ТОИИТ / Задания

Для модуляции с малым индексом модуляции ( m <<1 , т. е. для быстрой угловой модуляции, когда ωд << Ω ) ширина спектра мо-

дулированного колебания близка к значению 2Ω ; для модуляции с большим индексом модуляции ( m >>1, т. е. для медленной угло-

вой модуляции, когда ωд >> Ω ) ширина спектра близка к значе-

нию 2ωд .

В локации нашли широкое применение радиоимпульсы с линейной частотной модуляцией, или ЛЧМ-импульсы. Мгновенная частота изменяется в течение импульса по линейному закону

ω(t) = ω0 +βt ,

где β = 2ωд / τи – скорость изменения частоты во времени, ωд =βτи / 2 – девиация частоты за длительность импульса τи ; при β > 0 частота растет внутри импульса, а при β < 0 – убывает.

Прямоугольный ЛЧМ-импульс можно представить следующей

Произведение полной девиации частоты на длительность импульса

служит основным параметром ЛЧМ-импульса. В п.2.2 аналогичный параметр (см. (2.23)) был назван базой сигнала. Так как fд опреде-

ляет ширину спектра рассматриваемого сигнала, то параметр B можно трактовать как базу ЛЧМ-сигнала. В практически важных случаях B >>1 и модуль спектральной плотности ЛЧМ-импульса с прямоугольной огибающей с хорошим приближением описывается выражением [1]:

53

3.3. ЗАДАЧИ

3.3.1. АМПЛИТУДНО-МОДУЛИРОВАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ

ляции М, а также амплитуду Um несущего колебания.

2.Задано аналитическое выражение двухтонального АМК u(t) =12[1+ 0.6cos(Ωt) + 0.2cos(2Ωt)]cos(ω0t) В.

Найдите наибольшее и наименьшее значения огибающей U (t) данного сигнала.

3. Задано аналитическое выражение однотонального АМК

u(t) = 20[1 + 0.8cos(104 t + π/ 4)]cos(106 t + π/ 3) , В.

Изобразите векторную диаграмму этого АМК для моментов време-

ни t0 = 0 мс и t1 = 0.1 мс.

4. На рис. 3.2 изображена осциллограмма однотонального АМК при M >1, когда имеется явная перемодуляция. Определите коэффи-

циентмодуляции M наосновании известных значений Umax и Umin . 5. Спектральная диаграмма АМК, имеющего две модулирую-

щие частоты F1 = F и F2 = 2F , показана на рис. 3.3.

На основании этой диаграммы определите парциальные коэффициенты модуляции и запишите аналитическое выражение данного колебания.

6. Задано аналитическое выражение для АМК

U (t) =U[1+ 0.5cos(2π 102 t + π/ 6) +

.

+0.5cos(2π 75t + γ)]cos(2π 105 t + π/ 3)

Определите начальную фазу γ, при которой коэффициент модуляции Mн (модуляции вниз) равен единице.

7.Изобразите векторные диаграммы АМК, аналитическое выражение для которого приведено в задаче 6, при г = 600 для следующих моментов времени: t0 = 0 мс и t1 = 2.5 мс.

8.Источник ЭДС с АМ u(t) =U[1+ M cos(Ωt)]cos(ω0t) нагружен

резистивным сопротивлением R .

Получите выражение для составляющих мгновенной мощности

внагрузке на частоте Ω и 2Ω.

9.Радиопередающее устройство с АМ в режиме “молчания”, т. е. при отсутствии модулирующего сигнала, излучает мощность

Pн = 4 кВт.

Найдите пиковое значение мощности Pmax однотонального

АМК, если M = 0.8 .

10. Амплитудно-модулированный ток (мА) i(t) = 200[1+ 0,8cos(4 103 t)]cos(6 106 t)

протекает по резистивной нагрузке R = 75 Ом. Найдите: а) максимальную (пиковую) мощность ( Pmax ) в нагрузке, развиваемую ис-

точником; б) среднюю мощность ( Pcp ) в нагрузке; в) относитель-

ную долю мощности, сосредоточенную в несущем колебании

( Pнес / Pcp ).

11. Спектральная диаграмма напряжения приведена на рис. 3.4. На ее основании определите парциальные коэффициенты модуляции, найдите среднюю мощность, выделяемую на резисторе

R =1 Ом.

Определите, какую долю мощности немодулированного несущего колебания составляет мощность боковых колебаний, если

ω0 =106 рад/с, Ω =103 рад/с.

