- •Міністерство освіти і науки України
- •Ббк 22.1я73
- •Правила оформлення контрольної роботи:
- •Основні питання програми
- •Модуль 1 Системи рівнянь, вектори та аналітична геометрія
- •1.1. Визначники, матриці, розв’язання систем лінійних рівнянь
- •1.2. Елементи векторної алгебри
- •1.3. Пряма на площині
- •1.4. Криві другого порядку
- •1.5. Площина та пряма в просторі
- •Модуль 2 вступ в математичний аналіз
- •2.1. Розкриття невизначеностей, і і іі визначні границі
- •2.2. Диференціальне числення функцій однієї змінної
- •Основні правила диференціювання:
- •2.3. Застосування похідних для дослідження функцій
- •2.4. Похідні в механіці
- •2.5. Диференціальне числення функцій декількох змінних
- •Модуль 3 нЕвизначений і визначений інтеграли
- •3.1. Основні методи інтегрування
- •Основні властивості невизначеного та визначеного інтегралів:
- •3.2. Невласні інтеграли
- •3.3. Застосування визначених інтегралів
- •Модуль 4 диференціальні рівняння
- •4.1. Розв’язання диференціальних рівнянь деяких типів
- •Модуль 5 кратні, криволінійні та поверхневі інтеграли
- •5.1. Подвійні, потрійні інтеграли та їх застосування
- •5.2. Криволінійні інтеграли
- •Модуль 6 числові і степеневі ряди
- •6.1. Числові ряди
- •Ознака Даламбера. Якщо для знакододатного ряду існує
- •6.2. Степеневі ряди
- •Модуль 7 комплексні числа. Елементи теорії функцій комплексної змінної
- •7.1. Комплексні числа
- •7.2. Обчислення значень елементарних функцій
- •Модуль 8. Теорія ймовірностей і елементи математичної статистики
- •8.1. Основні поняття і теореми теорії ймовірностей
- •8.2. Дискретні випадкові величини
- •8.3. Неперервні випадкові величини
- •8.4. Біноміальний та пуассонів закони розподілу
- •8.5. Нормальний, рівномірний та показниковий закони
- •Числові характеристики: , . (8.5.7)
- •8.6. Елементи математичної статистики
- •Контрольна робота № 1 Модуль 1. Системи рівнянь, вектори та аналітична геометрія
- •Модуль 2. Вступ в математичний аналіз
- •Модуль 3. Невизначений і визначений інтеграли
- •Модуль 4. Диференціальні рівняння
- •Контрольна робота № 2 Модуль 5. Кратні, криволінійні та поверхневі інтеграли
- •Модуль 6. Числові і степеневі ряди
- •Література
- •Таблиця значень функції Гаусса
- •Продовження додатка а Таблиця значень функції Гаусса
- •Додаток б Таблиця значень функції Лапласа
- •Продовження додатка б Таблиця значень функції Лапласа
- •Додаток в Значення (розподіл Пуассона)
- •Продовження додатка в Значення (розподіл Пуассона)
8.5. Нормальний, рівномірний та показниковий закони
розподілу ймовірностей.
Нормальним називається розподіл імовірностей неперервної випадкової величини, диференціальна функція якої має вигляд: , де параметр– математичне сподівання, параметр– середнє квадратичне відхилення. Графік щільності ймовірності нормального розподілу називаютьнормальною кривою (кривою Гаусса):
Рис. 8.5.1 – Крива Гаусса
Імовірність того, що нормальна випадкова величина прийме значення з інтервалу :
, (8.5.1)
де – функція Лапласа (табульована у додатку Б).
Імовірність того, що відхилення нормально розподіленої випадкової величини від її математичного сподіванняза абсолютною величиною менше заданого додатного числа:
(8.5.2)
Правило “трьох сигм” Практично достовірною є подія, що полягає у тому, що абсолютна величина відхилення нормально розподіленої випадкової величини від її математичного сподівання не перевищує потроєного середнього квадратичного відхилення:
(8.5.3)
Нормальний закон проявляється в усіх тих випадках, коли випадкова величина є результатом дії великого числа різних факторів. Прикладами випадкових величин, що мають нормальний розподіл, можуть бути: відхилення від номінальних розмірів деталей, оброблених на станку, помилки при вимірюваннях, відхилення від цілі при стрільбі і т.д.
Приклад 8.5.1. Вага виробу має нормальний закон з г іг. Знайти ймовірності того, що: а) вага виробу не менша 2990 г і не більша 3005 г; б) вага виробу відхиляється від середнього значенняне більше ніж на 15 г.
Розв’язання. Випадкова величина – вага виробу є нормально розподіленою, тому маємо:
а) за формулою (8.5.1) (,):
.
За таблицею (додаток Б) знаходимо: ,, значить,.
б) при г за формулою (8.5.2):
.
Рівномірним називається розподіл імовірностей неперервної випадкової величини, всі значення якої належать відрізку , а диференціальна функція зберігає стале значення на. Диференціальна та інтегральна функції рівномірного розподілу мають вигляд:
. (8.5.4)
Графіки цих функцій:
Рис. 8.5.2 – Диференціальна функція рівномірного розподілу
Рис. 8.5.3 –Інтегральна функція рівномірного розподілу
Числові характеристики (математичне сподівання, дисперсія):
, . (8.5.5)
Приклад 8.5.2. Потяги метрополітена йдуть строго за розкладом з інтервалом 2 хвилини. Час очікування потягу (пасажиром, який вийшов на платформу) є рівномірно розподіленою випадковою величиною . Знайти: а) диференціальну та інтегральну функції; б),,.
Розв’язання. Випадкова величина – час очікування потягу – рівномірно розподілена на відрізку [0; 2]. Таким чином, у даному випадку,.
а) Диференціальна та інтегральна функції цього рівномірного розподілу згідно (8.5.4) мають вигляд:
, .
б) математичне сподівання, дисперсія та середнє квадратичне відхилення за формулами (8.5.5): ,, та (8.2.14):.
Показниковий розподіл неперервної випадкової величини описується диференціальною та інтегральною функціями:
(8.5.6)
де параметр розподілу .