Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

ТОИИТ / Задания

.pdf
Скачиваний:
71
Добавлен:
24.02.2016
Размер:
9.82 Mб
Скачать

 

21

24. Сигнал u (t) =1t2

, 0 t 1 аппроксимирован линейной

1

 

функцией u2 (t) = at + b . Найдите коэффициенты a и b , потребовав наименьшей метрики d (u1(t),u2 (t)) .

25. Заданы два экспоненциальных видеоимпульса, смещенных на величину t0

u1(t) =Ue−αt σ(t) , u2 (t) =Ue−α(tt0 )σ(t t0 ) .

Найдите зависимость угла ψ1,2 между векторами от параметра t0 .

Найдите значение t0 , при котором ψ1,2 = 89o , т. е. видеоимпульсы

практически ортогональны.

26. Покажите, что комплексные экспоненциальные функции

 

1

 

 

2π

 

 

 

ϕn (t) =

 

exp

j

 

nt

,

n = 0, ±1, ± 2,...

T

T

 

 

 

 

 

 

на интервале T / 2 t T / 2 образуют ортонормированный базис. 27. Докажите, что в вещественном гильбертовом пространстве, содержащем сигналы U и V , справедливо равенство параллело-

грамма:

U +V 2 + U V 2 = 2 U 2 + 2 V 2 .

28. Докажите, что в комплексном гильбертовом пространстве, содержащем сигналы U и V , имеет место тождество

4(U ,V ) = U +V 2 + U V 2 + j U + jV 2 j U jV 2 .

1.3.4.ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ В БАЗИСЕ ФУНКЦИЙ УОЛША

29.Сформируйте с помощью матриц Адамара функции Уолша (ФУ) при базисе: а) N = 4, б) N = 8, в) N = 16. Упорядочите

функции по Адамару и Уолшу.

30. Перемножение двух ФУ дает также ФУ: wal(k, θ) wal(i, θ) = wal(m, θ) .

Определите номер m i = 7 ; б) k =8, i = 5 ; в)

результирующей функции, если: а) k =3, k = 6, i =12 .

31. Дана периодическая последовательность прямоугольных импульсов с амплитудой S0 , длительностью τu и периодом повто-

рения Т

22

ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ

S(t) = So , 0 t ≤ τu .

Определите спектр в базисе ФУ на интервале [0, T] для следующих значений скважности ( q =T / τu ): а) 2; б) 4; в) 8.

32. Сигнал S1(θ) имеет спектр {B1,n} = B0,1,...., B1,n . Чем отличается спектр сигнала S2 (θ) , связанного с сигналом S1(θ) соотноше-

нием: а) S2 (θ) = S0S1(θ) ; б) S2 (θ) = S0 + S1(θ) ; в) S2 (θ) = S0 S1(θ) ? 33. Как изменится спектр меандра ( τu = T / 2 ) при задержке на

τз = τи / 2 ?

34. Один период Т колебания треугольной формы S(θ) = S0θ, при 0 ≤ θ = t / T 1 аппроксимируется пятью членами ряда:

S%(θ) = S20 wal(0, θ) S40 wal(1, θ)

S80 wal(3, θ) 16So wal(7, θ) 32S0 wal(15, θ)

Определите энергию и среднюю мощность колебания S%(θ) (на со-

противлении 1 Ом) и сравните полученные значения с энергией и мощностью исходного колебания S(θ) . Sо =1 В, Т = 1 мс.

35. По данным предыдущей задачи изобразите аппроксимированный (синтезированный) сигнал S%(θ) и определите относительную среднеквадратическую ошибку аппроксимации μ для случаев,

когда S%(θ) содержит: а) два члена ряда ( N = 2), б) три члена ( N = 4), в) четыре члена ( N = 8), г) пять членов ( N = 16). Амплитуду S0 принять равной 32 В.

36.Определите спектр и постройте спектральную диаграмму сигнала S(θ) , приведенного в табл. 1.1, в базисе 4 (8 или 16) ФУ.

37.По результатам предыдущей задачи синтезируйте сигнал на интервале [0,1] и постройте на одном графике исходный S(θ) и

синтезированный S%(θ) сигналы.