12. На рис. 3.5 задано АМК в виде периодической последовательности радиоимпульсов с прямоугольной огибающей при сле-

55

дующих данных: τ =1 мкс, T = 2 мкс, f0 =10 МГц и Um =10 В. Найдите и изобразите спектр этого колебания.

13.По условию предыдущей задачи определите выражение для расчета парциальных коэффициентов модуляции Mn .

14.Найдите выражение и постройте АКФ для сигнала, показанного на рис. 3.5. Данные сигнала те же, что и в задаче 12.

15.Оцените ширину полосы частот 2 f , занимаемую теле-

графным радиоканалом, работающим по принципу АМ со скоростью 300 знаков/мин. Для упрощения положите, что передаваемый сигнал является периодической последовательностью точек кода Морзе. Длительность паузы равна длительности передаваемого радиоимпульса (рис. 3.5).

3.3.2.КОЛЕБАНИЯ С УГЛОВОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ

16.Временная диаграмма модулирующего сигнала приведена на рис. 3.6. Изобразите временные диаграммы мгновенной частоты и сдвига фаз при частотной и фазовой модуляции.

Вычислите, в каких пределах должна изменяться мгновенная частота этого колебания [ fmin , fmax ] для того, чтобы индекс модуляции m был равен 40.

56 ГЛАВА 3. МОДУЛИРОВАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ

20. Колебание с угловой модуляцией описывается выражением u(t) =15cos[108 t + 3sin(106 t) +1.4sin(105 t) + π4] .

Найдите величину мгновенной частоты ω(t) данного сигнала в

момент времени t =1 мкс.

21. Однотональный ЧМ-сигнал имеет частоту модуляции F =12 кГц и индекс модуляции m = 25.

Вычислите практическую ширину спектра 2 fnp данного коле-

бания.

22. Задано аналитическое выражение ЧМК

u(t) = 5cos[2π 105 t + 6cos(2π 102 t) + π3] .

Определите девиацию частоты, практическую ширину спектра и число гармонических составляющих в пределах этой ширины.

23. Мгновенная частота ЧМК изменяется по закону (кГц)

f (t) = 5cos(2πFt + π6) .

Модулирующая частота F принимает значения в пределах от

200 Гц до 2,5 кГц.

Определите значение частоты F , при которой в спектре ЧМК будет отсутствовать составляющая с частотой f0 .

24. Вычислите, при каком наибольшем значении модулирующей частоты Fmax в спектре однотонального ЧМ-сигнала, имею-

щего девиацию частоты fд = 40 кГц, будут отсутствовать компоненты на частотах f0 ± Fmax , где f0 – частота несущего колебания.

25. Вычислите спектры ЧМК и ФМК при одинаковых несущих частотах 100 МГц и амплитудах 10 В. При ФМК задан индекс мо-

дуляции m =5, а при ЧМК задана девиация частоты fд = 50 кГц.

Сравнение спектров ЧМК и ФМК проведите для модулирующих частот F1 = 10 кГц и F2 =5 кГц.

26. Частота ФМК изменяется по закону (рад/с)

ω(t) = 2π 106[1+ 0,1cos(2π 104 t)] .

Напишите аналитическое выражение этого колебания, если его амплитуда равна 20 В.

27. Радиостанция, работающая с несущей частотой f0 = 80 МГц, излучает ФМ-сигнал, промодулированный частотой 15 кГц. Индекс

57

модуляции m = 12. Найдите пределы, в которых меняется мгновенная частота сигнала.

Определите практическую ширину спектра ФМ-сигнала.

28. Рассчитайте суммарную мощность спектральных составляющих в пределах практической ширины спектра и сравните со средней мощностью ЧМК (В)

u(t) =10cos[2π 106 t + mcos(2π 103 t + π2)] ,

выделяемой на сопротивлении 1 Ом. Индекс модуляции принимает значения: а) m = 0.5; б) m = 5.

29.Оцените коэффициент паразитной амплитудной модуляции

вколебании, рассмотренном в задаче 25, при m = 0.5 и удержании в спектре только трёх составляющих.

30.Прямоугольный ЛЧМ-импульс длительностью τи = 40 мкс имеет значение базы В = 500.

Определите девиацию частоты fд в данном импульсе.

31. ЛЧМ-импульс с огибающей прямоугольной формы имеет длительность τи = 15 мкс.

