- •Міністерство освіти і науки України
- •Ббк 22.1я73
- •Правила оформлення контрольної роботи:
- •Основні питання програми
- •Модуль 1 Системи рівнянь, вектори та аналітична геометрія
- •1.1. Визначники, матриці, розв’язання систем лінійних рівнянь
- •1.2. Елементи векторної алгебри
- •1.3. Пряма на площині
- •1.4. Криві другого порядку
- •1.5. Площина та пряма в просторі
- •Модуль 2 вступ в математичний аналіз
- •2.1. Розкриття невизначеностей, і і іі визначні границі
- •2.2. Диференціальне числення функцій однієї змінної
- •Основні правила диференціювання:
- •2.3. Застосування похідних для дослідження функцій
- •2.4. Похідні в механіці
- •2.5. Диференціальне числення функцій декількох змінних
- •Модуль 3 нЕвизначений і визначений інтеграли
- •3.1. Основні методи інтегрування
- •Основні властивості невизначеного та визначеного інтегралів:
- •3.2. Невласні інтеграли
- •3.3. Застосування визначених інтегралів
- •Модуль 4 диференціальні рівняння
- •4.1. Розв’язання диференціальних рівнянь деяких типів
- •Модуль 5 кратні, криволінійні та поверхневі інтеграли
- •5.1. Подвійні, потрійні інтеграли та їх застосування
- •5.2. Криволінійні інтеграли
- •Модуль 6 числові і степеневі ряди
- •6.1. Числові ряди
- •Ознака Даламбера. Якщо для знакододатного ряду існує
- •6.2. Степеневі ряди
- •Модуль 7 комплексні числа. Елементи теорії функцій комплексної змінної
- •7.1. Комплексні числа
- •7.2. Обчислення значень елементарних функцій
- •Модуль 8. Теорія ймовірностей і елементи математичної статистики
- •8.1. Основні поняття і теореми теорії ймовірностей
- •8.2. Дискретні випадкові величини
- •8.3. Неперервні випадкові величини
- •8.4. Біноміальний та пуассонів закони розподілу
- •8.5. Нормальний, рівномірний та показниковий закони
- •Числові характеристики: , . (8.5.7)
- •8.6. Елементи математичної статистики
- •Контрольна робота № 1 Модуль 1. Системи рівнянь, вектори та аналітична геометрія
- •Модуль 2. Вступ в математичний аналіз
- •Модуль 3. Невизначений і визначений інтеграли
- •Модуль 4. Диференціальні рівняння
- •Контрольна робота № 2 Модуль 5. Кратні, криволінійні та поверхневі інтеграли
- •Модуль 6. Числові і степеневі ряди
- •Література
- •Таблиця значень функції Гаусса
- •Продовження додатка а Таблиця значень функції Гаусса
- •Додаток б Таблиця значень функції Лапласа
- •Продовження додатка б Таблиця значень функції Лапласа
- •Додаток в Значення (розподіл Пуассона)
- •Продовження додатка в Значення (розподіл Пуассона)
5.2. Криволінійні інтеграли
Для обчислення криволінійних інтегралів по координатах (інтегралів другого роду), тобто інтегралів виду
, (5.2.1)
використовується одна із формул:
якщо крива задана рівнянням виду і при переміщенні із точкицієї кривої в точку змінюється від до , то
; (5.2.2)
якщо крива задана параметрично, тобто системою рівнянь , і при переміщенні із точки в точку параметр змінюється від до , то
. (5.2.3)
В процесі обчислення криволінійних інтегралів по довжині дуги (інтегралів першого роду) користуються однією із формул:
якщо крива задана рівнянням виду , то,
. (5.2.4)
якщо крива задана параметрично, тобто системою , де, то, і
. (5.2.5)
Значення криволінійного інтеграла другого роду при зміні напряму руху вздовж кривої змінюється на протилежне, а інтеграл першого роду не залежить від напряму.
Криволінійні інтеграли у просторі визначаються аналогічно.
Приклад 5.2.1. Обчислити криволінійні інтеграли: 1) , де – дуга параболи, що пробігається від точки до точки ; 2) , де– відрізок прямої, що з’єднує точкиО(0; 0) і А(1; 2); 3) , де– дуга кривої, заданої параметрично:,,.
Розв’язання. 1) В цей інтеграл другого роду підставимо ,,і врахуємо, що змінюється від –1 до 1 при русі з точки до точки . Тоді згідно (5.2.2) маємо:
.
2) Рівняння прямої, що з’єднує точки О(0; 0) і А(1; 2), має вид ,змінюється від 0 до 1 при русі від точкиО до точки А, . Значить,інтеграл першого роду дорівнює згідно (5.2.4): .
3)
Значить, інтеграл першого роду дорівнює згідно (5.2.5):
.
Зауважимо, що приклад 5.2.1 відповідає завданню 5.2 контрольної роботи.
Література: [1, с. 458 ‑ 467], [2, с. 617 ‑ 625], [3, с. 499 – 502], [14].
Модуль 6 числові і степеневі ряди
6.1. Числові ряди
Числовий ряд
(6.1.1)
збігається (має суму ), якщо
, (6.1.2)
(– послідовність часткових сум).
Для всіх збіжних і деяких розбіжних рядів виконується необхідна умова збіжності (достатня ознака розбіжності):
. (6.1.3)
Якщо (необхідна умова не виконується), то такий ряд обов’язково розбігається. Якщо ж, то ряд може як збігатися, так і розбігатися.
В науці і практиці часто потрібне знання не суми ряду, а лише факту збіжності ряду (або його розбіжності). Для цього застосовуються достатні ознаки збіжності.
Ознака порівняння:якщо (починаючи з деякого номера ) для двох рядів виконується, то
якщо збігається ряд з загальним членом , то збігається ряд з загальним членом;
якщо розбігається ряд з загальним членом , то розбігається ряд з загальним членом.
Гранична ознака порівняння:якщо для знакододатних рядів і виконується умова
, (6.1.4)
то обидва ряди збігаються або розбігаються одночасно.
При застосуванні ознак порівняння використовують “еталонні” ряди, умови збіжності або розбіжності яких відомі, наприклад, так званий узагальнений гармонійний ряд (дер – число).