90

Если в префиксе имеется m кванторов существования, то доказательство проводится аналогично.

Следствие 3.1. Если А противоречие, и Аs=(Q1,…,Qn)’C1&C2&…&Cm

то А ~ C1&C2&,…,&Cm.

Следствие 3.2. Пусть As – стандартная форма формулы A и пусть A противоречие. Тогда As ~A.

Отметим, что если A не является противоречием, то может быть, что A не равносильна As. Например, пусть A= xP(x). Тогда As=P(a). Построим интерпретацию. Пусть область интерпретации M={1,2} . Положим, что a=1, а P(x) обозначает предикат «x - четное число». Тогда As=P(1) обозначает: «1 - четное число». Следовательно, формула As ложна в этой интерпретации. Формула A в этой интерпретации представляет истинное высказывание:x(«x - четное число»). Таким образом, для данной формулы A формулы A и As не равносильны.

§ 9. Унификация

Процесс унификации является основным в формальных преобразованиях, выполняемых при нахождении резольвент (для метода резолюций).

Пусть задано множество дизъюнктов. Каждый дизъюнкт составлен из литералов. Пример. Пусть имеем следующее

множество дизъюнктов:

дизъюнкт дизъюнкт

S = {P(x, f(y), b) P(x, f(a), b), P(c, f(a), b)}

литерал литерал литерал

Термы литерала могут быть переменными, постоянными или выражениями, состоящим из функциональных букв и термов. Например, для литерала P(x, f(y), b) имеем, что х – переменная, f(y) – сложный терм, b - постоянная.

Подстановочный частный случай литерала получается при подстановке в литералы термов вместо переменных. Пусть имеем литерал P(x, f(y), b). Его частными случаями будут:

P1 = P(z, f(w), b), P2 = P(x, f(a), b), P3 = P(g(z), f(a), b),

91

P4 = P(c, f(a), b) – константный частный случай литерала или

атом, т.к. нет переменных.

Подстановки, примененные в рассматриваемом примере, можно обозначить следующим образом:

θ1 = {z/x, w/y}, здесь z подставляется вместо x, а w вместо y;

θ2 = {a/y};

θ3 = {g(z)/x, a/y}; θ4 = {c/x, a/y}.

Применение подстановки θ к литералу Р обозначаем Рθ. Тогда имеем

Если θ – подстановка и она применяется к каждому из литералов Li, то полученные частные случаи обозначаются через {Li}θ.

Последовательное применение двух подстановок θ1 и θ2 дает новую подстановку θ3, которую обозначаем θ3 = θ1 ° θ2.

Множество {Li} литералов называется унифицируемым, если существует такая подстановка θ, что

(L1)θ = (L2)θ = … = (Ln)θ.

В этом случае подстановку θ называют унификатором для {Li}.

Пусть имеем множество литералов {P(x, f(y), b), P(x, f(b), b)}, где L1 = P(x, f(y), b), L2 = P(x, f(b), b). Подстановка θ = {a/x, b/y} является, очевидно,

унификатором для этого множества литералов.

Унификатор σ для множества выражений {E1,E2,…,Ek} называется наиболее общим унификатором тогда и только тогда, когда для каждого унификатора θ для этого множества существует такая подстановка λ, что θ =

σ ° λ..

Существует алгоритм, называемый алгоритмом унификации, который приводит к наиболее общему унификатору для унифицируемого множества литералов {Li} и сообщает о неудаче, если это множество не унифицируемо.

Алгоритм унификации: Алгоритм начинает работу с пустой подстановки и шаг за шагом строит наиболее общий унификатор, если таковой существует. Предположим, что на k-ом шаге получена подстановка θk. Если все литералы из {Li} в результате становятся идентичными, то θ = θk и есть наиболее общий унификатор. В противном случае каждый из литералов в {Li}θk рассматривается как цепочка символов и выделяется

позиция первого символа, в которой не все из литералов имеют одинаковый символ. Рассмотрим пример двух литералов. Стрелками пометим позиции, где появились различные символы (при просмотре слева направо).

{P(a, f(a, g(z)), h(x)), P(a, f(a, u), g(w))}

93

В множестве W1 нет переменной как элемента этого множества. Следовательно, алгоритм унификации завершается, и мы заключаем, что S не унифицируемо.

Насколько я могу судить, это один из тех несложных случаев, которые чрезвычайно трудны (Шерлок Холмс).

