Тема 8. Чисельне диференціювання та інтегрування функцій

8.1. Наближене диференціювання

При розв’язуванні практичних задач часто приходиться знаходити похідну для функцій, заданих таблично. В цьому випадку замінюють одну функцію на деякому відрізкуапроксимуючою або інтерполюючою функцієюі потім вважають, що.

Аналогічно поступають і для знаходження похідних вищого порядку.

Потрібно відмітити, що чисельне диференціювання являє собою операцію менш точну, ніж операції інтерполяції та апроксимації. Дійсно, близькість координат функції тазовсім не гарантують, що дотичні до їх графіків на відрізкубудуть давати таку ж близькість (рисунок 30).

Рисунок 30 - Похибки в обчисленні похідних

Інколи, через складності аналітичного виразу застосування попереднього методу є не ефективним. В цьому випадку застосовують чисельне диференціювання, що базується на першій інтерполяційній формулі Ньютона:

Перемноживши біноми, будемо мати:

Так як (), маємо:

. (8.1)

Якщо ще раз продиференціювати, будемо мати:

, (8.2)

так як .

Якщо похідну потрібно знайти в точках інтерполяції формули (8.1) та (8.2) значно спрощуються

(8.3)

(8.4).

Приклад:

Диференціювання функції на базі

інтерполяційної формули Ньютона

Кубічна апроксимація

З допомогою MathCad:

8.2. Наближене інтегрування функції

В класичній математиці визначений інтеграл неперервної на відрізку функціївизначається по формулі Ньютона-Лейбніца, де– первісна для функції, тобто.

Однак в реальних фахових задачах первісна функція знаходиться з великими труднощами, а часто її взагалі неможливо знайти. Більше того, якщо функція задана таблично, тоді саме поняття первісної взагалі втрачає зміст.

В цих випадках фахівцю на допомогу приходять чисельні методи одержання визначеного інтегралу. Формули, по яким здійснюється знаходження випливають із геометричної інтерпретації інтегралу: значення визначеного інтегралу чисельно дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженою відрізкомна осіОХ, ординатами f(a) та f(b) та графіком функції .

Біда лише в тому, що в геометрії немає точної формули для визначення площі криволінійної трапеції. Тому їх знаходять наближено, як суму площ елементарних фігур, для яких формули знаходження площ відомі. Такі формули називаються квадратурними формулами. Розглянемо деякі з них.

8.2.1. Метод прямокутників

Розіб’ємо діапазон наn рівномірних частин. Тоді величина називається кроком інтегрування.

Рисунок 31 – Формула прямокутників

Тоді кожний прямокутник буде мати площу: . Якщо забрати ліву або праву бічну сторону будемо мати площу з надлишком або з недостачею. Більш того, будемо мати елементарну площу прямокутника наближену до елементарної криволінійної трапеції.

Якщо візьмемо на середині кроку інтегрування. Тоді формула прямокутників одержання визначеного інтегралу буде мати структуру:

(8.5)

8.2.2. Метод трапецій

Замінимо дугу АВ (рисунок 31) графіка підінтегральної функції хордою і визначимо площу елементарної трапеції .

Її площа буде.

Поширюючи цей вираз на всю площу криволінійної трапеції будемо мати:

або в стислому вигляді:

. (8.6)

8.2.3. Метод парабол (Сімпсона)

Розіб’ємо діапазон інтегрування на частин. Тоді через три точки, що являють собою ординати,таможна провести єдину параболу, графік якої практично співпаде з графікомна діапазоні.

Площа такої елементарної параболічної трапеції можна вирахувати за формулою:

Або в більш компактному вигляді:

Приклад:

Значення функції