ТОИИТ / Задания

131

Если один и тот же СП X (t) воздействует на входы цепей с импульсными характеристиками g1(t) и g2 (t) , то для процессов Y1(t) и Y2 (t) на их выходах взаимная корреляционная функция

Учитывая, что динамические свойства стационарного в широком смысле процесса могут быть описаны как корреляционной функцией, так и спектральной плотностью мощности, можно анализ прохождения таких процессов через линейные цепи проводить в частотной области. Так, СПМ процесса Y (t)

Gy (ω)= K ( jω)2 Gx (ω),

где Gx (ω) – СПМ процесса X (t) ; K ( jω) – передаточная функция

цепи.

Целесообразный метод расчёта спектрально-корреляционных характеристик СП в линейной цепи с минимальным числом интегральных преобразований можно выбрать при помощи схемы (графа), показанной на рис. 7.1.

Рис. 7.1

Взаимная СПМ входного и выходного процессов

Gxy (ω)= K ( jω)Gx (ω),

а взаимная СПМ процессов Y1(t) и Y2 (t) на выходах двух цепей, возбуждаемых одним и тем же процессом X (t) ,

133

w(A)= (Aσ2 )exp(− A2σ2 ), A ≥ 0,

а если рассматриваемый процесс есть сумма гармонического сигнала амплитуды Um c гауссовым шумом, то огибающая имеет обобщённую рэлеевскую плотность (плотность Рэлея-Райса)

где I0 ( ) – бесселева функция мнимого аргумента нулевого порядка. При больших отношениях сигнал/шум (ОСШ) q =Um σ распределение Рэлея-Райса сходится к нормальному распределению с математическим ожиданием Um[1+1/(2q2 )] и дисперсией

σ2[1 −1/(2q2 )] .

7.3.ЗАДАЧИ

1.На вход цепи с импульсной характеристикой

g (t )= Kω0 sin ω0t

πω0t

действует шум с АКФ

Kx (τ)= G0ω1 sin ω1τ .

πω1τ

Докажите, что АКФ процесса на выходе цепи

Ky (τ)= G1ω2 sin ω2τ,

πω2τ

где ω2 = min (ω1,ω0 ), а G1 = k2G0 .

2. Транзисторный усилитель с резонансной нагрузкой в виде параллельного контура (Q >>1) имеет АЧХ

135

б) Предложите аналогичную схему для определения АКФ импульсной характеристики цепи Kg (τ).

13. Полосовой фильтр с АЧХ вида

K (ω)= K0 exp − 1 ω−ω0 22 Δω

находится под воздействием белого шума с СПМ N0 2 . Найдите АКФ процесса на выходе.

14. На вход линейной цепи с импульсной характеристикой g (t) действует белый шум с СПМ N0 2 .

Определите в общем виде дисперсию выходного процесса.

15. Линейная стационарная цепь описывается дифференциальным уравнением

an dtd nn η(t )+…+ a1 dtd η(t )+ a0η(t) = = bm dtd mm ξ(t )+…+b1 dtd ξ(t )+ b0ξ(t ),

где ξ(t ) – стационарный процесс с математическим ожиданием mξ . Найдите математическое ожидание mη процесса η(t) .

16. На вход линейной цепи с АЧХ K (ω)=1/ 1+ ω2τ2 воздействует белый шум с СПМ N0 2 .

Найдите вероятность того, что мгновенное значение выходного процесса превысит пороговый уровень С.

17. Процесс Y (t) равен сумме процессов X (t) и его производной X ′(t) .

Найдите автокорреляционную функцию процесса Y (t) , если автокорреляционная функция СП X (t)

Kx (τ)= exp(−α2τ2 ).

18.Определите эффективную ширину спектра и интервал кор-

реляции СП на выходе интегрирующей RC-цепи с постоянной времени τ , если на её вход воздействует белый шум.

19.Найдите произведение эффективной ширины спектра на интервал корреляции для процесса на выходе интегрирующей RC-цепи при воздействии на её вход белого шума. Зависит ли оно

137

ра), при этом αф =1/ τ ; ω0 = 2π/T0 – центральная частота спектра

случайного процесса или радиоцепи.

Требуется:

а) определить спектральную плотность мощности на выходе Gвых( f ) и построить нормированные графики gвх( f ) =Gвх( f )Gmax ,

k2 ( f ) = K 2 ( f )Ko2 и gвых( f ) = Gвых( f )Gmax ;

б) вычислить полосу пропускания цепи и ширину спектра на уровне 0.5 (по формулам и графикам п.“а”);

в) найти шумовую полосу fш линейной цепи и эффективную ширину спектра fэ входного и выходного процессов;

г) рассчитать дисперсию Dвых = σвых2 выходного процесса;

д) определить автокорреляционную функцию на выходе Квых(τ) и построить нормированный график Rвых(τ) = Kвых(τ)Kвых(0) ;

е) вычислить интервал корреляции τк выходного процесса.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

При решении задачи следует воспользоваться теоремой ВинераХинчина и спектральным методом анализа прохождения случайных процессов через линейные цепи. Нахождение преобразований Фурье и определение дисперсии можно проводить с использованием справочного материала (см. прил. П.3 [1]) или теоремы о вычетах.

Для вариантов 0 и 2 значение σвх из табл. 7.2 не используйте, так как в этом случае σвх → ∞ . Для вариантов 5, 6, 8 и 9 следует считать, что αф = α . При построении корреляционной функции на

139

Устройство А представляет собой фильтр, формирующий процесс n′(t ) со спектральной плотностью мощности требуемого вида. В сумматоре этот процесс складывается с детерминированным сигналом S (t) и поступает на фильтр В.

Вид фильтров А и В определяется номером варианта (табл. 5.1 и 5.2), параметры – номером подварианта (табл. 5.3).

корреляции τк шумовой составляющей процесса y(t) ;

д) определить отношение сигнал/шум на выходе фильтра В. При выполнении п. 5 в качестве S (t) следует рассмотреть гар-

монический сигнал с единичной амплитудой и частотой, равной 3/4 эффективной ширины спектра шума на выходе фильтра В.

Теория производит тем большее впечатление, чем проще ее предпосылки. С тех пор, как на теорию относительности навалились математики, я сам перестал ее понимать.

Альберт Эйнштейн

ГЛАВА 8

НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ И ВОЗДЕЙСТВИЕ НА НИХ ГАРМОНИЧЕСКИХ

ИПОЛИГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

8.1.ИЗУЧАЕМЫЕ ВОПРОСЫ

Общие сведения. Задачи и критерии аппроксимации. Аппрок-

симирующие функции. Определение коэффициентов аппроксима-

ции [1, 8.1, 8.2; 2, 11.1].

Спектральный состав выходного колебания в нелинейном элементе при гармоническом воздействии (гармонический анализ). Методы анализа с использованием: классических формул, формул трех и пяти ординат, тригонометрических формул кратных аргументов, функций Бесселя, угла отсечки и функций Берга. Спектральный анализ при бигармоническом и полигармоническом воз-

действии. Комбинационные частоты [2, 11.2, 11.4; 1, 8.3, 8.4; 3, 6.2].

8.2.КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

АППРОКСИМАЦИЯ ХАРАКТЕРИСТИК НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Характеристики нелинейных элементов (НЭ) в большинстве случаев задаются графически (из справочника) или таблично (в ходе эксперимента), поэтому при анализе и расчете схем с НЭ первостепенной стоит задача аппроксимации, т. е. приближенного аналитического представления характеристики НЭ.

Общая задача аппроксимации включает в себя две самостоятельные задачи: