ТОИИТ / Задания

Φn = ϕn ( n > 0 ); Φn = −ϕn ( n < 0 ).

На рис. 2.1, б приведен пример спектральных диаграмм комплексного ряда Фурье.

способами:

•непосредственно по (2.2) и (2.4);

•с использованием спектральной плотности (2.10).

Для периодических сигналов, а также для сигналов с ограниченной областью определения в качестве энергетической характеристики используется средняя мощность, которую можно вычислить по формулам:

•для временной области

1 T

P = ∫S 2 (t)dt ; (2.6)

T 0

32ГЛАВА 2. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СИГНАЛОВ

•для частотной области

Рис.2.2

Важно! При переходе к спектру мощности теряется информация о фазе спектральных составляющих.

В отличие от периодического сигнала, одиночный импульс, заданный на всей бесконечной оси времени ( T0 → ∞ ), включающей

область определения сигнала ( Tопp ), не может быть записан как ряд

Фурье. Логическим распространением спектральных представлений на одиночные импульсы является интегральное преобразова-

ние.

Прямое преобразование Фурье – это переход от описания сигна-

ла во времени S(t) к описанию в частотной области S&(ω)

−∞

Обратное преобразование Фурье – это восстановление времен-

ной модели сигнала по его спектральной плотности

Таким образом, одиночный импульс, заданный на всей бесконечной оси времени, имеет сплошной спектр в виде непрерывной

функции частоты S&(ω) , которая называется спектральной плотностью. Размерность спектральной плотности [Ампл / Гц].

33

На рис. 2.3 приведен пример спектральных диаграмм модуля (б) и фазы (в) спектральной плотности для одиночного прямоугольного импульса (а).

в

Рис.2.3

Спектральная плотность связана простым соотношением с ком-

∞

плексными амплитудами периодического сигнала ∑S (t + nT0 ) ,

n=0

полученного повторением с периодом T0 одиночного импульса S(t).

Соотношение (2.10) позволяет легко перейти от сплошного спектра одиночного импульса к дискретному спектру периодиче-

ской последовательности импульсов. Расчет С&n по соотношению (2.10) рекомендуется проводить еще и потому, что

•спектральная плотность большинства простейших одиночных импульсов широко представлена [1-3];

•при расчете спектра сложных импульсных последовательностей можно воспользоваться основными теоремами о спектре

(прил. П.4).

Полная энергия одиночного импульса может быть вычислена либо во временной области, либо в частотной в соответствии с равенством Парсеваля:

34 ГЛАВА 2. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СИГНАЛОВ

.

Спектральная диаграмма | S(ω) |2 , как функция частоты, называется

энергетическим спектром одиночного импульса.

Для оценки эффективной (практической или активной) длительности сигнала ( τэф ), имеющего бесконечно протяженную во

времени математическую модель, можно воспользоваться энергетическим критерием:

В частотной области аналогичным способом определяют эффективную ширину спектра сигнала ( ωэф )

Таким образом, эффективная длительностьτэф (и ширина спектраωэф ) – это такой временной (и частотный) интервал, в котором сосредоточена подавляющая часть ( kэ ) полной энергии сигнала.

Обычно kэ = 0.9 (90%) или 0.95 (95 %).

Между эффективной длительностью и шириной спектра простейших видеоимпульсов имеется связь, которая называется соот-

ношением неопределенности для сигналов

где fэф = ωэф / 2π; μ – небольшое число (см. прил. П.5).

Одной из важных временных характеристик детерминированных сигналов, устанавливающих энергетическую связь сигнала S(t) с его сдвинутой на величину τ копией S(t − τ) , является ав-

токорреляционная функция (АКФ). Для сигналов с ограниченной областью определения АКФ вычисляется по формуле

−∞

.

где S(ω) – спектр непрерывного сигнала; ωд = 2π/T = 2ωmax – частота дискретизации, являющаяся “периодом” повторения по частоте.

Для дискретизированного сигнала можно ввести дискретную функцию автокорреляции

k =−∞

где Sk = S (kT ) , n =0, ±1, ±2, … .

