Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

ТОИИТ / Задания

.pdf
Скачиваний:
71
Добавлен:
24.02.2016
Размер:
9.82 Mб
Скачать

41

2.3.2.СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ

23.Вычислите спектр дельта-функции

S(t) (t −τзад) .

Постройте диаграмму спектральной плотности. Запишите одно из определений дельта-функции, используя обратное преобразование Фурье.

24. Вычислите спектр сигналов, не являющихся абсолютно интегрируемыми

S1(t) =Um cos ωнt ; S2 (t) =Um sin ωнt .

Постройте спектральные диаграммы Указание. Воспользуйтесь определением дельта-функции из за-

дачи 23.

25. Получите аналитическое выражение и постройте спектральную

диаграмму

 

S3 ( jω)

 

сигнала постоянного уровня S3 (t) =U0 = const .

 

 

Указание. Воспользуйтесь спектром сигнала S1(t) из задачи 24.

26. Вычислите

 

спектр функции Хевисайда S4 (t) = σ(t) . По-

стройте спектральные диаграммы.

Указание. Представьте σ(t) как сумму сигнала постоянного уровня и двух сигма-функций; воспользуйтесь связью σ(t) и δ(t) .

27. Получите спектр произвольной периодической последовательности

S5 (t) = S(t + nT0 ) , n = 0, ±1, ± 2, ... .

−∞

28. Вычислите спектр и постройте спектральную диаграмму сигнала

S6 (t) = δ(t + nT0 ) , n = 0, ±1, ± 2, ... .

−∞

29. Рассчитайте спектр сигнала, изображенного на рис.2.8. Постройте спектральные диаграммы.

Указание. 1. Преобразуйте сигнал в сумму δ(t) . 2. Воспользуй-

тесь основными теоремами о спектрах (прил. П.4).

30. Вычислите энергетический спектр сигнала рис. 2.8. Постройте диаграмму энергетического спектра. Как изменится спектр и энергетический спектр сигнала:

42 ГЛАВА 2. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СИГНАЛОВ

а) если домножить Um на (–2);

б) если изменить масштаб времени ( t′ = 2t ; t′′ =t / 2 ); в) если инвертировать ось времени ( t = −t );

г) если сместить сигнал во времени на ( ±τи / 2 ); д) если изменить длительность импульса ( τ′и = 2τи ; τ′′и = τи / 2 )?

31. Вычислите эффективную ширину спектра сигнала рис. 2.8 по энергетическому критерию kэ =0.9. Определите μ из соотноше-

ния неопределенности, если τ′и = 2τи ; τ′′и = τи / 2 .

32. Вычислите спектр и постройте спектральную диаграмму радиоимпульса

S7 (t) = e−αt cos ωнt .

33. Вычислите спектральную плотность и постройте спектральные диаграммы S&(ω) и ϕ(ω) экспоненциального импульса:

S(t) = Soe−αt , при t > 0,α > 0 .

34. Вычислите спектральную плотность S&(ω) и постройте график S&(ω) пары экспоненциальных импульсов S(t) , представлен-

ных на рис. 2.9. Штриховой линией на рисунке показан одиночный импульс

Sод(t) = S0e−αt , t > 0,α > 0 .

 

 

 

Воспользуйтесь теоремами о свойствах спектров.

 

S(t)

 

S(t)

 

 

 

 

S0

 

 

 

S0 / 2

 

 

 

 

ф/ 2

t

 

 

 

 

0 ф/ 2

t0

0

t0

t

S0 / 2

 

 

 

 

S0

Рис.2.8

 

 

 

Рис.2.9

 

35. Показанный на рис. 2.10 треугольный импульс определяется выражением:

43

S(t) = S0 (1+ 2t / τ), − τ/ 2 t 0,S0 (12t / τ), 0 t ≤ τ/ 2.

Найдите выражение для спектральной плотности S&(ω) и постройте график S&(ω) .

S(t)

 

S(щ)

 

S0

 

 

 

рS0

 

 

 

 

ф/ 2 0 ф/ 2 t

щ

0

щ

Рис. 2.10

 

Рис. 2.11

 

36. Найдите и изобразите графически S(t) , если спектральная плотность имеет вид (рис. 2.11):

S(ω) = πSoe−βω .

