Модуль 3 нЕвизначений і визначений інтеграли

3.1. Основні методи інтегрування

Інтегрування є зворотною задачею диференціювання. Функція називаєтьсяпервісною для функції на інтервалі, якщо для будь-якоговиконується рівність . Множина всіх первісних функції називається невизначеним інтегралом: , де‑ довільна стала.

Таблиця основних інтегралів:

1)	10)
2)	11)
3)	12)
4)
5)	13)
6)
7)	14)
8)
9)	15)

Основні властивості невизначеного та визначеного інтегралів:

• , (3.1.1)

• , (3.1.2)

• (3.1.3)

якщо ,‑ сталі;

• , (3.1.4)

• інваріантність формул інтегрування:

якщо , то, (3.1.5)

де – довільна диференційована функція;

• , ; (3.1.6)

• (де ). (3.1.7)

Для обчислення визначених інтегралів спочатку знаходять невизначений інтеграл (або первісну), а потім користуються формулою Ньютона-Лейбніца:

, (3.1.8)

де ‑ первісна для неперервної функції .

Метод безпосереднього інтегрування базується на прямому використанні основних властивостей невизначеного інтеграла та проведенні тотожних перетворень підінтегральної функції з метою одержання табличних інтегралів або їх суми.

Метод заміни змінної (підстановки) застосовується, коли в підінтегральному виразі є функція й її диференціал :

, (3.1.9)

де – нова змінна,,неперервні функції.

Користуючись формулою заміни у визначеному інтегралі, на відміну від невизначеного, не треба повертатись до попередньої змінної.

, (3.1.10)

де – нова змінна,і– нові межі інтегрування,неперервна на відрізку,неперервна на.

В формулах інтегрування частинами

, (3.1.11)

(3.1.12)

(де мають неперервну похідну) ліва частина є компактним записом шуканого інтеграла, а права – шляху його відшукання.

Щоб обчислити інтеграли ,,,в якості доцільно позначати многочлен , а- вирази -,,,.

Щоб знайти інтеграли ,, в якості береться , а- функції,,.

За необхідності інтегрування частинами проводиться кілька разів. Наприклад, для інтеграла дворазове інтегрування частинами (зі збереженням вибору ) призводить до повернення до шуканого інтеграла (і дозволяє таким чином його виразити).

Інтегрування добутків тригонометричних функцій ,,(де– числа) здійснюється шляхом попереднього їх перетворення в алгебраїчні суми за допомогою формул:

; ;.

Приклад  3.1.1. Знайти методом безпосереднього інтегрування невизначені та визначені інтеграли: 1)  , 2)  , 3)  

Розв’язання. 1)  Для обчислення інтеграла віднімемо і додамо в чисельнику число 9 та застосуємо властивості (3.1.1), (3.1.2) та табличні інтеграли 1) та 13) :

.

2)  Підносячи вираз в дужках до другого степеня, а потім інтегруючи кожний доданок, згідно (3.1.2) маємо:

Зауважимо, що ,, тому інтеграли від цих функцій обчислюються за формулою 2) таблиці інтегралів.

3)  Застосуємо властивість (3.1.3) до табличного інтеграла 3):

Почленним діленням інтеграл звівся до табличних 6) і 9) з урахуванням властивості (3.1.3) .

Тут застосовано властивість (3.1.3) до табличнго інтеграла 4), а також табличний інтеграл 1) та формулу Ньютона-Лейбніца (3.1.8).

Приклад  3.1.2. Знайти методом заміни змінної (підстановки) невизначені та визначені інтеграли: 1)   3)  , 4)   5)  .

Розв’язання. 1)  Нехай В підінтегральному виразі маємо функцію і її диференціал (нагадаємо, що ). Роблячи заміну , знаходимо . Будемо мати . Повертаючись до попередньої змінної, остаточно знайдемо

Розв’язок можна оформити таким чином:

Можна також використовувати і такий запис:

. Тут заміняючи змінну у визначеному інтегралі, знайшли нові межі інтегрування: та. Для цього обчислили значення нової змінноїприта(це попередні межі інтегрування). Можна також використовувати і такий запис:

.

3)  

4)  

5)  

.

Приклад  3.1.3. Знайти інтегруванням частинами невизначені та визначені інтеграли: 1)  ,2)  ,3)  ,4)  , 5)  .

Розв’язання. 1)  

В цьому випадку в якості беремо, бо маємо добуток виду. Щоб інтеграл прийняв вид, позначимо. Щоб скористатися формулою інтегрування частинами(3.1.11) треба знайти і, тому рівнянняпродиференцюємо, а в рівняннізнайдемо первісну (скористаємось також властивістю(3.1.3) інтеграла).

2)  

. В даному випадку підінтегральна функція має вид , а тому в якостіслід обрати.

3)  

. Тут застосовано формулу інтегрування частинами (3.1.11) для визначеного інтеграла.

4)  

. Формулу (3.1.11) тут довелося використати двічі.

5)  

Приклад  3.1.4. Знайти інтеграли від раціональної або ірраціональної функції шляхом виділення повного квадрату у знаменнику: 1)  , 2)  , 3)  , 4)  

Розв’язання. 1)  

Тут застосовано властивість (3.1.3) до табличного інтеграла 12).

2)  

. Тут застосовано формулу (3.1.3) до табличного інтеграла 13).

3)  Тут застосовано властивість (3.1.3) до табличного інтеграла 15).

4)  Тут застосовано формулу (3.1.3) до табличного інтеграла 14).

Приклад  3.1.5. Знайти способом перетворення добутків тригонометричних функцій у суми інтеграли: 1)  ,2)  .

Розв’язання. За допомогою тригонометричних формул маємо:

1)  .

2)  .

Зауважимо, що приклади  3.1.1 – 3.1.5 відповідають завданню  3.1 контрольної роботи.

Література: [1, с. 211 ‑ 252], [2, с. 308 ‑ 338], [3, с. 444 – 479, 509 ‑ 513], [11].