А. К. Дойль

§10. Метод резолюций в логике предикатов

Влогике высказываний метод резолюций применялся к множеству дизъюнктов, где дизъюнкты были формулами логики высказываний.

Теперь мы имеем формулы логики предикатов, в которых присутствуют термы (в частности переменные). Отличие метода резолюций в логике предикатов состоит в дополнительной процедуре работы с термами для унификации формул.

Пусть имеем множество литер {Li}. Если для этого множества

существует общий унификатор θ1, например, (L1)θ1 = (L2)θ1 = (L5)θ1, то из этих трех литер достаточно оставить только одну. Если для некоторых оставшихся существует общий унификатор θ2, например, (L3)θ2 = (L4)θ2, то тоже оставляем только одну из них и т.д.

Пример. Пусть D = P(f(x)) P(x) Q(a,f(u)) Q(x,f(b)) Q(z,w), тогда: θ = {a/x, b/u, a/z, f(b)/w}, Dθ= Р(f(а)) Р (а) Q (а ,f(b)), где

Р( f(а)), Р (а), Q(а , f(а)) – факторы.

Если две или более литер (с одинаковым знаком) дизъюнкта D имеют наиболее общий унификатор θ:

(Li)θ = (Lj)θ = (Lk)θ ,

то оставление одного из этих литералов вместо всех них называют склейкой. Пусть имеем два дизъюнкта D1 и D2 и переменные входящие в D1 не входят в D2 и обратно. Если это не так, то переименованием переменных этого можно добиться. Пусть в D1 есть литера, например, L1, а в D2 - литера

L2. Если L1 и L2 имеют наиболее общий унификатор, т. е.

(L1)θ = ( L2)θ ,

то новый дизъюнкт R:

R = ((D1 )θ - (L1)θ ) ((D2 )θ - (L2 )θ )

называется бинарной резольвентой D1 и D2 (в логике предикатов). Литеры L1

и L2 называются отрезаемыми литерами.

Рассмотрим пример. Пусть D1=P(x) Q(x), D2 = P(a) T(x). Переименуем х в D2: D2 = P(a) T(у). Положим, что θ = {x/a}. Тогда имеем

(D1)θ = P(a) Q(a) , (D2)θ = P(a) T(y) ,

Отбрасываем литеры Р (а), Р (а) и получим бинарную резольвенту:

R =Q (а) Т (у).

94

Пусть имеем D1= P(x) Q(x), D2 = Q(x) T(x). Тогда D2 = Q(y) T(y) и R = Р (у) Т (у).

Резольвентой дизъюнктов – посылок D1 и D2 является одна из следующих резольвент:

1)бинарная резольвента D1 и D2,

2)бинарная резольвента D1 и склейки D2,

3)бинарная резольвента D2 и склейки D1,

4)бинарная резольвента склейки D1 и склейки D2.

Применение описанных резольвент к множеству дизъюнктов и называется методом резолюций.

Можно доказать следующую важную теорему.

Теорема 3.10 (полнота метода резолюций). Множество S дизъюнктов невыполнимо тогда и только тогда, когда существует вывод пустого дизъюнкта из S.

Проблема дедукции логики предикатов состоит, как и в логике высказываний, в выяснении будет ли формула В логическим следствием формул А1, А2, …, Аn.

Теоремы 3.1-3.4, доказанные для логики высказываний, можно распространить и для логики предикатов, записывая всюду вместо слова «тавтология» слова «логически общезначимая формула».

Из вышеизложенного можно получить следующую последовательность действий для выяснения будет ли формула В логическим следствием формул

А1, А2, …, Аn.

1. Строим конъюнкцию С = А1&А2& …& Аn.& B. Отметим, что требуемое следствие (заключение) взято с отрицанием.

2. Находим (сколемовскую) стандартную форму Сs для формулы С.

Положим, что форма Сs = (Q1x1Q2x2…Qnxn)’C1&C2&…&Cm, где =(Q1x1Q2x2…Qnxn)’ префикс формулы без кванторов существования, а

C1,C2,…,Cm – дизъюнкты, в которых по необходимости введены сколемовские функции.

3. Для множества дизъюнктов S={C1,C2,…,Cm} применяем метод резолюций.

Формула В будет логическим следствием формул А1, А2, …, Аn тогда и только тогда когда существует вывод пустого дизъюнкта из S.

В мозгах как на мануфактуре, есть ниточки и узелки, Посылка не по той фигуре грозит запутать узелки.

И. Гете (Фауст)