2.3.3. ЭЛЕМЕНТЫ КОРРЕЛЯЦИОННОГО АНАЛИЗА ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ

37. Вычислите АКФ ограниченных во времени сигналов:

S1(t) =Umδ(t) ; S2 (t) =Um[σ(t) − σ(t − τu )] ;

S3 (t) =Um cos(ω0t)[σ(t) − σ(t − τu )] ; ω0 = 2π/ T0 , T0 = τи / 2 .

Постройте графики K(τ).

38. Рассчитайте АКФ периодических сигналов;

S4 (t) =Um cos ω0t ;

S5 (t) =Um [σ(t nT0 ) −σ(t − τи nT0 )] .

−∞

39.Сравните АКФ сигналов S2 (t) и S5 (t) ; S3 (t) и S4 (t) . Поясните различие АКФ периодических и финитных сигналов.

40.Как изменится АКФ сигналов S1(t)...S5 (t) , если вместо τ

взять – τ ?

44ГЛАВА 2. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СИГНАЛОВ

41.Вычислите, используя АКФ, полную энергию сигнала и среднюю мощность сигналов S1(t)KS5 (t) .

42.Рассчитайте энергетический спектр сигналов S1(t)KS5 (t) ,

используя их АКФ.

43. Найдите и изобразите АКФ пары прямоугольных импульсов

(рис. 2.12).

S(t)

S0

0 фи

t0 t0 + фи t

Рис. 2.12

44. Определите и постройте АКФ экспоненциального импульса:

S(t) = S0e−αt при t > 0, α > 0 .

45.По найденному в предыдущей задаче выражению АКФ определите энергетический спектр импульса.

46.Что такое интервал корреляции? Как связан интервал корре-

ляции τk сигнала S2 (t) с шириной первого лепестка энергетического спектра?

47.По условию задачи 44 определите интервал корреляции τk .

48.Вычислите ВКФ и взаимный энергетический спектр сигналов S1(t) и S2 (t) из задачи 37. Поясните разницу между энергети-

ческим спектром и взаимным энергетическим спектром.

49.Определите ВКФ сигналов: u1(t) =U1e−αt и u2 (t) =U2σ(t) .

50.Вычислите свертку сигналов S2 (t) и S1(t) из задачи 37.

Сравните результат с ВКФ этих сигналов.

51. Вычислите ВКФ и взаимный энергетический спектр сигналов

S6 (t) =Um cos ω0t ; S7 (t) =Um sin ω0t .

Определите, при каком временном сдвиге обеспечивается наи-

большее сходство S6 (t) и S7 (t) .

 

 

52. Определите свертку двух сигналов: u (t) =U e−αt

и

1

1

 

u2 (t) =U2σ(t) .

45

2.3.4.ДИСКРЕТИЗАЦИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СИГНАЛОВ

53.Вычислите шаг дискретизации сигналов

S1(t) = sin ω0t , S2 (t) = cos ω0t .

ω0t

Какое количество отсчетов необходимо для дискретизации этих сигналов?

54. Запишите ряд Котельникова для сигналов S1(t) и S2 (t) из задачи 37. Графически восстановите S1(t) и S2 (t) по их разложе-

нию в ряд Котельникова.

55. Вычислите интервал Найквиста для сигнала

S3 (t) =[σ(t + τu / 2) − σ(t − τu / 2)] .

Определите базу сигнала N . Запишите ряд Котельникова. Поясните противоречие, возникающее при расчете N .

56. Разложите сигнал в ряд Котельникова

S4 (t) = e−αt σ(t) .

57. Как выбрать периодповторения T базиснойсистемы функций

ϕк(t) = δ(t kT )

k =−∞

для дискретизации сигналов S1(t)KS4 (t) ?

58. Как выбрать длительность τu прямоугольного импульса, дискретизирующей последовательности

 

 

 

?

ϕk (t) = rect t kT

 

k =−∞

 

τu

 

 

59.Что можно сказать о временном представлении сигнала, спектр которого периодичен по частоте?

60.Вычислите спектр сигналов S1(t)KS4 (t) , дискретизирован-

ных с помощью системы дельта-функций. Изобразите спектральные диаграммы.