38. По данным задач 36 и 37 рассчитайте норму и энергию (при R = 1 Ом) исходного и синтезированного сигналов и определите относительную среднеквадратическую ошибку аппроксимации (синтеза).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 1 . 1

Номер-

 

 

 

Сигнал S (θ)

 

 

вари-

 

График

 

 

 

 

 

 

Аналитическая запись

анта

 

 

 

 

 

 

 

1

S 0

 

 

 

 

S0 ,

0 и1/ 4,

 

 

 

1 .0

 

 

 

 

 

S0,

3/ 4 и1.0

 

0

0 .5

 

и

 

2

S0o/2

 

 

 

S0и,

0 и0.5,

 

 

1.0

 

 

 

 

S0 1),

0.5 и1.0

 

0

0.5

 

θи

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

S0/2

 

 

θи

S0 0.5),

0 и1

 

0

0.5

1.0

 

 

 

 

 

 

 

 

4

S0o

 

 

 

2S0θ,

0 и0.5,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

θ

 

 

 

 

и),

0.5 и1.0

 

0.5

1.0

2S0 (1

 

 

и

 

 

 

 

 

 

5

S0/2

 

 

 

S0 (0.5и2θ), 0 и0.5,

 

0.5

 

 

 

 

 

 

 

 

(2и1.5), 0.5 и1.0

 

0

 

1.0 θи

S0

 

 

 

 

 

 

 

 

6

So

 

 

 

S0 (1 4и),

0 и0.25,

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.25 и0.75,

 

 

 

 

 

0,

 

 

0

0.5

1.0

θи

4S

0

0.75), 0.75 и1.0

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.0

 

Asin(2πθ), 0 ≤ θ ≤1

 

 

 

 

 

0

0.5

 

иθ

 

 

 

 

 

 

8

А

 

 

 

Asin(2πθ),

0 ≤ θ ≤ 0.5,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

θ

 

 

0.5 ≤ θ ≤1.0

 

0

0.5

1.0

0,

 

и

 

 

 

 

 

 

9

А

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

иθ

Acos(2πθ),

0 ≤ θ ≤1

 

0

0.5

1.0

 

 

 

 

 

 

10

А

 

 

 

Acos(2πθ),

0 ≤ θ ≤ 0.25,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0, 0.25 ≤ θ ≤ 0.75,

 

0

0.5

1.0

θи

Acos(2πθ),

0.75 ≤ θ ≤1.0

24

 

 

 

ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ

 

 

 

 

 

 

 

Окончание табл. 1 . 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Номер-

 

 

 

Сигнал S (θ)

вари-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

График

 

 

 

Аналитическая запись

анта

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

S

 

 

 

 

 

4S0 и, 0 и0.25,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

So0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S0 , 0.25 и0.75,

 

0

0.5

1.0

иθ

S0[1 4(и0.75)],0.75 и1.0

12

S0o

 

 

 

S0 (1и), 0 и1.0

 

 

 

 

θ

 

0

0.5

1.0

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

13

S0

 

 

 

0, 0 и0.25,

 

 

 

 

θ

 

 

,

0.25 и1.0

 

0

0.5

1.0

S0

 

и

 

 

 

 

14

SSo0

 

 

 

S0 , 0 и0.25,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,

 

0.25 и0.75,

 

0

0.5

1.0

θ

 

 

,

0.75 и1.0

 

и

S0

15

SSo0

 

 

 

S0 , 0 и0.125,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.25 и0.375,

 

 

 

 

иθ

 

 

 

 

0

0.5

1.0

 

 

 

вне этих интервалов

 

 

 

 

 

0,

 

16

S0

 

 

 

S0 , 0 и1/ 8, 2 / 8 и3/ 8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 / 8 и1/ 0,

 

 

 

 

иθ

 

 

 

 

0

0.5

1.0

0,

 

вне этих интервалов

17

S0

 

 

 

S0 , 0 и1/ 4, 5 / 8 и6 / 8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7 / 8 и1/ 0,

 

 

 

 

θ

 

 

 

 

0

0.5

1.0

 

 

 

вне этих интервалов

 

и

0,

 

18

So

 

 

 

2S0θ, 0 и0.5,

 

 

 

 

 

 

0

0.5

1.0

θ

S

0

,

0.5 и1.0

 

и

 

 

 

19

So

 

 

 

S0 (12и), 0 и0.5,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

θ

 

 

 

0.5 и1.0

 

0

0.5

1.0

0,

 

 

и

 

 

 

 

25

20

So

 

 

 

 

0

0.5

1.0

θ

 

и

S0 , 0 и1/ 8, 3/ 8 и5 / 8

 

 

7 / 8 и1.0,

 

 

 

0,

вне этих интервалов

 

26

ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ

1.4.КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ

1.4.1.МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СИГНАЛА

Втабл. 1.2 и 1.3 заданы варианты и подварианты импульсного сигнала.

Требуется:

Записать математическую модель сигнала S(t) через временные

интервалы и на непрерывной оси времени с помощью комбинаций (суммы и произведений) функций Хевисайда.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 1 . 2

Ва-

 

 

 

 

 

 

 

Сигнал S(t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ва-

 

 

 

 

 

 

 

Сигнал S(t)

 

 

 

 

 

риант

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

риант

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

 

ф/ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ф/ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

ф/ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ф/ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

ф/ 2

 

 

 

U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

ф/ 2

 

 

U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-U

ф/ 2

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

ф/ 2

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ф/ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ф/ 2 t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ф/ 2

 

 

0

 

ф/ 2 t

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

 

ф/ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ф/ 2

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

t

 

 

 

 

ф/ 2

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

ф/ 2

 

t

 

 

 

 

 

 

-U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

ф/ 2

 

 

 

U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

 

ф/ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

ф/ 2 t

 

 

 

 

 

ф/ 2

 

 

0

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

-U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 1 . 3

Подвариант

0

 

 

1

 

 

 

 

 

2

 

3

 

 

 

4

 

5

 

 

6

 

7

 

8

 

 

9

 

 

U, B

10

 

8

 

 

 

 

 

4

 

2

 

 

 

1

 

10

 

 

8

 

4

 

2

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

τ,мс

1

 

 

2

 

 

 

 

 

3

 

4

 

 

 

5

 

5

 

 

4

 

3

 

2

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т, мс

3

 

 

6

 

 

 

 

 

9

 

12

 

15

 

20

 

 

16

 

12

 

8

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27

1.4.2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛА В БАЗИСЕ ФУНКЦИЙ УОЛША

Аппроксимируйте сигнал S(θ) в базисе 8 ФУ wal(n,θ) , n =

0,...,7. Форма сигнала задана в табл.1.4, а параметры приведены в табл.1.5.

Требуется:

а) определить спектр и построить спектральную диаграмму для

заданного θo и θo = 0 ;

б) синтезировать сигнал на интервале [0, 1] и построить на одном графике заданную и аппроксимированную функцию для θo = 0 ;

в) рассчитать норму и энергию (на сопротивлении 1 Ом) исходного и аппроксимированного сигнала;

г) определить относительную среднеквадратическую ошибку аппроксимации.

Таблица 1 . 4

Ва-

 

 

 

 

 

Сигнал S (θ)

риант

 

 

График

 

 

Аналитическая запись

 

 

 

 

 

0

А

 

 

 

 

 

 

0

и0

0.5

1.0

и

Acos[2π(θ−θ0)]

 

 

1

А

и0

 

 

 

 

 

 

 

 

и

Asin[2π(θ −θ0 )]

 

0

 

0.5

1.0

 

 

 

2

S0

 

 

 

 

S0 (θ+1− θ0 ), 0 ≤ θ ≤ θ0,

 

 

 

 

 

 

 

 

0

и0

0.5

1.0

и

S0 (θ− θ0 ), θ0 ≤ θ ≤1.0

 

 

3

S0

 

 

 

 

S0 (θ0 − θ), 0 ≤ θ ≤ θ0,

 

 

 

 

 

 

 

 

0

и0

0.5

1.0

и

S0[1 (θ − θ0 )], θ0 ≤ θ ≤1.0

 

 

4

S0

 

 

 

 

 

2S0 (θ0 − θ), 0 ≤ θ ≤ θ0 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2S0 (θ − θ0 ), θ0 ≤ θ ≤ θ0 + 0.5,

 

0

и

0.5

1.0 и

 

 

 

0.5 + θ0 ≤ θ ≤1.0

 

 

 

0

 

 

 

2S0[1 (θ − θ0 )],

5

S0

 

 

 

 

 

S0 (1 2(θ0 − θ)],

0 ≤ θ ≤ θ0 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S0

(1 2(θ − θ0 )],

θ0 ≤ θ ≤ θ0 + 0.5,

 

0

и

0.5

1.0 и

 

[2(θ − θ0 ) 1],

0.5 + θ0 ≤ θ ≤1.0

 

 

 

0

 

 

 

S0

Окончание табл. 1 . 4

28

 

ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ

 

 

 

 

Ва-

 

Сигнал S (θ)

риант

 

 

 

График

Аналитическая запись

 

6

S0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

0

, θ

0

≤ θ ≤ θ + θ , θ =1/ 4,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 и

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,

 

вне этого интервала

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

и0

0.5

 

 

 

1.0

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

S0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,

 

θ0 ≤ θ ≤ θ0 + θи, θи =1/ 4,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S0

,

вне этого интервала

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

и0

0.5

 

 

 

1.0

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

S0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S0 ,

θ0 ≤ θ ≤ θ0 + θи,

θи =1/8,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S0 , θ0 + 2θu ≤ θ ≤ θ0 + 3θи,

