193
Нетрудно убедиться, что эта машина переводит слово
( m,n )=11...1*11...1 в слово 11...1, а последнее слово означает
m+1 n+1 |
m+n+1 |
число m+n, следовательно, эта машина Тьюринга вычисляет функцию х+у. Итак, функция х+у вычислима по Тьюрингу.
Из разнообразия возникает совершенная гармония.
Гераклит
§ 10. Связь между машинами Тьюринга и нормальными алгоритмами
Теорема 6.5. Пусть Т - машина существует нормальный алгоритм B относительно А алгоритму Тьюринга AT,A.
Тьюринга с алфавитом А. Тогда над А, вполне эквивалентный
.
Доказательство. Каждая конкретная машина Тьюринга содержит конечное число команд вида 1)-3) (§ 7). Выпишем сначала для всех команд вида qjSiSkqr (если они есть) машины Т формулы подстановки qjSi→qrSk. При этом порядок этих формул подстановок друг относительно друга не существенен, ибо никакие две команды машины Т не имели совпадающими первые два символа. Далее для каждой команды вида qjSiLqr (если она есть) выпишем всевозможные формулы подстановки вида SlqjSi→qrSlSi, где Sl A, и формулу подстановки qjSi→qrS0Si. Затем для каждой команды вида qjSiRqr (если она есть) выпишем всевозможные формулы подстановки qjSiSl→SiqrSl, где Sl A, и формулу подстановки qjSi→SiqrS0. Наконец, выпишем всевозможные формулы подстановок qi→•Λ, где qi - внутреннее состояние заданной машины Т, и формулу подстановки Λ→q0. Полученная таким образом таблица (схема) формул подстановок определяет некоторый нормальный алгоритм B над А.
Покажем, что полученный нормальный алгоритм B вполне эквивалентен относительно алфавита А алгоритму Тьюринга AT,A , т.е. оба алгоритма одинаковым образом преобразуют любое слово Р алфавита А. Для этого возьмем произвольное слово Р в алфавите А, пусть, например, Р=Sk1,Sk2,...Skm, где Ski A. Машина Тьюринга находится сначала во внутреннем состоянии qΟ и обозревает символ Sk1. Дальнейшие ее действия определены ее командами. Из подстановок алгоритма B к слову Р будет сначала применима только
последняя подстановка, в результате которой получим слово |
|
q0 Sk1,Sk2,...Skm |
(1) |
194
Если среди команд машины Т имеется команда, по которой стирается буква
Sk1 и заменяется, например, буквой Sj(Sj A), т.е. имеется команда q0Sk1Sjqr, то по подстановке q0Sk1→qrSj алгоритм преобразует слово (1) в слово
qr Sj Sk2...Skm.
Если же машина Т не изменяет буквы Sk1, а читающая головка движется,
например, вправо по команде q0Sk1Rqr, то по подстановке q0Sk1Sl→ Sk1qrSl (Sl A) алгоритма B из (1) получим
Sk1qrSk2...Skm.
Ясно, что и любому другому такту машины Т будет соответствовать такое же преобразование слова с помощью алгоритма B, за исключением того, что при преобразовании с помощью B в слове у нас всегда имеется некоторое qi, которого нет на ленте машины. Однако в конце преобразования алгоритм B своей подстановкой qi→•Λ уберет эту лишнюю букву. Итак,
P в А : AT,A(Р) B(Р),
что и требовалось доказать.
Следствие 6.1. Всякая частично вычислимая (вычислимая) по Тьюрингу функция является частично вычислимой (вычислимой) по Маркову функцией.
Доказательство. Пусть функция f(x1,x2,...,xn) вычислима по Тьюрингу и ее вычисляет машина Тьюринга Т с алфавитом А, содержащим 1 и *. Это означает, что для любых натуральных чисел k1,k2,...,kn найдутся такие слова
R1 и R2 (возможно, пустые) в алфавите {S0}, что AT,A ( k1 ,k2 ,...,kn )
=R1 f ( k1 ,k2 ,...,kn ) R2. В силу доказанной теоремы 6.5 существует нормальный
алгоритм B над А, вполне эквивалентный относительно А алгоритму AT,A, т.е. для любых натуральных чисел k1,k2,...,kn имеем:
|
|
AT,A(( |
|
|
|
)) B(( |
|
|
|
)) R1 |
|
R2. |
(2) |
||
|
|
k1 ,k2 ,...,kn |
k1 ,k2 ,...,kn |
f ( k1 ,k2 ,...,kn ) |
|||||||||||
|
|
Для того, чтобы функция была частично вычислимой по Маркову, |
|||||||||||||
нужно, чтобы |
существовал нормальный алгоритм, который |
преобразует |
|||||||||||||
( |
|
|
) |
в |
|
|
. Наш же нормальный алгоритм B преобразует |
||||||||
k1 |
,k2 ,...,kn |
f ( k1 ,k2 ,...,kn ) |
|||||||||||||
( |
|
|
) |
в R1 |
|
R2. Надо как-то изменить алгоритм, чтобы он |
|||||||||
k1 |
,k2 ,...,kn |
f ( k1 ,k2 ,...,kn ) |
|||||||||||||