61. Вычислите АКФ дискретизированного сигнала S3 (t) (из задачи 37). Определите ωmax , используя энергетический критерий

( kэ = 0.9 ).

46

ГЛАВА 2. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СИГНАЛОВ

2.4. КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ

2.4.1.СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ СИГНАЛОВ

Втабл.1.2 заданы варианты импульсных сигналов S(t) , а в

табл.1.3 – их параметры.

Требуется:

а) определить спектральную плотность S&( f ) сигнала S(t) . Построить спектральные диаграммы модуля S&( f ) и фазы ϕ( f ) , диа-

грамму энергетического спектра S&( f ) 2 ;

б) найти ширину “лепестка” спектра сигнала; для вариантов 1, 3…9 также ширину “лепестка” спектра одиночного импульса, входящего в состав сигнала;

в) вычислить энергию сигнала;

г) рассчитать коэффициенты C&n и A&n комплексного и тригонометрического ряда Фурье для периодического сигнала ST (t) , полученного путем повторения заданного сигнала S(t) с периодом Tn . Построить соответствующие спектральные диаграммы C&n , Φn и

А&n , ϕn .

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

При выполнении первого пункта задания следует иметь в виду, что непосредственное применение прямого преобразования Фурье для некоторых вариантов приводит к сложному и громоздкому интегрированию. Поэтому для получения результата наиболее простым путем целесообразно использовать теоремы о спектрах (см. прил. П.4), например теоремы о спектре суммы и производной сигналов. После n-кратного дифференцирования сигнала, описываемого кусочно-линейными функциями времени, результат выражается с помощью различных комбинаций функций Хевисайда σ(t) и Дирака δ(t) , спектральные плотности которых хо-

рошо известны [1]. Кратность дифференцирования n следует выбирать такой, чтобы не потребовалось дифференцировать функцию δ(t) .

47

При выполнении четвертого пункта следует учесть известную связь между спектральной плотностью одиночного импульса и спектром периодического сигнала (см. формулы (2.10) и (2.5)).

2.4.2. ЭЛЕМЕНТЫ КОРРЕЛЯЦИОННОГО АНАЛИЗА ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ

В табл. 1.2 и 1.3 заданы варианты и подварианты импульсных сигналов S(t).

Требуется:

а) вычислить автокорреляционную функцию (АКФ) и построить график K(τ);

б) рассчитать энергетический спектр импульса S&( f ) 2 с помощью АКФ.

2.4.3.ДИСКРЕТИЗАЦИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СИГНАЛОВ

Втабл.1.2 и 1.3 заданы варианты и подварианты импульсных сигналов S(t).

Требуется:

а) вычислить максимальную частоту fmax в спектре сигнала

(воспользоваться энергетическим критерием); б) определить интервал дискретизации (Найквиста);

в) построить график дискретизированного сигнала, если за дискретизирующую систему функций принята последовательность дельтаимпульсов δ(t);

г) определить спектр S&д( f ) дискретизированного в соответст-

вии с п. “в” сигнала. Построить диаграмму спектральной плотности

S&д( f ) .

Наблюдать, изучать, работать … Истина должна быть главной целью исследований ученого

Майкл Фарадей

ГЛАВА 3

МОДУЛИРОВАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ

3.1.ИЗУЧАЕМЫЕ ВОПРОСЫ

Общие определения. Амплитудно-модулированные колебания (АМК). Временное, спектральное и векторное представления АМК. Мощность АМК. Колебания с угловой модуляцией (УМК). Колебания с частотной и фазовой модуляцией (ЧМК и ФМК). Спектр колебания при гармонической УМК. Спектр радиоимпульса с линейной частотной модуляцией (ЛЧМ). База сигнала [1, 3.13.7; 2,

гл. 4; 3, 3.13.4].

Аналитический сигнал, его временные и спектральные характеристики. Характеристики сопряженного (по Гильберту) колебания. Понятие “комплексной огибающей” узкополосного сигнала и его значение для представления модулированных колебаний. Автокорреляционная функция (АКФ) модулированных колебаний. Особенность АКФ колебания с большой базой (сжатие сигнала). Дискретизация (по Котельникову) узкополосного сигнала [ 3, 3.53.7; 1, 3.83.12; 2, 5.3, 5.4].

Указания. В разделе АМК предложены задачи на модуляцию гармоническими, бигармоническими и полигармоническими сигналами и на распределение мощности в спектре сигнала. В разделе УМК рассмотрены задачи на понятие мгновенной частоты, фазы и базы сигнала, на определение спектра ЧМК и ФМК. Задачи на аналитический сигнал включают вопросы: понятие “комплексной огибающей”, ее спектральной плотности и физической огибающей; спектральные и временные характеристики сигнала; преобразования по Гильберту.

49

3.2.КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Мгновенное значение амплитудно-модулированного колебания

S(t) = A(t) cos(ω0t + θ0 ) .

(3.1)

При модуляции гармоническим сигналом

 

S(t) = Sm[1+ M cos(Ωt + γ)]cos(ω0t + θ0 ) = Sm cos(ω0t + θ0 ) +

 

+Sб cos[(ω0 + Ω)t + θ0 + γ] + Sб cos[(ω0 - Ω)t + θ0 − γ] ,

(3.2)

где Sб = SmM / 2 – амплитуда составляющих верхней ( ω0 + Ω ) и нижней ( ω0 −Ω ) боковых частот. Максимальная и минимальная

амплитуда АМК равны: Smax = Sm (1+ M ) , Smin = Sm (1M ) . Выражение (3.2) удобно для представления АМК в спектраль-

ном и векторном виде.

Коэффициент глубины модуляции, или просто коэффициент модуляции может быть найден по известным временной и спектральной диаграммам соответственно по формулам

M =

Smax Smin

;

M =

2Sб

.

Smax + Smin

 

 

 

 

Sm

Средняя мощность АМК при модуляции гармоническим сигналом (на единичном сопротивлении)

P = Pн(1 + M 2 2) ,

где Pн = Sm2 / 2 – мощность немодулированного (несущего) колебания. Ширина спектра АМК

2 ω = 2Ωmax ,

где Ωmax – максимальное значение частоты модуляции.

Если огибающая A(t) представляет собой импульсное колебание, то практическая ширина спектра АМК будет

2Δωпp = 2Δωэф ,

здесь Δωэф – эффективная (практическая) ширина спектра огибаю-

щей A(t) (см. п.2.2).

50

ГЛАВА 3. МОДУЛИРОВАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ

 

Мгновенное значение колебания с угловой модуляцией

 

 

S(t) = Sm cos ψ(t) .

(3.3)

Если по закону модулирующего сигнала изменяется частота модулированного колебания – это ЧМК, если фаза – то ФМК. Связь между мгновенной угловой частотой и фазой:

 

dψ(t)

 

t

 

ω(t) =

;

ψ(t) = ω(t)dt + θ0 .

(3.4)

dt

 

 

0

 

 

 

 

 

При гармоническом ЧМК мгновенная частота модулированного колебания может быть представлена в виде

ω(t) = ω0 −ωд cos(Ωt) ,

ωд = 2πfд – амплитуда частотного отклонения или девиация час-

тоты.

Мгновенная фаза ЧМК

t

ψ(t) = [ω0 −ωд cos(Ωt)]dt + θ0 = ω0t + msin(ω0t) + θ0 ,

0

где m = ωд/Ω индекс модуляции, т. е. амплитуда фазового отклонения.

Мгновенное значение модулированного колебания

S(t) = Sm cos[ω0t + msin(Ωt) + θ0 ] .

Если по гармоническому закону изменяется мгновенное значение фазы

θ(t) = θmax cos(Ωt) + θ0 ,

то мгновенное значение ФМК

S(t) = Sm cos[ω0t + mcos(Ωt) + θ0 ] .

При ЧМК девиация частоты ωд пропорциональна амплитуде модулирующего колебания и не зависит от частоты Ω, а m = ωд/Ω.

При ФМК величина m пропорциональна амплитуде модулирующего колебания и не зависит от частоты Ω, а девиация частоты

ωд = θmax Ω = m Ω.

Практическая ширина спектра колебания с угловой модуляцией