Модуль 7 комплексні числа. Елементи теорії функцій комплексної змінної

7.1. Комплексні числа

Комплексним числом називається вираз виду , де- дійсні числа (тобто), а-уявна одиниця (число, квадрат якого дорівнює мінус одиниці: ). Числаіпри цьому називаються відповіднодійсною і уявною частиною комплексного числа і позначаються ,.Вираз ‑ це алгебраічна форма запису комплексного числа. Множина всіх комплексних чисел позначається . Дійсні числа можна розглядати як частинний випадок комплексних, тобто , а саме при матимемо - дійсне число. Число називається суто уявним. Число називаєтьсяспряженим до числа .

Приклад 7.1.1. Записати дійсну, уявну частини чисел ,,,та спряжені до них числа.

Розв’язання. Матимемо за означенням: ,,;,,;,,;,,.

Сума двох комплексних чисел та‑ це число.

Приклад 7.1.2. Знайти ,;,, якщо ,,.

Розв’язання. Матимемо: ,;,.

Комплексні числа перемножуються, як двучлени, при цьому враховується, що .До речі, і т.д.

Приклад 7.1.3. Знайти добуток чисел та.

Розв’язання. .

Частка двох комплексних чисел іобчислюється за формулою:

. (7.1.1)

Приклад 7.1.4. Знайти ,якщо , .

Розв’язання. За формулою (7.1.1) матимемо:

.

Комплексне число зображується на площиніточкоюабо вектором, початок якого розташований в точці (0; 0), а кінець - у точці.Модулем комплексного числа називається невід’ємне число

. (7.1.2)

Кут , який утворює векторз додатним напрямом осі, називаєтьсяаргументом комплексного числа і позначається . При(дляаргумент не визначається) аргумент числавизначається з точністю до доданка, кратною. Одне і тільки одне значенняаргументазадовольняє умову; воно називаєтьсяголовним значенням аргумента і позначається . Отже,і

. (7.1.3)

Щоб знайти аргумент, зручно користуватися схемою 7.1.1:

II координатна чверть :	I координатна чверть :
III координатна чверть :	IV координатна чверть :

Рис. 7.1.1 – Схема визначення

Крім того, якщо і , то , а якщо , то (при ) і (при ).

(Нагадаємо, що ,,,

, ,,,,,,).

Числа іможна розглядати як полярні координати точки, а тому, і комплексне числоутригонометричній формі матиме вигляд:

. (7.1.4)

Враховуючи формулу Ейлера

, (7.1.5)

комплексне число можна представити у формі:

. (7.1.6)

, яка називається показниковою.

Приклад 7.1.5. Знайти модулі та аргументи комплексних чисел: ,,.

Розв’язання. За формулою (7.1.2) та схемою  7.1.1: ,;,;,.

Приклад 7.1.6. Записати у тригонометричній формі число .

Розв’язання. За формулою (7.1.2) та схемою  7.1.1: ,. Отже, згідно (7.1.4):.

Якщо ,, то

, (7.1.7)

. (7.1.8)

Для натурального і комплексногомає місцеформула Муавра:

. (7.1.9)

При існує рівнорізних значенькореня :

, (7.1.10)

де - арифметичний корінь. Цізначень зображуються вершинами правильного- кутника, вписаного в коло з центром у початку координат і радіусом.

Рис. 7.1.2 – Корені комплексного числа

Множина комплексних чисел вводиться (як розширення множини дійсних чисел )таким чином, щоб на ній завжди була здійсненною операція добування кореня.

Наприклад, ,,і т.д.,‑ два значення кореня квадратного (‑ арифметичне значення кореня).

Приклад 7.1.7. Розв’язати рівняння .

Розв’язання. Квадратне рівняння має два комплексно спряжених кореня, які не є дійсними числами, якщо дискримінант. Наприклад, рівняння() має корені, а рівняння‑ корені.

Приклад 7.1.8. Розв’язати рівняння .

Розв’язання. Ця задача рівносильна відшуканню значень кореня кубічного .Визначимо модуль и аргумент числа : , . Тоді за формулою маємо три різних значення кореня кубічного (при):

.

Виписуємо їх, беручі по черзі :,,.

Для геометричного представлення знайдених значень кореня достатньо зобразити одне значення, наприклад (при) ‑ це точка кола радіусу , що лежить на промені . Після цього будуємо правильний трикутник, вписаний у коло:

Рис. 7.1.1 – Значення .

Приклад 7.1.9. Знайти дійсну і уявну частини комплексного числа , якщо .

Розв’язання. Якщо , то,

і за формулою (7.1.1):

‑алгебраічна форма. Таким чином, ,.

Зауважимо, що приклад  7.1.9 є аналогічним до завдання  7.1 контрольної роботи.

Література: [1, с. 274 ‑ 278], [3, с. 292 – 299], [16].