ТОИИТ / Задания

101

На рис. 5.10 показана схема усилителя. Выведите выражения для ПФ, АЧХ и ФЧХ. Постройте качественно графики АЧХ, ФЧХ и АФХ при R1 = R2 = R , C1 = C2 = C и K ( jω) = K0 .

Рис. 5.10

5.3.2.ЦЕПИ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ

17.Докажите, что ПФ цепи, схема которой приведена на рис. 5.11 описывается выражением

Входящий в цепь идеальный ОУ на всех частотах имеет бесконечно большое входное сопротивление и нулевое выходное.

18. Докажите, что цепь, изображённая на рис. 5.12, осуществляет операцию приближённого интегрирования.

Указания. При составлении дифференциального уравнения учтите, что входное сопротивление операционного усилителя бесконечно велико, а коэффициент усиления |K| >> 1.

19. Докажите, что цепь, изображённая на рис. 5.13, осуществляет операцию приближённого дифференцирования.

R

C

–K

Вх Вых

Рис. 5.13

вестно, что: а) K / K = 5% , б) β/ β =1% . Колебания с выхода

цепи ОС подаются на вход прямой цепи в противофазе. При этом

K ( jω) = K =100 , β( jω) =β = 0.1.

21. ЛЦ описывается дифференциальным уравнением 2-го порядка

b2d 2u / dt2 + b1du / dt + b0u = 0 .

Используя фундаментальный критерий, определите, при каких условиях (соотношениях и знаках коэффициентов) данная цепь неустойчива.

22. Устойчива или нет цепь с ОС, описываемая одним из уравнений:

а) d3u / dt3 +500d 2u / dt2 −103 du / dt +106 u = 0 ,

б) d3u / dt3 +500d 2u / dt2 +103 du / dt +106 u = 0 ?

23. Линейная система описывается характеристическим уравнением

2 p3 + 3 p2 + p + 4 = 0 .

Пользуясь критерием Рауса-Гурвица, проверьте, является ли данная система устойчивой.

24. Для схемы, показанной на рис. 5.7, определите в общем виде критическое значение K0 и частоту генерации ω0, при условии, что входная клемма соединена с выходной.

Указания. Учтите, что операционные усилители имеют коэффициент усиления по напряжению K0, т. е. являются неинвертирующими. При замыкании входной и выходной клемм образуется система с обратной связью, у которой β =1 .

25. Определите устойчивость линейной системы, изображённой на рис. 5.8, если входную клемму соединить с выходной.

C

C

R

Вых

Рис. 5.14

103

26.Определите устойчивость линейной системы, изображённой

на рис. 5.8, если K2 (jω) = – K0 и входная клемма соединена с выходной.

27.По данным задачи 15 определите условия самовозбуждения резонансного усилителя (рис. 5.9), если выход 1 соединить с входом.

28.Найдите критическое значение Kо. кр и частоту генерации при замыкании входа и выхода усилителя, схема которого дана на рис. 5.10.

29.Схема ЛЦ приведена на рис. 5.14. Пользуясь критерием Найквиста, исследуйте устойчивость замкнутой системы.

30.Определите в общем виде частоту генерации для схемы, показанной на рис. 5.14, у которой входная клемма соединена с вы-

ходной, при этом K0 = – 1, |K| = 1000.

Указания. При решении задачи учтите, что для первого и третьего каскадов при |K| >> 1 выполняется следующее приближённое соотношение:

K ( jω) −Z2 / Z1 ,

где Z1 =1/( jωC); Z2 = R .

30. Замкнутый контур состоит из трех идентичных усилителей, каждый из которых имеет ПФ

K ( jω) = −K0 /(1 + jωτ) ,

где τ – константа. Исследуйте устойчивость цепи с помощью критерия Найквиста.

5.3.3.ГРЕБЕНЧАТЫЕ ФИЛЬТРЫ

32.ПФ прямой цепи и цепи ОС (рис. 5.3, б) соответственно описываются

33.По данным предыдущей задачи постройте АФХ гребенчатого фильтра.

34.На каких частотах и при каком значении K гребенчатый фильтр, описываемый соотношениями (5.24), неустойчив?

35.Гребенчатый фильтр имеет следующие параметры:

K = 0.9 , τ3 = 20 мкс.

Определите максимальный ( Kmax ) и минимальный ( Kmin ) коэффициенты передачи, расстояние между максимумами ( f1 ) и

ширину зубцов ( 2 f0.7 ).

36. На вход гребенчатого фильтра, описываемого соотношениями (5.24), подается прямоугольный импульс длительностью τu ;

при этом τи << τз .

Изобразите выходной сигнал при циклическом обходе замкнутой системы. Рассчитайте амплитуду выходного импульса после 10-й неискаженной циркуляции при K = 0.99 .

37. Гребенчатый фильтр используется для накопления “пачки” коротких ( τи << τз ) импульсов с амплитудой U и периодом следо-

вания T , равным времени задержки τз фильтра. Пачка начинается

в момент t = 0 .

Полагая, как и прежде, что фильтр описывается соотношениями (5.24), изобразите последовательность выходных импульсов. Докажите, что огибающая “пачки” выходных импульсов нарастает по закону

Uвых (t) =U[1 − e−(1−K )t / τ3 ] .

38.Условие задачи то же, что и 37. Кроме того, на входе действует также широкополосная помеха (“белый” шум в пределах эффективной полосы частот сигнала).

Изобразите спектральную диаграмму входного сигнала, АЧХ фильтра и поясните со спектральной позиции, почему происходит возрастание отношения сигнал/помеха на выходе фильтра.

5.4.КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ

5.4.1.РАСЧЕТ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ЦЕПИ

На рис. 5.15 показана схема активной линейной цепи. В качестве активных элементов использованы идеальные операционные усилители, имеющие на всех частотах постоянный коэффициент усиления K0 = 2 .

Рис. 5.15

интегрирующие и дифференцирующие), второй – воздействие импульсных сигналов на избирательной цепи, третий – прохождение радиосигналов через резонансные цепи.

6.2.КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

При исследовании прохождения сигналов через линейные цепи можно использовать прежде всего известные из курса “Основы теории цепей” методы такие, как классический метод дифференциальных уравнений, метод интеграла наложения (Дюамеля) и спектральный (операторный).

Выбор соответствующего метода зависит от вида (сложности) входного сигнала, структуры цепи и от того, в какой форме (временной или частотной) требуется представить выходной сигнал.

При воздействии простейших сигналов на цепи, описываемые дифференциальными уравнениями не выше второго порядка, исследования можно проводить классическим методом. Для сложных сигналов и сложной структуры цепей следует применять либо метод интеграла наложения, либо спектральный (операторный) метод. Отметим, что спектральный и временной подходы полностью эквивалентны друг другу и базируются на принципе суперпозиции.

В основе метода интеграла наложения лежит импульсная характеристика цепи g(t) :

т. е. сигнал на выходе линейной цепи является сверткой входного сигнала и импульсной характеристики.

В основе спектрального метода исследования линейных цепей лежит использование спектральной плотности Sвх( jω) входного

Связь между сигналами и их спектрами, а также между импульсной и частотной характеристиками цепи определяется парой пре-