 

 

 

 

0

 

и

0.5

 

 

 

1.0

 

 

и

 

 

 

 

вне этих интервалов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

S0/2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S0 / 2, θ0 ≤ θ ≤ θ0 + θи, θи =1/ 8,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S0 / 2, θ0 + 2θu ≤ θ ≤ θ0 + 3θи,

 

 

 

0

 

 

 

 

 

0.5

 

1.0

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S0

/ 2,

 

вне этих интервалов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 1 . 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подвариант

 

0

1

 

 

2

3

 

 

4

 

5

6

 

7

 

8

9

 

θ0

 

 

 

 

 

 

 

1/16

2/16

 

3/16

4/16

5/16

 

6/16

7/16

 

8/16

 

9/16

10/16

 

А или

 

10

9

 

 

8

7

 

 

6

 

5

4

 

3

 

2

1

 

S0 , В

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О сколько нам открытий чудных Готовят просвещенья дух И опыт, сын ошибок трудных, И гений парадоксов друг …

Александр Пушкин

ГЛАВА 2

СПЕКТРАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СИГНАЛОВ

2.1. ИЗУЧАЕМЫЕ ВОПРОСЫ

Гармонический анализ периодических колебаний. Тригономет-

рическая и комплексная форма ряда Фурье. Спектр периодического колебания. Амплитудные и фазовые спектральные диаграммы. Связь тригонометрических и комплексных коэффициентов ряда Фурье. Энергетические характеристики периодических сигналов. Распределение энергии и мощности в спектре периодического сиг-

нала [1, 2.32.5; 2, 2.1; 3, 1.1, 1.2, 2.1].

Спектральное представление непериодических колебаний. Преобразование Фурье. Спектральная плотность. Связь между спектральной плотностью непериодического колебания и спектральными коэффициентами периодического колебания. Теоремы о спектрах. Энергетические характеристики непериодического колебания. Энергетический спектр. Равенство Парсеваля. Обобщенная формула Релея. Понятие активной (эффективной) длительности и ширины спектра непериодического сигнала; соотношение между

ними [1, 2.62.14; 2, 2.2-2.5; 3, 2.12.6].

Корреляционные функции детерминированных сигналов. Автокорреляционная функция (АКФ). Свойства АКФ, связь с энергетическим спектром сигнала. Взаимная корреляционная функция (ВКФ) и ее связь со взаимным энергетическим спектром [1, 2.18,

2.19; 2, 3.2; 3, 1.3, 2.22.4].

Представление сигналов рядом Котельникова. Теорема Котельникова. Дискретизация непрерывных сигналов. Интервал Найквиста. База сигнала. Спектр дискретизированного сигнала [1, 2.152.17; 3, 2.7; 2, 5.2].

30

ГЛАВА 2. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СИГНАЛОВ

2.2.КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Представление периодического сигнала S (t) = S (t + nT0 ) или сигнала с ограниченной областью определения ( t1 <Tonp < t2 )

обобщенным рядом Фурье (1.13) в базисе основных тригонометрических функций ( sin 2πnt / T ; cos 2πnt / T ) называется гармониче-

ским. Такое представление возможно, если T =T0 или T =Tonp и имеет вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S(t) = a0 + (an cos nω0t + bn sin nω0t) =

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= A0 + An cos(nω0t −ϕn ),

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

где ω0 = 2π/ T ;

n =1,2,3,...;

 

 

 

 

 

 

 

a

=

1

 

T

S(t)dt

;

a

=

 

2

T S(t) cos(nω t)dt ;

T

 

T

0

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

b

=

2

 

T

S(t)sin(nω t)dt ;

(2.2)

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

A

= a

;

A

=

a2 + b2

; ϕ

n

= arctg(b

/ a ) .

o

 

o

 

 

n

 

 

 

n

n

 

 

 

n

n

Совокупность коэффициентов An и ϕn образуeт дискретный

спектр периодического колебания. Изображение коэффициентов в координатах амплитуда – частота и фаза – частота называется со-

ответственно амплитудными и фазовыми спектральными диаграммами или амплитудным и фазовым спектром (рис. 2.1, а).

Кроме тригонометрической формы записи ряда Фурье часто используют комплексную форму. Она соответствует разложению сигнала S(t) в обобщенный ряд Фурье (1.13) по системе ортого-

нальных функций

e jnωot = cos nωot + j sin nωot ; n = 0,±1, ±2,...

и имеет вид

&

jnωot

,

(2.3)

S(t) = Ce

 

n=−∞

где