2.3.ЗАДАЧИ

2.3.1.ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ

1.Вычислите спектр сигналов S1(t) ÷ S4 (t) , используя триго-

нометрическую форму ряда Фурье. Постройте графики сигналов во времени и соответствующие им спектральные диаграммы в частотной области

S1(t) =U0 +Um cos(ωнt + ϕ0 ) ;

S2 (t) =U0 +Um sin(ωнt + ϕ0 ) ;

S3 (t) =U0 +Um1 cos(ωнt) +Um2 sin(2ωнt) ;

S4 (t) =U0 +Um cos(ωнt) cos(2ωнt) .

2.Рассчитайте спектр сигналов S1(t) ÷ S4 (t) из задачи 1 и по-

стройте спектральные диаграммы, используя комплексную форму ряда Фурье.

3. Изобразите спектры мощности сигналов S1(t) ÷ S4 (t) из зада-

ния задачи 1. Определите среднюю за период мощность, используя временное и спектральное представление сигналов. Сравните результаты.

4. Как изменится спектр сигнала S1(t) из задачи 1, если сигнал

сдвинуть по оси времени на величину τ , - τ ? Как изменится его спектр мощности?

5. Чем отличается спектр сигнала αS1(t) от спектра сигнала

S1(t) , если α =const?

6. Рассчитайте спектр и изобразите спектральную диаграмму сигнала

S (t) = αdS2 (t) / dt ,

где S2 (t) – сигнал из задачи 1.

7. Вычислите спектр и изобразите спектральные диаграммы сигнала

t

S(t)= ∫S1(t)dt , при U0=0, ϕ0=0,

0

где S1(t) – сигнал из задачи 1. 8. Изобразите спектр сигнала

S(t) = S1(βt) ; β = const.

9. Запишите аналитическое выражение математической модели сигнала (рис. 2.4). Определите период сигнала. Вычислите среднюю за период мощность.

Рис.2.4

10. Математическая модель сигнала имеет вид

Изобразите амплитудный спектр и спектр мощности сигнала. Поясните разницу.

11.Выведете выражение для расчета постоянной составляющей

иамплитуды n-й гармоники последовательности однополярных

импульсов S1(t) (рис. 2.5, а).

12. Какие гармоники будут отсутствовать в спектре сигнала S1(t) (рис. 2.5, а), если его скважность ( q =T / τ) равна 10?

39

13. Решите задачу 11 для частного случая, когда сигнал S1(t)

представляет собой периодическую последовательность знакопеременных прямоугольных импульсов S2 (t) (см. рис.2.5, б) с ам-

плитудой Um = S0 / 2 и со скважностью 2 (так называемый меандр).

14. По данным предыдущей задачи запишите ряд Фурье в тригонометрической форме и изобразите сумму первых трех составляющих (с частотами Ω, 2Ω и 3Ω ). Определите относительную

среднеквадратическую ошибку μ (см. (1.10)) такой аппроксима-

ции.

15. Как изменятся спектры амплитуд и фаз меандра (рис. 2.5, б), если S2 (t) переместить: а) по оси ординат вверх на Um ; по оси

абсцисс (времени) вправо на τ/ 2 ?

16. Для периодической последовательности импульсов S1(t)

(рис. 2.5, а), скважность которых равна 2, определите долю мощности, которая заключена в постоянной составляющей и первой гармонике (т. е. в первом “лепестке” огибающей спектра сигнала), от средней за период мощности сигнала. Какова доля мощности сигнала в двух “лепестках” его спектра?

Рис.2.5

17. Найдите постоянную составляющую и амплитуду первой гармоники периодического сигнала S1(t) , изображенного на

рис.2.6, а.

S1(t) = Um cos ω0t , −τ/ 2 ≤ t ≤ τ/ 2 , τ =T / 2 = π/ ω0 .

18. Рассчитайте постоянную составляющую и амплитуду первой гармоники последовательности импульсов S2 (t) , представленной на

рис. 2.6, б и образованной гармоническим колебанием Um cos ωot , ограниченным на уровне Uo :

S2 (t) =Um cos ω0t −U0 , −τ/ 2 ≤ t ≤ τ/ 2 или −θ ≤ ω0t ≤ θ ,

где θ – так называемый угол отсечки, определяемый из соотношения