убирал слова R1 и R2. Пусть B1 - нормальный алгоритм над {1,*,S0}, стирающий все вхождения S0 перед первым вхождением 1 или * во всяком слове в алфавите {1,*,S0}. Такой алгоритм можно задать схемой:
195
α S0 →αα1 →•1 B1 = α→•
α →•ΛΛ→α
Пусть B2 - нормальный алгоритм над {1,*,S0}, который стирает все вхождения S0 после последнего вхождения 1 или * во всяком слове в алфавите {1,*,S0}. Например, B2 можно задать схемой:
α→ αα1 →1α
B2 = αS0 →αα →•Λ
Λ→α
Построим композицию алгоритмов B, B1 и B2: C=B2•B1•B. По доказанной теореме 6.1, алгоритм С является нормальным алгоритмом, как
композиция |
нормальных алгоритмов. Для любых натуральных чисел |
||||||||
k1,k2,...,kn имеем |
|||||||||
B((k1,k2 ,...,kn )) AT, A ((k1,k2 ,...,kn )) R1 |
|
|
|||||||
f (k1,k2 ,...,kn )R2 . |
|||||||||
где R1 и R2 |
- некоторые слова в {S0}. Далее |
||||||||
B1 (R1 |
|
(k1,k2 ,...,kn )R2 )= |
|
|
|
||||
f |
f (k1,k2 ,...,kn )R2 ; |
||||||||
B2 ( |
f (k1 ,k2 ,...,kn )R2 )= |
|
|
||||||
f (k1 ,k2 ,...,kn ). |
|||||||||
Отсюда видно, что f есть частично вычислимая по Маркову функция, ее |
|||||||||
вычисляет нормальный алгоритм C . |
|||||||||
Теорема 6.6. (обратная теореме 6.5).Пусть B- нормальный алгоритм в алфавите А, не содержащем S0 и δ. Тогда существует такая машина Тьюринга
Т, что алгоритм Тьюринга AT,A {Sо,δ} в алфавите A {S0,δ} обладает следующим свойством: для всякого слова Р в А алгоритм AT,A {Sо,δ} применим к Р тогда и
только тогда, когда к Р применим алгоритм B и при этом AT,A {So,δ}(P) имеет |
|||||||
вид S r B(P)Sm , где r и m целые неотрицательные числа, а Sk = S |
0 |
S ...S |
0 |
. |
|||
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
||
|
|
|
14243 |
|
|||
k раз
Согласно сформулированной теореме значения алгоритмов B и AT,A {So,δ} формально различны, так как для машины Тьюринга S0 есть символ пустого квадрата, а в нормальном алгоритме B S0-буква, равноправная с любой другой буквой. Но с точностью до символов S0, которые могут стоять справа и слева от результирующего слова, алгоритмы B и AT,A {So,δ} вполне эквиваленты. Теорему принимаем без доказательства.
196
Следствие 6.2. Всякая частично вычислимая (вычислимая) по Маркову функция частично вычислима (вычислима) по Тьюрингу.
Доказательство следствия сразу получается из теоремы 6.6 и определения вычислимой по Тьюрингу функции.
Из теоремы 6.5 и 6.6 видим, что различные подходы к понятию алгоритмов Тьюринга и Маркова (нормальные алгоритмы) по существу эквивалентны, т.е. то, что можно осуществить с помощью нормального алгоритма, можно осуществить с помощью машины Тьюринга, и наоборот.
Есть еще многоленточные машины Тьюринга и другие модификации (варианты) подхода к понятию алгоритма, такие как машины Поста, машины Минского и др. Однако детальный анализ показывает, что все эти понятия равносильны в том смысле, что то, что можно осуществить (вычислить) с помощью одной из этих машин, можно сделать (вычислить) с помощью машины Тьюринга, а следовательно, и с помощью нормального алгоритма, и наоборот.
«Знаете что, скрипка? Мы ужасно похожи: Я вот тоже ору -
а доказать ничего не умею!» В. Маяковский
§ 11. Основная гипотеза теории алгоритмов (принцип нормализации или тезис Черча)
С целью дать строгое (с некоторых позиций) определение алгоритма были введены понятия нормального алгоритма и алгоритма (машин) Тьюринга. Было выяснено, что оба эти подхода приводят к равносильным понятиям алгоритма, т.е. то, что можно осуществить с помощью одного из этих алгоритмов, можно осуществить с помощью другого, и наоборот. Естественно задаться вопросом: насколько общими являются эти схемы вычислений с помощью нормального алгоритма или алгоритма Тьюринга и насколько эти понятия близки к интуитивному понятию любого алгоритма? На эти вопросы современная теория алгоритмов предлагает ответ в виде следующей гипотезы:
Для всякого алгоритма В в алфавите А существует вполне эквивалентный ему нормальный алгоритм С над А, т.е.
P в А: В(Р) С(Р).
Иначе эта гипотеза формулируется так.
Всякий алгоритм может быть задан посредством некоторой машины Тьюринга и реализован в этой машине.