6.4. Питання для самоконтролю

1. Типи нелінійних рівнянь.

2. Що таке корінь нелінійного рівняння?

3. Геометрична інтерпретація кореня нелінійного рівняння.

4. Два критерії існування відокремленого кореня на інтервалі .

5. Два етапи одержання коренів.

6. Аналітичний метод відокремлення коренів.

7. Режим табулювання функцій.

8. Графічний метод відокремлення коренів.

9. Метод половинного ділення.

10. Критерій виходу із ітераційного процесу.

11. Уточнення коренів методом хорд.

12. Виведення ітераційної формули методу хорд.

13. Уточнення кореня методом дотичних.

14. Виведення ітераційної формули метода Ньютона.

15. Критерії вибору точки застосування методу дотичних.

16. Ітераційний метод уточнення коренів.

17. Умова збіжності ітераційного методу.

18. Що таке коливний ітераційний процес?

19. Що таке монотонний ітераційний процес?

20. Способи запису СНР.

21. Ітераційна формула розв’язку СНР простою ітерацією.

22. Умова збіжності простої ітерації.

23. Виведення ітераційної формули методу Ньютона.

24. Що таке зона збіжності?

25. Що собою являє матриця Якобі?

Тема 7. Інтерполяція і апроксимація функцій заданих таблично

7.1. Постановка задачі

Фахівцю в своїй діяльності часто приходиться мати справу з функціями, що задані таблично. Це дані експерименту, спостережень, складні і громіздкі аналітичні залежності, таблиці автоматизованого проектування тощо. На рисунку 27 в загальному вигляді представлена така функція та її інтерпретація на координатній площині. Аргументи такої функції називаються вузлами інтерполяції.

X	x1	x2	…	xi	…	xn
Y	y1	y2	…	yi	…	yn

Рисунок – 27. Функція в табличному та графічному виглядах

При роботі з такими даними приходиться знаходити значення функції у в точках аргументу х, відмінних від вузлів інтерполяції. Така операція називається інтерполяцією функції. При цьому розрізняють інтерполяцію в вузькому сенсі, якщо , тобто значення функції шукають у внутрішньому діапазоні таблиці, таекстраполяцією, якщо функцію потрібно знайти за межами інтервалу .

В цьому випадку шукану функцію заміняють аналітичною функцією, яка була б деякою мірою близькою доі, разом з тим, просто обчислювалась. Така функція називаєтьсяапроксимуючою (наближеною).

На практиці найчастіше використовують такі види апроксимуючих функцій:

1. Алгебраїчні поліноми степені n . Цей метод має очевидні переваги. Поліноми легко обчислювати, додавати, віднімати, перемножувати, зручно диференціювати та інтегрувати.

2. Тригонометричні ряди виду: . Така апроксимація особливо зручна, коли функціяперіодична.

3. Дробово-раціональні функції . Цей вид функцій найчастіше використовують для апроксимації результатів дослідів, здобутих статистичним способом.

4. Функції довільного вигляду (і т.д.), які б найбільш точно відповідали розміщенню точокна координатній площині.

7.2. Інтерполяційний поліном Лагранжа

Розглянемо апроксимацію функції таким поліномом, графік якого обов’язково проходив би через всі табличні точки (див. рисунок 27). Тобто. Для виведення формули такого полінома розглянемо спочатку допоміжну задачу: побудуємо спочатку поліном такий, щоприта. Ці умови можна записати так

Такий поліном може мати вигляд:

. (7.1)

Якщо і враховуючи, що, маємо:

. Звідси довільний коефіцієнт: . Підставившив (7.1), маємо:

. (7.3)

Дійсно для всіх точок таблиці, за виключенням , цей поліном перетворюється в нуль. І лише прийого чисельник дорівнює знаменнику, тобто.

Тепер перейдемо до розв’язку початкової задачі. В кожній точці таблиці, маємо не 1, а. Тобто значення знайденого полінома (7.3) потрібно помножити на. Отже, шуканий поліном, який називається поліномом Лагранжа і позначається першою літерою його прізвищабуде мати вигляд:

.

Для реалізації в системі MathCad цю формулу можна представити:

.

Приклад використання