Определите базу В данного сигнала и скорость нарастания частоты β, если девиация частоты за время импульса fд = 25 МГц.

32. Частотно-модулированный радиоимпульс с прямоугольной огибающей имеет длительность 1 мс, амплитуду 5 В при изменении мгновенной частоты по закону

ω(t) = ωmin +βt , 0 ≤ t ≤1 ≤ 1 мc,

β = 2π 2 107 рад/с 2 – скорость изменения частоты.

Определите базу этого сигнала и запишите его аналитическое выражение, если начальная фаза колебания π/6.

33. Вычислите величину энергетического спектра U (ω) 2 пря-

34.* Задано аналитическое выражение ЛЧМ радиоимпульса с колокольной огибающей:

u(t) = Ae−α2t2 cos(ω0t +βt2 ) , −∞ < t < ∞ .

Определите энергию и базу этого сигнала при A = 10 В, f0 =1 МГц, α = 10 4 рад/с, β = 10 9 рад/с 2. Постройте зависимость

эффективной ширины спектра от β при заданном α и при изменении β в пределах 0…10 8 рад/с2.

35. Для колебания с амплитудно-фазовой модуляцией, заданного аналитическим выражением

u(t) = 5[1+ 0.8cos(2π103 t)]cos[2π106 t + 0.2cos(2π103 t)] ,

рассчитайте и постройте спектральную диаграмму.

3.3.3.АНАЛИТИЧЕСКИЙ СИГНАЛ

36.Дан сигнал

Найдите комплексную огибающую A&(t) сигнала u(t) и спектральную плотность SA& ( jω) комплексной огибающей.

37. Получите выражения для комплексных огибающих следующих сигналов:

В обоих случаях считайте, что опорная частота равна ω0 . 38. Узкополосный сигнал U (t) имеет вид

U (t )=10cos Ωt cos ω0t + 30sin Ωt + 5sin (2Ωt + π4) sin ω0t .

Найдите выражение для комплексной огибающей A&(t) данного

колебания.

39. Исходный сигнал является радиоимпульсным с прямоугольной огибающей амплитуд:

59

Найдите спектральную плотностьSA& ( jω) комплексной огибающей A&(t) аналитического сигнала U&(t) .

40. Комплексная огибающая A&(t) сигнала U (t) имеет спектральную плотность

SA& ( jω) =100e jπ4 /(103 + jω) .

Найдите сигнал U (t) , имея в виду, что ω0 = 10 6 рад/с.

41. Найдите физическую огибающую A(t) , соответствующую идеальному низкочастотному сигналу U (t) , спектральная плотность которого постоянна и равна S0 в интервале частот −ωb < ω< ωb , а на других частотах обращается в нуль.

42.* Спектральная плотность комплексного представления U&(t) сигнала U (t) равна

S&U& (ω) =103 exp(−103 ω−106 ).

Найдите сигнал U (t) , а также его огибающую A(t) и мгновенную частоту ω(t) . Постройте временную диаграмму U (t) .

43.* Определите комплексную огибающую A&(t) пачки из 10 радиоимпульсов с частотой заполнения ω1 = ω0 + Ωдоп , где Ωдоп – доплеровское приращение частоты, Fдоп =100 Гц. Период повто-

рения импульсов T = 1 мс, амплитуда 10 В. Изменением фазы колебания внутри радиоимпульса можно пренебречь.

44. При настройке фортепьяно настройщик одновременно слушает звучащую струну и камертон.

Определите и постройте огибающую суммарного сигнала в предположении, что оба колебания узкополосные и имеют одинаковые экспоненциальные огибающие, равные максимальные значения, а частоты заполнения отличаются на 2 Гц. Выражение для

огибающей каждого сигнала A(t) = Ae−0.3t .

45. Спектральная плотность сигнала U (t) равна (Вс/рад)

Найдите соответствующий аналитический сигнал U&(t) , а также

сигнал U (t) и сопряженный сигнал € .

U (t)

где U0 , α , ωB – положительные числа. Найдите соответствующий аналитический сигнал U&(t) .

S(ω) = S0e−bω. Найдитесоответствующийаналитическийсигнал U&(t) .

сигнала U&(t) (т. е. сопряженный сигнал) может быть представлена

ческого сигнала U&(t) через спектральную плотность S&(ω) исходного сигнала U (t) .

51. Покажите, что импульсная характеристика квадратурного фильтра имеет вид: