ТОИИТ / Задания

функцией u2 (t) = at + b . Найдите коэффициенты a и b , потребовав наименьшей метрики d (u1(t),u2 (t)) .

25. Заданы два экспоненциальных видеоимпульса, смещенных на величину t0

u1(t) =Ue−αt σ(t) , u2 (t) =Ue−α(t−t0 )σ(t −t0 ) .

Найдите зависимость угла ψ1,2 между векторами от параметра t0 .

Найдите значение t0 , при котором ψ1,2 = 89o , т. е. видеоимпульсы

практически ортогональны.

26. Покажите, что комплексные экспоненциальные функции

на интервале −T / 2 ≤ t ≤T / 2 образуют ортонормированный базис. 27. Докажите, что в вещественном гильбертовом пространстве, содержащем сигналы U и V , справедливо равенство параллело-

грамма:

U +V 2 + U −V 2 = 2 U 2 + 2 V 2 .

28. Докажите, что в комплексном гильбертовом пространстве, содержащем сигналы U и V , имеет место тождество

4(U ,V ) = U +V 2 + U −V 2 + j U + jV 2 − j U − jV 2 .

1.3.4.ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ В БАЗИСЕ ФУНКЦИЙ УОЛША

29.Сформируйте с помощью матриц Адамара функции Уолша (ФУ) при базисе: а) N = 4, б) N = 8, в) N = 16. Упорядочите

функции по Адамару и Уолшу.

30. Перемножение двух ФУ дает также ФУ: wal(k, θ) wal(i, θ) = wal(m, θ) .

31. Дана периодическая последовательность прямоугольных импульсов с амплитудой S0 , длительностью τu и периодом повто-

рения Т

S(t) = So , 0 ≤ t ≤ τu .

Определите спектр в базисе ФУ на интервале [0, T] для следующих значений скважности ( q =T / τu ): а) 2; б) 4; в) 8.

32. Сигнал S1(θ) имеет спектр {B1,n} = B0,1,...., B1,n . Чем отличается спектр сигнала S2 (θ) , связанного с сигналом S1(θ) соотноше-

нием: а) S2 (θ) = S0S1(θ) ; б) S2 (θ) = S0 + S1(θ) ; в) S2 (θ) = S0 − S1(θ) ? 33. Как изменится спектр меандра ( τu = T / 2 ) при задержке на

τз = τи / 2 ?

34. Один период Т колебания треугольной формы S(θ) = S0θ, при 0 ≤ θ = t / T ≤1 аппроксимируется пятью членами ряда:

S%(θ) = S20 wal(0, θ) − S40 wal(1, θ) −

− S80 wal(3, θ) − 16So wal(7, θ) − 32S0 wal(15, θ)

Определите энергию и среднюю мощность колебания S%(θ) (на со-

противлении 1 Ом) и сравните полученные значения с энергией и мощностью исходного колебания S(θ) . Sо =1 В, Т = 1 мс.

35. По данным предыдущей задачи изобразите аппроксимированный (синтезированный) сигнал S%(θ) и определите относительную среднеквадратическую ошибку аппроксимации μ для случаев,

когда S%(θ) содержит: а) два члена ряда ( N = 2), б) три члена ( N = 4), в) четыре члена ( N = 8), г) пять членов ( N = 16). Амплитуду S0 принять равной 32 В.

36.Определите спектр и постройте спектральную диаграмму сигнала S(θ) , приведенного в табл. 1.1, в базисе 4 (8 или 16) ФУ.

37.По результатам предыдущей задачи синтезируйте сигнал на интервале [0,1] и постройте на одном графике исходный S(θ) и

синтезированный S%(θ) сигналы.

38. По данным задач 36 и 37 рассчитайте норму и энергию (при R = 1 Ом) исходного и синтезированного сигналов и определите относительную среднеквадратическую ошибку аппроксимации (синтеза).

25