аксиомы Р1 и Р2 пеановской системы обеспечивают существование 0 (нуля) и операции "непосредственно следующий", которым в теории S соответствует
предметная константа a1 и функциональная буква f11 .
Аксиомы S5-S8 служат для определения операций сложения и умножения. В аксиоматике Пеано нет аксиом соответствующих S5-S8, потому что Дедекинд и Пеано допускали использование интуитивной теории множеств, в рамках которой существование операций + и • (сложения и умножения) удовлетворяющих аксиомам S5-S8 - выводимо.
Доказывается, что множество формул любой теории первого порядка счетно, поэтому по схеме S9 можем получить лишь счетное множество аксиом. В аксиоме Р5 рассматривается некоторое свойство U, которым, быть может, обладают одни и не обладают другие натуральные числа, т.е. свойством U обладают элементы некоторого подмножества множества натуральных чисел. Известно, что мощность множества всех подмножеств множества натуральных