Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

ТОИИТ / Задания

.pdf
Скачиваний:
71
Добавлен:
24.02.2016
Размер:
9.82 Mб
Скачать

71

m = jnd nθ(v = 0) / dvn , μ

2

= D = −d 2ψ(v = 0) / dv2

,

 

n

 

 

 

(4.10)

μ3 = − j3d3ψ(0) / dv3 ,

μ4 = j4d 4ψ(0) / dv4 + 3μ22 ,

 

 

 

где ψ(v) = ln[θ(v)] – так называемая кумулянтная функция.

Имеется ещё числовая характеристика законов распределения – так называемая энтропия, выражающая их неопределённость:

 

H = − ln[w(x)]w(x)dx .

(4.11)

−∞

В рамках корреляционной теории (для моментов не выше второго порядка) стационарность процесса определяется в широком смысле. Ограничиваются требованием, чтобы математическое ожидание и дисперсия не зависели от времени, а корреляционная

функция определялась бы только интервалом τ = t2 t1 , т. е.

K(t1, t2 ) = K(τ) .

Для нормальных (гауссовых) процессов понятия стационарности в широком и узком смысле совпадают. Такие процессы исчерпывающим образом описываются указанием математического ожидания и АКФ.

Среди стационарных выделяют так называемые эргодические

процессы. Стационарный в узком смысле процесс называется эрго-

дическим, если любая вероятностная характеристика такого процесса, полученная путём усреднения по ансамблю реализаций, равна временному среднему, полученному усреднением за достаточно большой промежуток времени наблюдения T из одной реализа-

ции. Для случайного процесса, стационарного в широком смысле,

условие эргодичности формулируется относительно математического ожидания, дисперсии и корреляционной функции. Следовательно,

 

 

 

 

 

 

1

T

m =

 

= xw(x)dx = lim

X (t)dt

X (t)

 

 

 

 

 

 

−∞

T →∞ T

0

 

 

 

 

 

 

1

T о

 

μ2

=

X 2 (t)

m2 = lim

X 2 (t)dt2 (t)dt

 

 

 

 

 

 

T →∞ T

0

 

1 T

B(τ) = X (t)X (t − τ) = lim X (t)X (t − τ)dt =

T →∞ T 0

= X (t) ,

(4.12)

о

 

= X 2 (t) ,

(4.13)

X (t) X (t − τ) ,

(4.14)

72

ГЛАВА 4. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

K (τ) = B(τ) m2 .

(4.15)

Прямая черта означает усреднение по ансамблю реализаций, а волнистая черта – усреднение по времени.

Корреляционные функции обладают следующими основными

свойствами:

 

1.

B(τ) = B(−τ)

и K (τ) = K (−τ) , т. е. они чётные.

2.

При

τ = 0

эти функции максимальны: B(0) = m2 ,

K (0) = μ

2

= D = m m2 .

 

 

2

3.

С ростом τ они убывают: B(τ) < B(0) и K (τ) < K (0) .

4.

При τ → ∞ ,

B() = m2 и K () = 0 .

Типичные кривые B(τ) и K (τ) , иллюстрирующие перечислен-

ные свойства, показаны на рис. 4.1, а, б. На рис. 4.1, в дана нормированная корреляционная функция

R(τ) = K (τ) / K (0) ,

(4.16)

обладающая теми же свойствами.

 

 

 

 

 

а

B(τ)

 

 

 

в

R(τ)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ2

= D

 

 

 

1

 

 

 

P = m2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K()= m12

 

 

 

 

β

фв

 

−τ

0

 

τ

−τ

 

0

τ

 

K (τ)

 

г

R(τ)

1

 

б

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D = σ2

 

 

 

−τ

0

τ

−τ

0

фk

τ

Рис. 4.1

5.Рассмотренные функции убывают не обязательно монотонно. Немонотонность имеет место, например, для процесса, содержащего детерминированную периодическую составляющую.

6.Для случайного процесса, не содержащего детерминированных составляющих, можно указать такой временной интервал, на-

73

зываемый интервалом корреляции τк , что при τ > τк значения

X (t) и X (t + τ) практически некоррелированы, т. е. K(τ = τк) 0 . Интервал корреляции определяют либо долей β от R(0) =1, ли-

бо полушириной основания прямоугольника единичной высоты, площадь которого равна площади под кривой R(τ) . В первом слу-

чае для определения τβ (рис. 4.1, в) нужно решить уравнение

R(τβ) = β ,

(4.17)

а во втором для определения τк (рис. 4.1, г) необходимо вычислить интеграл

 

1

 

 

τк =

R(τ)dτ = R(τ)dτ .

 

(4.18)

2

 

 

 

−∞

0

 

 

При колебательном характере изменения

R(τ)

интервал корре-

ляции определяется координатой τ0 прохождения R(τ) через нуль.

Заметим, что равенство

K (τ) или R(τ)

нулю ещё не означает

независимость случайных величин X1 = X (t1) и

X2 = X (t2 ) , в то

время как независимые случайные величины всегда некоррелированы и для них K (τ) = 0 . Однако для нормального случайного про-

цесса отсутствие корреляции равносильно независимости.

7. Автокорреляционная функция K (τ) случайного процесса связана с его спектральной плотностью мощности (СПМ) G(ω) . Эта

связь согласно теореме Винера-Хинчина устанавливается парой преобразований Фурье:

 

 

G(ω) =

K(τ)ejωτdτ=Re 2K(τ)ejωτdτ

=2K(τ)cos(ωτ)dτ, (4.19)

−∞

 

0

 

0

 

1

G(ω)e jωτdω=

1

 

K(τ) =

G(ω)cos(ωτ)dω.

(4.20)

2π

π

 

−∞

 

0

 

 

 

 

 

 

АКФ и СПМ процессов присущи свойства, которые характерны для любой пары функций, связанных преобразованиями Фурье. В частности, чем уже АКФK (τ) , тем шире СПМ G(ω) и, наоборот,

чем шире АКФK (τ) , тем уже СПМ G(ω) .

74

ГЛАВА 4. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Если в качестве меры ширины спектра мощности ввести эф-

фективную (энергетическую) ширину, определяемую основанием равновеликого по площади прямоугольника (на положительной полуоси частот), т. е.

 

1

 

Δωэ =

G(ω)dω,

(4.21)

G(0)

 

 

0

 

то произведение интервала корреляции τk на ширину спектра Дщэ есть величина постоянная

τкΔωэ = π 2 и τк fэ =1/ 4 ,

(4.22)

где fэ = Δωэ / 2π.

 

При суммировании двух случайных процессов, т. е.

 

Z (t) = X (t) +Y (t) ,

(4.23)

обладающих известными характеристиками, автокорреляционная функция суммы

 

 

o

o

 

 

 

o

o

 

o

o

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Kz (t1, t2 ) =

M Z (t1) Z (t2 )

= M X (t1)Y (t1)

X (t2 )Y (t2 )

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

o

 

o

 

+ M

o

o

 

+

 

 

 

 

= M X (t1) X (t2 )

X (t1)Y (t2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

o

 

o

 

+ M

o

o

 

 

 

 

 

 

+M X (t2 )Y (t1)

Y (t1)Y (t2 ) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= Kx (t1, t2 ) + Kxy (t1, t2 ) + K yx (t1, t2 ) + K y (t1, t2 ),

 

(4.24)

т. е. равна

сумме

 

автокорреляционных

функций

Kx (t1, t2 ) ,

K y (t1, t2 ) и так называемых взаимных корреляционных функций

(ВКФ) Kxy (t1, t2 ) и Kyx (t1, t2 ) этих процессов.

Случайные процессы называют стационарно связанными, если ВКФ Kxy (t1, t2 ) и Kyx (t1, t2 ) зависят не от самих аргументов t1 и

t2 , а только от разности τ = t2 t1 . В этом случае

 

Kxy (τ) = Kyx (−τ) .

(4.25)

75

Для статистически независимых процессов Kxy (τ) = Kyx (τ) = 0 ,

и это означает, что процессы не коррелированы. Обратное утверждение в общем случае несправедливо.

Отметим, что ВКФ не обязательно обладает перечисленными свойствами автокорреляционной функции (АКФ).

Одномерный закон распределения суммарного процесса Z(t) в случае статистически независимых процессов X(t) и Y(t) определится как композиция законов распределения слагаемых, т. е. как свертка

 

wz (z) = wx (x)wy (z x)dx = wy ( y)wx (z y)dy ;

(4.26)

−∞

−∞

 

при этом характеристическая функция θz (v) равна произведению характеристических функций исходных процессов, т. е.

 

θz (v) = θx (v)θy (v)

(4.27)

и

 

 

 

 

 

w (z) =

1

[θ (v)θ (v)]ejvz dv .

(4.28)

 

2π

z

 

x

y

 

 

 

 

 

−∞

С помощью характеристических функций удобно также находить плотность вероятности стационарного случайного процесса, подвергнутого функциональному преобразованию. Так если z = f (x) , то

θz (v) = M{exp( jvz)} = M {exp[ jvf (x)]}.

(4.29)

Наконец, отметим некоторые свойства нормального узкополосного процесса, сформированного, например, из белого шума вырезанием узкой полосы частот и представляющего собой квазигармоническое колебание вида

 

 

 

x(t) = A(t)cos[ω0t + ϕ(t)] ,

 

(4.30)

где A(t) и ϕ(t)

– огибающая и начальная фаза – медленные функ-

ции по сравнению с cos(ω0t) .

 

 

 

 

 

Одномерная

плотность

вероятности wA (x) огибающей A(t)

описывается законом Рэлея:

 

 

 

 

 

w

 

(x) = w( A) =

A

 

A

 

< A < ∞,

 

A

 

exp

 

, 0

(4.31)

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σx

 

 

2σx

 

 

 

76

ГЛАВА 4. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

при этом mA = 2 / π и DA = 2σ2x .

Начальная фаза этого процесса распределена равномерно

w(ϕ) =1 (), 0 < ϕ< 2р.

(4.32)

В заключение приведём условную схему (граф) основных характеристик случайного процесса (рис. 4.2.) Каждая из стрелок на схеме указывает на возможность перехода от одной характеристики к другой путём математического преобразования; знак “” означает интегральное преобразование, знак “(.)' “ указывает на производную, ПФ – преобразования Фурье.

wn (x1,., xn ; t1,., tn ) ПФ

w2 (x1, x2 ; t1, t2 ) ПФ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПФ

 

 

 

 

 

K (τ )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПФ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F (x)

 

 

 

 

w (x )

 

 

 

( )'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H

 

mn ,

μn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4.2

θn (ν1,.,νn ; x1,., xn )

θ2 (ν1,ν2 ; x1, x2 )

 

 

 

 

G(ω)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

θ (ν )

( )'

4.3. ЗАДАЧИ

4.3.1. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

1. Случайный процесс X (t) в фиксированный момент времени определяется одномерной плотностью вероятности вида

w(x) = aebx при x > 0.

Установите связь между параметрами a и b.

2. Задан одномерный интегральный закон распределения вероятностей случайного процесса X (t)

= ax2 ,0 < x <1,

F(x)

1, x >1.

77

Найдите значение параметра a , плотность вероятности w(x) , а затем вероятность того, что случайная переменная X будет лежать

в интервале от x1

до

x2 , причём: а) x1 = 0, x2 = 0.5; б) x1 = 0.5,

x2 = 1; в) x1 = 0.4,

x2

= 0.8;

3. Найдите моду и медиану соответствующего одномерного закона распределения вероятностей:

а) Рэлея

w(x) = (x / σ2 )exp( x2/2σ2 ), x>0 ;

б) линейно-экспоненциального

w(x) = x exp(ax), x > 0, a =1 ;

в) нормального

w(x) = (1/ σ 2π)exp[(x a)2 / 2σ2 ] .

4. На пороговую схему (электронное реле) воздействует случайное напряжение, распределённое по рэлеевскому закону

w(u) = (u / σ2 )exp(u2 / 2σ2 ), u > 0 .

Какова вероятность срабатывания схемы в некоторый фиксированный момент времени t1 , если пороговое значение Un = 3 В,

σ= 1 В.

5.Интегральная функция рэлеевского распределения описывается выражением

F(x) =1 exp(x2 / 2σ2 ) .

Определите, начиная с какого значения x0 , F (x) > 0.997.

6. На входе пороговой схемы, рассмотренной в задаче 4, действует случайное напряжение, имеющее нормальный закон распре-

деления вероятностей с параметрами: mu =5 мВ, σu = 0.5 мВ. Пороговое напряжение схемы Un = 5.55 мВ.

Какова вероятность срабатывания схемы в некоторый фиксированный момент времени?

7. Определите и графически изобразите одномерную плотность вероятности w(x) гармонического колебания со случайной начальной фазой, реализация которого имеет вид (рис. 4.3.)

xi (t) = Acos(ω0t + ϕi ), i =1, N ,

78

ГЛАВА 4. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

где A и ω0 – известные и постоянные для всех реализаций амплитуда и частота; ϕi – начальная фаза, случайная величина для различных реализаций, равномерно распределённая на интервале от 0

до 2π, т. е. w(ϕ)

= 1/2π. Круговая частота ω0 = 2πf = 2π/T , где f

и T – частота и период колебаний.

