Числові характеристики: , . (8.5.7)

Імовірність попадання в інтервал :

. (8.5.8)

Нехай – кількість годин, які пропрацював прилад до першої поломки. Функція розподілу випадкової величини, тобтовизначає ймовірність відмови протягом часу. Тоді ймовірність безвідмовної роботи. Функціяназиваєтьсяфункцією надійності. Випадкова величина часто має показниковий розподіл, тобто, тоді, де–інтенсивність відмов, тобто середнє число відмов за одиницю часу.

Приклад 8.5.3. Середня тривалість роботи приладу до першої поломки 100 годин. Випадкова величина – години роботи приладу – має показниковий розподіл. Знайти: а),,; б)  ймовірність того, що прилад пропрацює від 40 до 190 годин; в)  ймовірность того, що прилад пропрацює менше 50 годин.

Розв’язання. а)  За умовою задачі маємо (годин), отже згідно (8.5.7), тобто. Значить, за формулами (8.5.7):, та (8.2.6):.

б) Ймовірність того, що прилад пропрацює від 40 до 190 годин за формулою (8.5.8):

.

в) Ймовірність, що прилад пропрацює менше 50 годин згідно (8.5.8): .

Зауважимо, що приклад  8.5.1 відповідає завданню  8.5 контрольної роботи.

Література: [1, с. 530 ‑ 535], [4, с. 565 – 575], [16], [18], [20].

8.6. Елементи математичної статистики

Задача математичної статистики полягає в створенні методів збору й обробки статистичних даних для одержання наукових і практичних висновків. Вся сукупність об'єктів, що підлягає вивченню, називається генеральною сукупністю, а частина об'єктів генеральної сукупності, що використовується для дослідження, – вибірковою сукупністю або вибіркою. Число елементів вибірки називається її об'ємом. Вибірковий метод полягає в тому, що з генеральної сукупності береться вибірка об'єму n і визначаються характеристики вибірки, які приймаються як наближені значення відповідних характеристик генеральної сукупності.

Різні за значенням елементи вибірки називаються варіантами. Якщо у вибірці об'єму варіантазустрічаєтьсяраз, то число називається частотою цієї варіанти, а ‑ відносною частотою (частістю). При цьому

, , (8.6.1)

де k – кількість варіант. Ряд варіант, розташованих у порядку зростання їхніх значень, з відповідними їм частотами, називається варіаційним (статистичним) рядом.

Варіаційний ряд можна представити у вигляді таблиці розподілу частот:

xi	x1	x2	…
ni	n1	n2	…	nk

Графічне зображення ряду розподілу (полігон, гистограмма, кумулятивна крива) дозволяє найбільше просто, наочно відбити основну тенденцію варіації ознаки. Полігоном частот називається ламана, відрізки якої з'єднують точки з координатами , аполігоном відносних частот – ламана, відрізки якої з'єднують точки з координатами .

Емпіричною функцією розподілу називається функція , що визначає для кожного значеннявідносну частоту події, тобто

, (8.6.2)

де – число елементів вибірки, менших ,– об'єм вибірки.

Варіаційний ряд містить досить повну інформацію про досліджувану ознаку. Однак велика кількість числових даних, за допомогою яких він задається, ускладнює його використання. На практиці часто виявляється достатнім знання лише зведених числових характеристик варіаційних рядів: характеристик рівня (середня арифметична, мода, медіана), характеристик розсіювання або варіації (дисперсія, середнє квадратическое відхилення, коефіцієнт варіації); характеристик міри скошеності (коефіцієнт асиметрії) і гостровершинності (ексцес).

Середні величини характеризують значення ознаки, навколо якого концентруються спостереження, тобто центральну тенденцію розподілу. Середнє арифметичне (вибіркове середнє) варіаційного ряду:

. (8.6.3)

Якщо вибірка представлена інтервалами і частотами попадання величини в ці інтервали, то для обчислення середнього значення ознаки заберуть середину-го інтервалу. Основні властивості середньої арифметичної аналогічні властивостям математичного сподівання випадкової величини.

Медіаною варіаційного ряду називається значення ознаки, що знаходиться посередині ранжованого ряду спостережень. Для дискретного варіаційного ряду:

(8.6.4)

Модою варіаційного ряду називається значення варіанти, якій відповідає найбільша частота. Для дискретного варіаційного ряду мода визначається безпосередньо порівнянням частот.

Розглянемо показники розсіювання (варіації) ознаки. Варіаційний розмах – це різниця між найбільшою і найменшою варіантами ряду:

. (8.6.5)

Вибіркова дисперсія

, де , (8.6.6)

вибіркове середнє квадратичне відхилення:

. (8.6.7)

Приклад 8.6.1 У результаті тестування група з 25 чоловік набрала бали: 3, 2, 4, 3, 2, 2, 5, 3, 3, 2, 4, 2, 3, 5, 4, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 2, 2, 3, 4.

а)  Скласти таблицю розподілу частот і відносних частот.

б)  Побудувати полігон частот.

в)  Знайти емпіричну функцію й побудувати її графік.

г)  Обчислити числові характеристики .

Розв’язання. Проранжуємо вихідний ряд:

2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5.

а)  Об'єм вибірки n = 25. Підрахуємо частоти , частостіваріант. Складемо таблицю розподілу:

xi	2	3	4	5
ni	9	9	5	2
wi	0,36	0,36	0,2	0,08

Перевірка (згідно (8.6.1)): ,.

б)  Побудуємо полігон частот:

Рис. 8.6.1 – Полігон частот

в)  Емпірична функція варіаційного ряду будується аналогічно інтегральній функції розподілу дискретної випадкової величини (приклад 8.2.1 в); замість ймовірностей беремо відносні частоти). Одержимо:

Рис. 8.6.2 – Графік емпіричної функції

г)  Обчислимо числові характеристики . Вибіркове середнє за формулою (8.6.3):, дисперсія, де(за формулами (8.6.6)). Об'єм вибіркиє непарним числом, тому медіана згідно (8.6.4)(13-те значення в ранжованому ряду). Найбільша частотавідповідає двом варіантам, значить, варіаційний ряд є двомодальным й мода. Розмах за формулою (8.6.5).

Література: [4, с. 606 – 616], [18], [21].