6.2. Етапи відокремлення коренів

На цьому етапі для отримання значень відрізків , на яких розміщений єдиний корінь можуть застосовуватися:

1. аналітичні методи;

2. режим табулювання функції ;

3. графічний метод.

6.2.1. Аналітичні методи порівняно просто застосовувати для алгебраїчних рівнянь. Нижню та верхню межу всіх коренів для таких рівнянь можна визначити з допомогою правила кільця:

Нехай

тоді всі корені знаходяться в кільці , де.

Розглянемо правило для рівняння

; ;;.

Таким чином, всі додатні корені даного рівняння знаходяться в діапазоні , а від’ємні в інтервалі.

Для трансцендентних рівнянь аналітичний метод відокремлення коренів має таку послідовність:

1. знаходять область існування коренів;

2. обчислюють і визначають критичні точки;

3. записують інтервали, для яких ;

4. досліджують знаки функції на кінцях інтервалів;

5. виписують відрізки ізоляції коренів.

Наприклад, маємо рівняння :

1. область існування функції: ;

2. 

3. х	0,5	1	1,5
   		0	+

г)

Отже, рівняння має два кореня в інтервалах та.

6.2.2. Аналітичний спосіб отримання меж відокремлення коренів дає досить широкі інтервали . А тому їх в подальшому уточнюють методом табуляціїабо графічним методом.

Табулювання функції полягає в послідовному аналізі зміни знака функції в деякому інтервалі зміни х (найчастіше з постійним кроком). В тих місцях, де функція змінює свій знак, повинен бути корінь. По критерію (6.2) уточнюють його відокремленість.

Застосуємо принцип табуляції для рівняння .

Раніше ми вияснили, що всі корені цього рівняння знаходяться в інтервалі . Табулюємо цей діапазон з кроком:

х	4	3	2	1	0	1	2	3	4
у				+	+			+	+

Отже, маємо один від’ємний корінь в інтервалі та два додатніх в інтервалахта.

Для розглянутого раніше трансцендентного маємо:

х	0,01	0,5	1	…	2	2,5	3	3,5
у	-	+	+	+	+	+	-	-

Тут два кореня в діапазонах та.

6.2.3. Графічний метод відокремлення коренів дає наочне представлення знаходження коренів рівняння. Найчастіше при реалізації цього методу функцію представляють у виглядітаким чином, щоб порівняно легко можна було на координатній площині зобразити графікита. Тоді точка перетину цих графіків буде давати наближене значення кореня. Вибравши ліворуч та праворуч від такої точки перетину точкиa та b, перевіряють знаходження всередині кореня по критерію (6.1) і можна переходити до його уточнення. На рисунку 21 зображені точки перетину графіківтадля першого розглянутого прикладу, таідля другого.

Рисунок 21 – Графічний спосіб відокремлення коренів