 

 

 

X (t)

x1(t)

xi (t )

xn (t)

 

A

 

 

 

0

T

 

2T

t

0

2π

 

4π

ω0t

 

 

Рис. 4.3

8. По условию предыдущей задачи найдите интегральный закон распределения вероятностей F (x) и определите вероятность того,

что X будет находиться в интервале [A + b, A c] . Проделайте

расчёт для случая, когда b = A/ 2 и с = A/ 2 .

9. По графически заданной функции распределения F (x) стационарного случайного процесса (рис. 4.4) определите плотность

вероятности

w(x) и изобразите примерный вид реализации про-

цесса X (t) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F(x)

 

 

 

F(x)

 

 

F(x)

1.0

 

1.0

 

 

1.0

 

0.5

 

0.5

 

 

0.5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 1 0

1 2 x

2 1 0

1

x

1 0 1 x

Рис. 4.4

10. Определите и графически изобразите одномерную плотность вероятности пилообразного, треугольного и прямоугольного колебаний (рис. 4.5) с амплитудой A , периодом повторения T и слу-

чайной задержкой τi , равномерно распределённой на интервале от

79

0 до Т. Для прямоугольных импульсов скважность q =T / τи при-

нять равной: а) 2; б) 4.

11. Напряжение на выходе пороговой схемы представляет собой случайный процесс U (t) , каждая реализация которого u(t)

(рис. 4.6) является последовательностью прямоугольных импульсов одинаковой амплитуды А и случайной длительности τ . Известно, что P(0) = P( A) = 0.5 .

Найдите и изобразите функцию распределения и плотность вероятности этого случайного процесса.

A

xi (t)

 

A

xi (t)

A

xi (t)

 

t

 

 

 

 

 

 

0

τ

T

τi

T t

τi

τi +τu T

t

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4.5

 

 

u(t)

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

Рис. 4.6

 

 

12. Напряжение на выходе измерительного усилителя представляет собой нормальный стационарный случайный процесс с параметрами: m = 0, σ = 2 В.

Определите вероятность того, что мгновенное значение напряжения: а) находится в пределах от 0 до 2 В; б) превышает 2 В.

13.По заданному двумерному законураспределения вероятностей w2 (x1, x2 ) = (2π 1R2 )1 exp{2σ2 (1R)2 -1

(x1 m)2 2R(x1 m)(x2 m) + (x2 m)2 },

статистически связывающему мгновенные значения X1 и X2 нормального стационарного случайного процесса X (t) в сечениях t1 и t2 , в котором m , σ и R – параметры распределения, найдите двумерный закон в независимых сечениях и одномерный закон в сечении t1 .

80

ГЛАВА 4. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Найдите также вероятность P( X1 > C) = m +3σ , т. е. вероятность превышения случайной величиной X1 порогового уровня

Xn = C = m + 3σ.

14.Определите плотность вероятности wz (z) случайной вели-

чины Z, каждая реализация которой представляет сумму независимых случайных величин X и Y с заданными законами распределения:

а) экспоненциальным

wx (x) = λexp(−λx), x > 0, wy ( y) = λexp(−λy), y > 0;

б) равномерным

wx (x) =1/(b a), a < x < b, wy ( y) =1/(b a), a < y < b;

в) нормальным с параметрами: mx , my , σx , σy .

15. Найдите композицию нормального закона с математическим ожиданием mx, срединным отклонением E = 0.66σx и закона рав-

номерного распределения, заданного на интервале [my l, my +l ].

Определите относительную ошибку, возникающую от замены суммарного закона нормальным, имеющим то же математическое

ожидание и ту же дисперсию. Расчёт произведите для mx = 0, l = E , l = 2E , l = 3E в точке z = 0.

4.3.2. МОМЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ И МОМЕНТЫ. СТАЦИОНАРНЫЕ И ЭРГОДИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ

16. Задан случайный процесс в виде постоянного напряжения случайного уровня X (t) = X =U , изменяющегося от одной реали-

зации к другой. Можно ли процесс X (t) назвать стационарным и

эргодическим?

17. Найдите математическое ожидание, дисперсию и корреляционную функцию процесса

Z (t) = XS(t) ,

где X – случайная величина с известными математическим ожиданием mx и дисперсией Dx = σ2x , а S(t) – детерминированная функция времени. Классифицируйте процесс Z (t) по признакам

стационарности и эргодичности.

18. Найдите математическое ожидание, дисперсию и корреляционную функцию процесса