1.4. Криві другого порядку
Канонічне
рівняння кола
з центром у точці
і радіусом
:
.
(1.4.1)
Канонічне рівняння еліпса:
.
(1.4.2)
Канонічні рівняння гіперболи:
.
(1.4.3)
Канонічні рівняння параболи:
,
.
(1.4.4)
Приклад 1.4.1.
Привести
до канонічного виду рівняння кола
,
знайти центр та радіус.
Розв’язання.
Поділимо
рівняння на 25:
.
Згрупуємо члени, що містять лише
і лише
,
і доповнимо ці групи до повних квадратів:
,
.
Отже маємо канонічне рівняння кола:
.
Центром
буде точка
,
а радіус
.
Зауважимо, що приклад 1.4.1 відповідає завданню 1.4 контрольної роботи.
Література: [1, с. 46 ‑ 57], [2, с. 54 ‑ 94], [3, с. 141 – 154], [5], [6].
1.5. Площина та пряма в просторі
Загальне рівняння площини:
. (1.5.1)
Вектор
є
перпендикулярним до площини і називається
нормальним.
Рівняння
площини з нормальним вектором
,
яка проходить через точку
:
. (1.5.2)
Рівняння площини у відрізках на осях:
. (1.5.3)
Рівняння
площини,
що проходить через
три задані точки
,
і
,
має вигляд:
.
(1.5.4)
Відстань
точки
до
площини
знаходиться
за формулою
.
(1.5.5)
Канонічні
рівняння прямої у просторі,
що проходить через точку
паралельно до (напрямного) вектора
:
.
(1.5.6)
Рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки:
.
(1.5.7)
Загальні рівняння прямої (як лінії перетину двох площин):
(1.5.8)
Умова
паралельності прямої і площини:
,
і згідно (1.2.10):
.
(1.5.9)
Умова
перпендикулярності:
,
тобто згідно (1.2.9)
.
(1.5.10)
Приклад 1.5.1.
За
координатами точок
із приклада 1.2.1 знайти:
а) рівняння
площини
,
б) рівняння площини, що проходить
через
паралельно
,
в) рівняння
висоти
,
г) довжину
висоти
.
Розв’язання.
Координати точок
,
,
,
.
а) Тоді
рівняння
площини
згідно (1.5.4):
,
тобто
,
,
.
Значить,
‑ нормальний вектор площини
,
рівняння якої
.
б) Рівняння
площини з нормальним вектором
,
яка проходить через точку
згідно
(1.5.2):
,
тобто
,
.
в)
,
значить
‑ напрямний вектор прямої
.
Таким чином, згідно (1.5.6)
рівняння
:
(зауваження: 0 у знаменнику означає в
данному випадку, що чисельник цього
дробу дорівнює 0). Отже загальні рівняння
(виду (1.5.8))
висоти
:
тобто
г) Довжина
висоти
‑ це відстань точки
до площини
.
Значить, згідно (1.5.5)
(од.)
Зауважимо, що приклад 1.5.1 (а, б, г) відповідає завданню 1.5 контрольної роботи.
Література: [1, с. 316 ‑ 332], [2, с. 441 ‑ 471], [3, с. 110 – 140, 158 ‑171], [5], [6].
Модуль 2 вступ в математичний аналіз