- •Міністерство освіти і науки України
- •Ббк 22.1я73
- •Правила оформлення контрольної роботи:
- •Основні питання програми
- •Модуль 1 Системи рівнянь, вектори та аналітична геометрія
- •1.1. Визначники, матриці, розв’язання систем лінійних рівнянь
- •1.2. Елементи векторної алгебри
- •1.3. Пряма на площині
- •1.4. Криві другого порядку
- •1.5. Площина та пряма в просторі
- •Модуль 2 вступ в математичний аналіз
- •2.1. Розкриття невизначеностей, і і іі визначні границі
- •2.2. Диференціальне числення функцій однієї змінної
- •Основні правила диференціювання:
- •2.3. Застосування похідних для дослідження функцій
- •2.4. Похідні в механіці
- •2.5. Диференціальне числення функцій декількох змінних
- •Модуль 3 нЕвизначений і визначений інтеграли
- •3.1. Основні методи інтегрування
- •Основні властивості невизначеного та визначеного інтегралів:
- •3.2. Невласні інтеграли
- •3.3. Застосування визначених інтегралів
- •Модуль 4 диференціальні рівняння
- •4.1. Розв’язання диференціальних рівнянь деяких типів
- •Модуль 5 кратні, криволінійні та поверхневі інтеграли
- •5.1. Подвійні, потрійні інтеграли та їх застосування
- •5.2. Криволінійні інтеграли
- •Модуль 6 числові і степеневі ряди
- •6.1. Числові ряди
- •Ознака Даламбера. Якщо для знакододатного ряду існує
- •6.2. Степеневі ряди
- •Модуль 7 комплексні числа. Елементи теорії функцій комплексної змінної
- •7.1. Комплексні числа
- •7.2. Обчислення значень елементарних функцій
- •Модуль 8. Теорія ймовірностей і елементи математичної статистики
- •8.1. Основні поняття і теореми теорії ймовірностей
- •8.2. Дискретні випадкові величини
- •8.3. Неперервні випадкові величини
- •8.4. Біноміальний та пуассонів закони розподілу
- •8.5. Нормальний, рівномірний та показниковий закони
- •Числові характеристики: , . (8.5.7)
- •8.6. Елементи математичної статистики
- •Контрольна робота № 1 Модуль 1. Системи рівнянь, вектори та аналітична геометрія
- •Модуль 2. Вступ в математичний аналіз
- •Модуль 3. Невизначений і визначений інтеграли
- •Модуль 4. Диференціальні рівняння
- •Контрольна робота № 2 Модуль 5. Кратні, криволінійні та поверхневі інтеграли
- •Модуль 6. Числові і степеневі ряди
- •Література
- •Таблиця значень функції Гаусса
- •Продовження додатка а Таблиця значень функції Гаусса
- •Додаток б Таблиця значень функції Лапласа
- •Продовження додатка б Таблиця значень функції Лапласа
- •Додаток в Значення (розподіл Пуассона)
- •Продовження додатка в Значення (розподіл Пуассона)
2.4. Похідні в механіці
Фізичний зміст похідної – миттєва швидкість
(2.4.1)
нерівномірного руху тіла, де – шлях, пройдений об'єктом за час . Наприклад, якщо- вільне падіння тіла, то. Визначати швидкість доводиться не тільки у випадку механічного руху, а й при зміні довільної фізичної величини протягом часу (наприклад, швидкість хімічної реакції, швидкість нагрівання тіла, швидкість випарування рідини). Крім того, швидкість можна розглядати у більш широкому плані, коли зміна деякої величини відноситься не до одиниці часу, а до одиниці якоїсь іншої величини.
Таким чином, миттєва швидкість визначається як похідна за часом від функції пройденого шляху, а прискорення ‑ як похідна від миттєвої швидкості:
. (2.4.2)
Приклад 2.4.1. Тіло рухається прямолінійно за законом , де‑ час (у секундах),‑ шлях (у метрах). Знайти в момент часу :а) миттєву швидкість, б) прискорення.
Розв’язання. а) Миттєва швидкість ,в момент часу : (м/с).
б) Прискорення ,в момент часу : (м/с2).
Література: [1, с. 139 ‑ 140], [2, с. 152 ‑ 156], [3, с. 305 – 310], [9].
2.5. Диференціальне числення функцій декількох змінних
Градієнт – вектор, що вказує напрям найбільш швидкої зміни скалярного поля. Якщо плоске поле задане функцією , то градієнт, обчислюваний в його точці, має вигляд
. (2.5.1)
У випадку просторового поля , градієнт в точцізапишеться
. (2.5.2)
Похідна за напрямом характеризує зміну скалярного поля в напрямі, заданому певним вектором (або у випадку просторового поля), і є скалярним добутком градієнта і орта:
. (2.5.3)
Для просторового скалярного поля похідна за напрямом обчислюється відповідно за формулою
, (2.5.4)
де .
Градієнт вказує напрям найскорішого зростання функції в заданій точці , а у протилежному до градієнта напрямі функція спадає найшвидше. При цьому:
, . (2.5.5)
Для визначення точок локальних екстремумів заданої функції слід спочатку знайти критичні точки (в яких частинні похідні або не існують, або дорівнюють нулеві (стаціонарні точки)). Екстремуми мають місце лише в тих критичних точках, де виконуються достатня умова існування екстремума:
. (2.5.6)
Якщо при цьому , то екстремум є максимумом;. Якщо при цьому, то екстремум є мінімумом;. У випадкуекстремума досліджувана функція в точціне має. Питання про наявність чи відсутність екстремума в точціу випадкувирішується шляхом подальших досліджень.
Приклад 2.5.1. Для функції знайти: а) похідну функції за напрямом вектора в точці, б) напрям найшвидшого зростання функції в точці, в) найбільше та найменше значення похідних за напрямом в точці, г)локальні екстремуми.
Розв’язання. Знаходимо частинні похідні (при цьому, коли шукаємо, наприклад, похідну по , усі інші змінні вважаються постійними):,. Таким чином, згідно (2.5.1) градієнт.
а) Знаходимо значення градієнта в точці :
.
Довжина вектора напряму згідно (1.2.2): , одиничний вектор напряму :.
Похідна функції за напрямом згідно формули (2.5.3):
.
б) напрям найшвидшого зростання функції в точці співпадає з напрямом градієнта в цій точці .
Довжина градієнта та одиничний вектор напряму найшвидшого зростання функції в точці : ,.
Відповідно у напрямі (протилежному до напряму градієнта) функція найшвидше спадає.
в) Згідно (2.5.5) серед усіх похідних за напрямом найбільшою є похідна за напрямом градієнта:
.
Найменшою ‑ похідна за напрямом, протилежним до напряму градієнта: .
г) Знайдемо критичні точки. ,. Бачимо, що частинні похідні існують для будь-якихііз області визначення функції. Отже, критичні точки є такі, що,. Таким чином, отримали систему, або,, звідки, або. Отже, у функції є дві критичні точки:та.
Перевіримо достатні умови існування екстремума (2.5.6) в кожній з цих точок. Для цого знайдемо частинні похідні другого порядку:
, ,.
Значить, . Таким чином, у точціфункція екстремума не має.
В точці є екстремум, бо. До того ж екстремум є мінімумом, бо. Значить,.
Література: [1, с. 333 ‑ 360], [2, с. 472 ‑ 494], [3, с. 423 – 431], [10].