ТОИИТ / Задания

81

Z (t) = X (t)S(t) ,

где X (t) – эргодический случайный процесс с известными математическим ожиданием mx и дисперсией Dx и корреляционной функцией Kx (τ) , а S(t) – детерминированная функция. Можно ли процесс Z (t) назвать стационарным?

19. Определите математическое ожидание, дисперсию и корреляционную функцию процесса

Z (t) = X (t)S1(t) +Y (t)S2 (t) ,

где X (t) и Y (t) – некоррелированные стационарные случайные процессы с известными математическими ожиданиями mx и my , дисперсиями Dx и Dy и корреляционными функциями Kx (τ) и K y (τ) , а S1(t) и S2 (t) – детерминированные функции времени. Ста-

ционаренлипроцесс Z (t) ?

20. Задан случайный процесс

Z (t) = Asin(ω0t + ϕ) ,

где A и ω0 – положительные постоянные (амплитуда и частота), а ϕ – случайнаявеличина, равномернораспределённаянаотрезке[0, 2π], т. е. w(ϕ) =1/ 2π. Найдите математическое ожидание и дисперсию, а

также классифицируйте процесс попризнакам стационарности.

21. Докажите, что процесс Z (t) , рассмотренный в предыдущей задаче, эргодичен относительно математического ожидания и корреляционной функции. Найдите mz (t) и Kz (τ) усреднением по

времени.

22. Классифицируйте по признакам стационарности и эргодичности процесс

Z (t) = X (t) +Y ,

в котором X(t) – эргодический процесс с известными mx и Dx, а Y – случайная независимая от времени величина с заданными my и

Dy, изменяющаяся от одной реализации к другой.

23. Стационарный случайный процесс X(t) с заданными математическим ожиданием mx, дисперсией Dx и одномерной плотностью вероятности w(x) умножили на константу K, например, пропусти-

ли через широкополосную линейную цепь с коэффициентом передачи K .

Как изменятся указанные параметры случайного процесса?

24.Найдите плотность вероятности, математическое ожидание

идисперсию процесса U (t) вида “телеграфного сигнала”, реализа-

ция которого u(t) показана на рис. 4.7.

Вероятность независимых перемен знаков, иначе “опрокидываний” подчиняется закону Пуассона

PT (n)= (λT )n exp(−λT ),

n!

где λ – среднее число “опрокидываний” в единицу времени, PT (n)

– вероятность того, что за период T произойдёт n “опрокидываний”; при этом P( A) = P(−A) = 0.5 .

u (t )

A

− A

Рис. 4.7

25. Стационарный случайный процесс U (t) имеет функцию распределения F (u) =1 − exp(au) , u > 0, a > 0 .

Определите математическое ожидание, средний квадрат и дисперсию этого процесса.

26.По данным задачи 10 рассчитайте математическое ожидание, средний квадрат и дисперсию прямоугольного, треугольного и пилообразного колебаний со случайной задержкой.

27.Определите математическое ожидание и дисперсию стационарного случайного процесса, имеющего распределение по закону:

а) w(u) = (2 / π)cos2 (au), −π/ 2 < u < π/ 2;

б) w(u) = (1/ 4)ch(bu), −1 < u <1.

Коэффициенты a и b также подлежат определению.

28. Плотность вероятности усечённого нормального процесса U (t) имеет вид

w(u) = 0,5δ(u) + (1/ σu 2π) exp(−u22σu2 ) при 0 < u < ∞.

83

Изобразите примерный вид реализации этого процесса и найдите математическое ожидание, средний квадрат, дисперсию и среднеквадратическое значение случайного напряжения.

4.3.3.ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ. ЭНТРОПИЯ

29.Найдите характеристическую функцию случайной величины X, имеющей плотность вероятности:

а) w(x) =1/(b − a), a < x < b ;

стическая функция θ(ν) , то закону w(x m x0 ) cоответствует характеристическая функция θ(v)exp(± jvx0 ).

31.Используя результаты, полученные в задаче 29, определите математическое ожидание mx случайной величины X .

32.Найдите характеристическую функцию нормального закона

w(x) = (1/ у 2р)exp[ − (x − a)2/2у2 ] .

33.Используя результат предыдущей задачи, найдите первые четыре момента нормального распределения.

34.Решите задачу 13 косвенным методом – на основе характеристических функций.

35.Найдите энтропию равномерного закона распределения вероятностей

w(x) =1/(b − a), a < x < b .

36. Определите энтропию нормального шума U (t) ; плотность вероятности определяется выражением

w(u) = (1/ у 2р)exp[ −(u − m)2/2у2 ] .

37.Используя результат, полученный в задачах 35 и 36, найдите разность энтропии нормального и равномерного законов при одном

итом же среднем квадратическом отклонении σ.

4.3.4.СПЕКТРАЛЬНЫЙ И КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗЫ

38.Определите и изобразите графически СПМ Gx (ω) случайного процесса X (t) по его корреляционной функции Kx (τ) = Dexp(−a τ) .

Рассчитайте эффективную ширину спектра Δωэ и интервал корре-

ляции τb и τk .

39. Найдите и изобразите функцию корреляции Kx (τ) стационарного случайного процесса X (t) со спектральной плотностью мощности Gx (ω) = G0 при −ω1 < ω< ω1 . Определите также интервал корреляции τ0 и τk .

40. Покажите, что корреляционная функция Kx (τ) не изменяется при добавлении к случайному процессу X (t) детерминирован-

ной составляющей a .

41. Заданы корреляционные функции:

а) K (τ) = D /(1+ a2τ2 ) ; б) K (τ) = D exp(−a2τ2 ) ;

в) K (τ) = D[sin(aτ)]/(aτ) .

Изобразите эти функции и рассчитайте интервал корреляции τb , τk (и τ0 для функции “в”), а также эффективную ширину спектра Δωэ .

42. Для стационарного случайного процесса

X (t) = Asin(ω0t + ϕ) ,

где ϕ – случайная величина, определите корреляционную функцию

как усреднением по ансамблю реализаций, так и по одной реализации на большом интервале наблюдения T . Является ли процесс X (t)

эргодическим по отношению к корреляционной функции?

43.Найдите корреляционную функцию K (τ) и спектральную плотность мощности G(ω) “телеграфного сигнала”, заданного в задаче 24 (рис. 4.5). Изобразите графики K (τ) и G(ω) .

44.По результатам предыдущей задачи рассчитайте интервал корреляции τb и τk , а также эффективную ширину спектра Δωэ .

45.Определите корреляционную функцию процесса

N

X (t) = ∑[ An cos(ωnt) + Bn sin(ωnt)],

n=1

где ωn – известные частоты, а вещественные случайные величины An и Bn взаимно не коррелированы, имеют нулевые математиче-

85

4.3.5.УЗКОПОЛОСНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

46.Задан нормальный узкополосный случайный процесс

Дисперсия Dx = σ2x =1 B2 . Найдите вероятность того, что в фиксированный момент времени огибающая A(t) процесса X (t) превы-

сит уровень 2 В.

47. Для процесса вида ( ) выразите математическое ожидание ( mA ) и дисперсию ( DA ) огибающей через его среднеквадратиче-

ское значение ( σx ).

48.Определите, является ли процесс вида (*) эргодическим относительно математического ожидания mx .

49.Выразите корреляционную функцию Kx (τ) процесса вида ( ) через известную функцию корреляции KA (τ) огибающей A(t) ,

приняв ϕ(t) = ϕ0 .

50. Найдите спектральную плотность мощности Gx (ω) узкополосного случайного процесса X (t) , если его корреляционная функция имеет вид

Kx (τ) = σ2xe−ατ cos(ω0τ) .

Изобразите графики Kx (τ) и Gx (ω) .

51. По условию предыдущей задачи найдите и графически изобра-

X (t) , если спектральная плотность мощности равномерна в полосе частот Δω (рис. 4.8).

G0 , −ω0 − Δω 2 < ω< −ω0 + Δω 2, Gx (ω) = G0 , ω0 − Δω 2 < ω< ω0 + Δω 2,

0, при других ω.

Изобразите график Kx (τ) и определите интервал корреляции τ0 огибающей этой функции.

53. Определите эффективную ширину спектра стационарного узкополосного процесса X (t) по его корреляционной функции

Kx (τ) = Dx exp(−α2τ2 ) cos(ω0τ) .

4.4.КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ

4.4.1.ВЕРОЯТНОСТЬ ПРЕВЫШЕНИЯ ЗАДАННОГО УРОВНЯ

На пороговую схему воздействует случайное напряжение, распределенное по нормальному закону

Какова вероятность P срабатывания схемы в фиксированный момент времени (t1), если схема срабатывает (Uвых ="1") всякий раз, когда напряжение на ее выходе превышает пороговое значение Uп .

Параметры m и σ даны в табл. 4.1, а Uп – в табл. 4.2.

МЕТОДИЧЕСКОЕ УКАЗАНИЕ

При решении задачи можно воспользоваться значениями табулированного интеграла вероятности, приведенного в приложении П.7 (см. табл. П.4).

89

процессы, которые соответственно имеют известные математические ожидания mx и my дисперсии Dx = σ2x и Dy = σ2y и автокорреляционные функции Kx (τ) и K y (τ) .